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【解析】【2013济南市一模】山东省济南市2013届高三3月高考模拟 理科数学[1]



山东省济南市 2013 届高三高考模拟考试 理科数学试题(2013 济南一模)
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页. 考试时间 120 分钟.满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的.
x 2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. x x ? 0 【答案】C

?

?

B. x x ? ?1或x ? 0

?

?

C. x x ? 4

?

?

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

A ? {x x ? 0} , B ? {x x ? 4或x ? ?1} ,所以 A ? B ? {x x ? 4} ,选 C.
2.已知复数 A.4 【答案】C

2 ? 3i ( i 是虚数单位) ,它的实部和虚部的和是 1? i
B.6 C.2 D.3

5 1 2 ? 3i (2 ? 3i)(1 ? i) 5 ? i 5 i ? ? ? ? ,所以实部为 ,虚部为 ? ,实部和 2 2 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2
虚部的和为

5 1 ? ? 2 ,选 C. 2 2

3.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗, 用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高 度的平均数 x甲、 和中位数 y甲、y乙 进行比较,下面 x乙 结论正确的是

-1-

A B. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 C. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 【答案】B D. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙



x甲 ? x乙,y甲 ? y乙

从茎叶图可知, 甲的数据集中在 20 到 30 之间, 乙的数据集中在 30 到 40 之间, 所以 x甲 ? x乙 。甲的中位数为 选 B. 4.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为
? ?x ? y ? 8 ? ?y ?1

25+29 34+37 =27 ,而乙的中位数为 =35.5 ,所以 y甲 ? y乙 , 2 2

A. ?2

B.5

C.6

D.7

【答案】A 由 z ? x ? y 得 y ? x ? z 。 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 BCD, 平 移 直 线 y ? x ? z ,由平移可知,当直线 y ? x ? z 经过点 C 时,直线的截距最大,此时 z 最小。由

? y ? 2x ?1 ,解得 ? x? y ?8 ?

?x ? 3 , 即 C ( 3 , 5 ) 代 入 z ? x ? y得 最 小 值 为 z ? 3 ? 5 ? ?2, 选 , ? y ?5 ?

A. 5.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 函数 f ( x ) 的单调增区间为 [ a, ??) ,减区间为 (??, a ] 。所以当 a ? 1 时,增区 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

-2-

间为 [1, ??) ,所以在 [2, ??) 上也递增。当 f ( x ) 在区间 ?2,??? 上为增函数,则有 a ? 2 ,所 以 a ? 1 不一定成立,所以“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的充分不 必要条件 ,选 A. 6.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? 的图象是 ? ? x? ?

A. 【答案】B

B.

C.

D.

) 因 为 f( 2?

l ? 1 , 0 除 A. n 排

3 f ( ?2) ? ln( ? ) 无 意 义 , 排 除 D. 2

1 15 f (4) ? ln(4 ? ) ? ln ? 0 ,排除 C,选 B. 4 4

7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 A. 13 11 B. 21 13 【答案】D C. 8 13 D. 13 8

第 7 题图

z z 第一次循环, ? 1 ? 1 ? 2, x ? 1, y ? 2 ; 第二次循环, ? 1 ? 2 ? 3, x ? 2, y ? 3 ;
第三次循环, z ? 2 ? 3 ? 5, x ? 3, y ? 5 ;第四次循环, z ? 3 ? 5 ? 8, x ? 5, y ? 8 ;第五次循 环, z ? 5 ? 8 ? 13, x ? 8, y ? 13 ;第六次循环, z ? 8 ? 13 ? 21 ,不满足条件输出 选 D.

y 13 ? , x 8

x 1 8 8.二项式 ( ? ) 的展开式中常数项是 2 3x
A.28 【答案】C B.-7 C.7 D.-28

-3-

k 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C8 ( )8?k (?

x 2

4 8? k 1 k 1 ) ? C8k ( )8?k (?1)k x 3 , 由 3 2 x

8?

4k 1 ? 0 得 k ? 6 ,所以常数项为 T7 ? C86 ( )8?6 (?1)6 ? 7 ,选 C. 3 2

9.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A , B 两点,且 AB ? 3, 则 OA? OB 的值 是 A. ?
1 2

B.

1 2

C. ?

3 4

D.0

【答案】A 在三角形 OAB 中, cos ?OAB ?

2? 12 ? 12 ? ( 3)2 1 , ? ? ,所以 ?OAB ? 3 2 ? 1? 1 2 1 ,选 A. 2

所以 OA ? OB ? OA ? OB cos ?OAB ? 1? 1? (? ) ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

1 2

10.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) 在区间 [? ? , 5? ] 6 6 上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点

A.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标

缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

D.向左平移 【答案】A

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

由图象知 A ?1 , T ?

y ? f ( x) ? s i n ( 2 ?? 。由 2 ? (? ) ? ? ? 0 ,得 ? ? ,所以 y ? f ( x) ? sin(2 x ? ) 。 x ) 6 3 3
所以为了得到这个函数的图象,只需将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点

?

5? ? 2? ? (? ) ? ? , T ? ? ? ,所以 ? ? 2 。所以 6 6 ?

?

?

-4-

向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标

缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变,选 A. 2

11.一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为

第 11 题图

A.

20 3

B.

40 3

C. 20

D. 40

【答案】B 由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图, 为直角梯形,直角梯形的上底为 1,下底为 4,高为 4.棱锥的高位 4,所以四棱锥的体积为

1 1? 4 40 ? ? 4? 4 ? ,选 B. 3 2 3 2 1 3 1 5 1 dx, b ? ? dx, c ? ? dx ,则下列关系式成立的是 12.设 a ? ? 1 x 1 x 1 x a b c b a c A. ? ? B. ? ? 2 3 5 3 2 5 c a b a c b C. ? ? D. ? ? 5 2 3 2 5 3
【答案】C
31 1 2 3 dx ? ln x 1 ? ln 2 b ? ? dx ? ln x 1 ? ln 3 , , 1 x x 51 a ln 2 b ln 3 c ln 5 5 ? ln 2 , ? ? ln 3 3 , ? c ? ? dx ? ln x 1 ? ln 5 ,所以 ? ? ln 5 5 。因 1 x 2 2 3 3 5 5

a??

2

1

为 ( 2)6 ? 23 ? 8 , ( 3 3)6 ? 32 ? 9 ,所以 2 ? 3 3 。 ( 2)10 ? 25 ? 32 , ( 5 5)10 ? 52 ? 25 , 所以 5 5 ?

c a b 2 ,即 5 5 ? 2 ? 3 3 ,所以 ? ? ,选 C. 5 2 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

-5-

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若点 A ?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 m n ? 0, 则 【答案】 2 因为点 A ?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,所以 m ? n ? 2 ? 0 ,即 所 以

1 1 ? 的最小值为 m n

.

m n ? ?1, 2 2

1 1 ? ? ( m n

1 m 1 ?) ( m 2 n

n 1 1n m n m , ? 2 且 ?仅 当 当 ? ) ? ? ? ? 1 ?2 ? 2 2 2 2m 2n 2m 2n

n m 1 1 2 2 ? ,即 m ? n 时取等号。所以 ? 的最小值为 2. 2m 2n m n
14.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 恰好是双曲线 线方程为 y ? ? 3x ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点,且渐近 a 2 b2


y2 ?1 【答案】 x ? 3
2

) 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ( 1 , 0, 即 a ? 1 。 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为
y?? b y2 x ? ? 3 x ,即 b ? 3 ,所以双曲线的方程为 x 2 ? ?1 a 3 。

15.函数 y ? sin(

?
2

x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如

图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与

x 轴的交点,则 tan ?APB



【答案】 ?2

-6-

函数的最大值是 1,周期 T ?

2?

?

? 4 , 则 AD ?

T ? 1 , BD ? 3, PD ? 1 , 则 4

2 AD BD tan ?APD ? ? 1, tan ?BPD ? ? 3, 所以 tan ?APB ? tan(?APD ? ?BPD) PD PD tan ?APD ? tan ?BPD 1? 3 ? ? ? ?2 . 1 ? tan ?APD ? tan ?BPD 1 ? 1? 3
16.f ( x) ?| 2x ?1|, f1 ( x) ? f ? x ? , f2 ? x ? ? f ? f1 ? x ?? ,?, fn ? x ? ? f ? f n?1 ? x ?? 则函数

y ? f4 ? x ? 的零点个数为
【答案】 8



1 。 又 2 1 3 1 3 f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? 2 f 2 ( x) ? 1 ? , 解 得 f 2 ( x) ? 或 f 2 ( x) ? 。 当 f 2 ( x) ? 时 , 2 4 4 4 7 1 1 3 f 2 ( x)? f ( 1f ( x)? 2f (x ) ?1 , 解 得 f1 ( x) ? 或 f1 ( x) ? , 当 f 2 ( x) ? 时 , ) ? 1 8 8 4 4 5 3 1 f1 ( x) ? f 2 ( x)? f ( 1f ( x) ) 12f (x ) ? 1 , 解 得 f1 ( x) ? ? ? 或 , 由 8 8 4 7 15 1 3 f1 ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? , 所 以 x ? 或 ? 2 x 1? , 所 以 ? 。 由 f1 ( x)? f ( x) 8 16 16 8 11 5 5 13 3 x ? 或 。由 f1 ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? ,所以 x ? 或 。 16 16 8 16 16 3 11 5 或 。所以共有 8 个零点。 由 f1 ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? ,所以 x ? 8 16 16
由 f 4 ( x) ? f ( f3 ( x)) ? 0 , 即 2 f3 x ? ?1 , 解 得 f 3 ( x) ? ( ) 0 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本题满分 12 分) 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cosx ,? y) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f (x) ,并求 f (x) 的单调增区间; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2 ,

??

?

A 2

b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分)
-7-

已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形, AB / / CD, 且 AC ? BD,

AC与BD交于O, PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分别是 AB、AP 的
中点. (1)求证: AC ? EF ; (2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.

P

F D O A
19. (本题满分 12 分)
*

C

E
第 18 题图

B

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1 (n ? N ) ,等差数列 ?bn ? 满足

b3 ? 3, b5 ? 9 .
(1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

1 bn ? 2 (n ? N * ) ,求证 cn ?1 ? cn ? . 3 a n?2

20.(本题满分 12 分) 某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一 定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试不 合格的概率均为

1 2 ,参加第五项不合格的概率为 2 3

(1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望. 21.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? xe .
x

(1) 求 f (x) 的单调区间与极值;

-8-

(2) 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有

f ( x2 ) ? f (a) f ( x1 ) ? f (a) 成立.若存在,求 a 的范围,若不存在,请说明理由. ? x2 ? a x1 ? a

22.(本题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 2,2) . ( 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ?

b2 , a2

(i) 求 OA? OB 的最值.

y
(ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值;
C B O D A

x

第 22 题图

2013 年 3 月济南市高考模拟考试理科数学参考答案
-9-

一、选择题
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

二、填空题 13 . 2 三、解答题 17. 解 : ( 1 ) 由 14. x ?
2

y2 ?1 3

15. ?2

16. 8

?? ? m?n



m ? n ? 0 ,?2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? y ? 0


…….………….……….…2 分

y ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
……………4 分 ∴

?
6

) ?1 …………….…

?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

……………………………………………………

…………5 分 ∴

?

?
?
6 3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z













[?


?
3

? k? ,
2

? k? ], k ? Z …………………………………6 分
因 为



sin( A ?


?
6

A f( )?3 2







2sin( A ? ) ? 1 ? 3 6

?



) ? 1 , ………………………………………7 分

A?

?
6

? 2k? ?

?
2


, k ? Z …………………………………………………………………………

…………8 分 因

0? A??







A?


?
3

. 余 弦

………………………………………………………………………9 分 定 理 得 :

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A





4 ? b2 ? c 2 ? bc


…………………………10 分 , 因
- 10 -

4 ? (b ? c)2 ? 3bc



b ?c ? 4







bc ? 4


…………………………………………11 分

1 S? ABC ? bc sin A ? 3 . ………………………………………………………………………… 2
………12 分 18. 证明: (1) E、F 分别是 AB、AP 的中点.

P

EF 是 PB 的中位线,? EF / / PB, ---------------------------------2 分
由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC , -------------------------3 分

F D O C

? AC ? BD, ? AC ? 面POB, ----------------------------4 分
PB ? 面POB ? AC ? PB ----------------------------------5


A

? A C ? E . ----------------------------------------------------6 分 F
(2)以 OB, OC , OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 {OB, OC, OP} 由题设, OA ? OB ? 2, OC ? OD ? 1,------------------------------7 分

E

B

??? ??? ??? ? ? ?

A? 0, ?2,0? , B ? 2,0,0? , C ?0,1,0? , D ? ?1,0,0? , P(0,0,2)
??? ? ??? ? OE ? (1, ?1,0), OF ? (0, ?1,1), ---------------------------------8 分
设平面 OEF 的法向量为 m ? ( x, y, z)

z
P

??

?? ??? ? ?? ?m ? OE ? 0 ? ? ? ?? ??? 可得 m ? (1,1,1) ,-----------------------------10 分 ? ?m ? OF ? 0 ? ? 平面 OAE 的法向量为 n ? (0,0,1)
设二面角 F ? OE ? A 为 ? ,

F D O A E B C

y

x

?? ? m?n 3 ? --------------------------------------------------------12 分 cos ? ? ?? ?? ? | m || n | 3
得 an ? 2Sn?1 ? 1 ----②,

19. 解: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 ----①

① ? ②得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ,? an?1 ? 3an …………………………………………2 分

? an ? 3n?1 ; ………………………………………………………………………………3 分
?b5 ? b3 ? 2d ? 6,?d ? 3 …………………………………………………………………4 分

- 11 -

?bn ? 3n ? 6

…………………………………………………………………………6 分 ………………………-………………………8 分 ………………………………………………………9 分 ………………………………………………………10 分 ………………………………………………………11 分 ………………………………………………………12 分

(2)因为 an?2 ? 3n?1, bn?2 ? 3n

3n n ? n n ?1 3 3 1 ? 2n 所以 c n ?1 ? c n ? n ?1 ? 0 3 1 cn ?1 ? cn ? ??? ? c1 ? 3 1 所以 cn ?1 ? cn ? 3
所以

cn ?

20.解: (1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格 记 A={前四项均合格} B={前四项中仅有一项不合格} 则 P(A)= ( ) ? (1 ? ) ?

1 4 2 1 …………………………………………………………2 分 2 3 24 11 1 2 1 ? (1 ? ) 3?(1 ? ) ? ………………………………………………4 分 P(B)= C 42 2 3 16
又 A、B 互斥,故所求概率为 P=P(A)+P(B)=

1 1 5 ? ? ………………………………………………………………… 24 16 48

………………5 分 (2)该生参加考试的项数 ? 可以是 2,3,4,5.

1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? ? ? P( X ? 3) ? C2 (1 ? ) ? ? ? 2 2 4, 2 2 2 4 1 1 1 3 1 P( X ? 4) ? C3 (1 ? ) ? ( ) 2 ? ? 2 2 2 16 P ( X ? 5) ? 1 ? 1 1 3 5 ? ? ? …………………………………9 分 4 4 16 16
2 3 4 5



X

p

1 4

1 4

3 16

5 16
………… … … … …

………………10 分

1 1 3 5 57 E( X ) ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 4 4 16 16 16
………………12 分 21 . 解 : (1)

…………………………

f ?( x) ? (1 ? x)e x

.



f ?( x) ? 0





- 12 -

x ? ?1 ;……………………………………………………1 分
列表如下

x
f ?(x )

(??,?1)
-

?1
0 极小值

(?1,??)
+

f (x) ? f (x)
的 单 调 递 减 区 间 是

(??,?1)

, 单 调 递 增 区 间 是

(?1,??) .………………………………………………4 分 f (x)
= f ( ?1) ? ? …5 分 (2) 设 g ( x) ?
极 小 值

1 e

…………………………………………………

f ( x) ? f (a) , 由 题 意 , 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有 x?a
, 即

g ( x2 ) ? g ( x1 )

y ? g (x)



(a,??)













数.………………………………………………………………………………………………7 分

? g ?( x) ?

f ?( x)( x ? a) ? [ f ( x) ? f (a)] (1 ? x)e x ( x ? a) ? xe x ? ae a ? ( x ? a)2 ( x ? a)2

( x 2 ? x ? ax ? a)e x ? xe x ? ae a x 2e x ? axe x ? ae x ? ae a ? ? ( x ? a)2 ( x ? a)2
…………………8 分

………………………

?x ? (a,??) , g ?( x) ? 0
令 h( x) ? x 2e x ? axex ? aex ? aea ? 0

h?( x) ? 2xex ? x2ex ? a(1 ? x)ex ? aex ? x( x ? 2)ex ? a( x ? 2)e x

? ( x ? 2 ) x ? a x)……………………………………………………………………………… … ( e
………10 分 若 a ? ?2 ,当 x ? a 时, h?( x) ? 0 , h(x) 为 [a,??) 上的单调递增函数,

? h( x) ? h(a) ? 0
立.

,









…………………………………………………………11 分

- 13 -

若 a ? ?2 ,当 x ? (a,?2) 时, h?( x) ? 0 , h(x) 为 [a,?2] 上的单调递减函数,

? ?x0 ? (a,?2)



h( x0 ) ? h(a) ? 0





?x ? (a,??)
值 范

,

h( x ) ? 0




盾…………………………………………12 分 所 以 , a 的





[

??) .……………………………………………………………………………………13 分 2 ,

22.





(1)







e?

c 2 ? a 2



4 2 ? 2 ?1 2 a b





a 2 ? b 2 ? c 2 ,……………………………………………2 分
解 得

a 2 ? 8, b2 ? 4

,

















x2 y2 ? ? 1 .……………………………………………………………4 分 8 4
(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 联立 ?

? y ? kx ? m ,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m2 ? 8 ? 0 x2 ? 2 y 2 ? 8 ?
----------①

2 ? ? 4km) ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0 (

? 4km ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 8 ? x1 x2 ? 2m ? 2 1 ? 2k ?
………………6 分

……………………………………………

? kOA ? kOB ? ?

b2 1 ?? 2 a 2

?

y1 y2 1 ?? x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ?? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
………………7 分

……………………………………………

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
2m 2 ? 8 ? 4km m2 ? 8k 2 2 ? km ?m ? =k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

……………………………………

……………8 分

- 14 -

??

m 2 ? 4 m 2 ? 8k 2 ? ? ?(m2 ? 4) ? m2 ? 8k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
………………………………………………

? 4k 2 ? 2 ? m2
…………9 分 (i) OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 4 ? ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 ?4 O A O B ? 2 ? ? 2
当 k=0(此时 m ? 2 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA? OB 的最小值为-2.
2

又 直 线

AB

的 斜 率 不 存 在 时 OA ? OB ? 2 , 所 以 OA? OB 的 最 大 值 为

??? ??? ? ?

2. …………………………………11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

S ?AOB ?

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k 2
2

|m| | m | ? ? 4km ? 2m 2 ? 8 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?4 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? | m | 64k 2 16(m 2 ? 4) ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 m2 m2

? S四边形ABCD ? 4S?AOB ? 8 2 .
即,四边形 ABCD 的面积为定值…………………………………………………………13 分

- 15 -



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