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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 一元二次不等式及其解法



§7.2

一元二次不等式及其解法

[高考调研
考纲解读 ?会从实际情境中抽象出一元 二次不等式模型. ?通过函数图象了解一元二次 不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系. ?会解一元二次不等式,对给 定的一元二次不等式,会设 计求解的程序框图.

明确考向]
考情分析 ?一元二次不等式的解

法及三 个二次间关系问题是命题热 点. ?考查题型多为客观题,有时 会在解答中出现交汇命题, 着重考查二次不等式的解 法,属中、低档题.

知识梳理 一元二次不等式的解法

判别式Δ=b2-4ac

Δ>0 有两不等实根

Δ=0 有两相等实根 x1=x2

Δ<0

方程ax +bx+c=0

2

x1和x2,且x1< x2

无实根

二次函数 y=ax2+bx+c (a>0) 的图像

1 答案: □ {x|x<x1,或x>x2} 4 5 6 □{x|x1<x<x2} □? □?

2 □ {x|x≠-

b 2a }

3 □R

名师微博 ●一个技巧 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受a 的符号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元 二次方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的图像,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不 等式经过不等式的同解变形后,化为ax2+bx+c>0(或<

0)(其中a>0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不 等实根x1,x2,(x1<x2)(此时Δ=b2-4ac>0),则可根据“大 于取两边,小于夹中间”求解集.

●两个防范 (1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的 解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再 对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式 进行分类讨论,分类要不重不漏.

基础自测 1.不等式2x2-x-1>0的解集是(
? 1 ? A.?-2,1? ? ?

)

B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞)
? 1? D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

解析:方法一:2x2-x-1>0可化为(2x+1)(x-1)>0, 1 解得x<- 或x>1,故选D. 2 方法二:令f(x)=2x2-x-1,画出图像,

由图像知,不等式的解集为D.

答案:D

2.不等式x2-|x|-2<0的解集是( A.{x|-2<x<2} B.{x|x<-2,或x>2} C.{x|-1<x<1} D.{x|x<-1,或x>1}

)

解析:原不等式?|x|2-|x|-2<0?(|x|-2)(|x|+1)<0? |x|-2<0?-2<x<2.

答案:A

3.已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数 f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集为 ( ) A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-1,0) D.(0,1)

解析:∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4 >0, ∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点,因此 f(-2)· f(-1)<0, 3 5 ∴(6a+5)(2a+3)<0,∴-2<a<-6, 又a∈Z,∴a=-1,不等式f(x)>1即为-x2-x>0, 解得-1<x<0.

答案:C

4.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成 立,则a的取值范围是( A.(-∞,2] C.(-2,2] )

B.[-2,2] D.(-∞,-2)

解析:当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,恒成 立,故a=2;当a-2≠0时,则a满足
?a-2<0, ? ? ?Δ=[2?a-2?]2-4?a-2?· ?-4?<0, ?

解得-2<a<2.

故a的取值范围为-2<a≤2.

答案:C

5.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的 取值范围是__________.

解析:方法一:设f(x)=x2+mx+4,当x∈(1,2)时f(x)<0 恒成立.由二次函数图像与性质,得
?1+m+4≤0, ? ? ?4+2m+4≤0, ? ?f?1?≤0, ? ? ?f?2?≤0, ?



解得m≤-5.

方法二:x∈(1,2)时x2+mx+4<0恒成立,等价于m<- 4 x- . x

x∈(1,2)恒成立. 4 又g(x)=-x- 在(1,2)上为增函数,∴g(x)>-5. x ∴m≤-5.

答案:m≤-5

考点一

一元二次不等式的解法
?x2+2x,x≥0, ? ? ?-x2+2x,x<0, ?

[例1] 3.

已知函数f(x)=

解不等式f(x)>

?x≥0, ? 解析:由题意知 ? 2 ?x +2x>3 ?

?x<0, ? 或? 2 ?-x +2x>3, ?

解得:x

>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}.

方法点睛

解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标

准形式;②确定判别式Δ的符号;③若Δ≥0,则求出该不等 式对应的二次方程的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根; ④结合二次函数的图像得出不等式的解集.特别地,若一元 二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出 不等式的解集.

变式训练1

函数f(x)=

2x2+x-3 +log3(3+2x-x2)的

定义域为__________.

解析:依题意知 3 ? ?x≤- 或x≥1, 2 ? ?-1<x<3. ?

?2x2+x-3≥0, ? ? ?3+2x-x2>0, ?

解得

∴1≤x<3,故函数f(x)的定义域为[1,3).

答案:[1,3)

考点二

含参数的一元二次不等式的解法

[例2]

求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.

解析:∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,即(4x+ a a a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,得:x1=- ,x2= . 4 3 a a a a ①a>0时,-4<3,解集为{x|x<-4或x>3}; ②a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0};

a a a a ③a<0时,-4>3,解集为{x|x<3或x>-4}. a 综上所述:当a>0时,不等式的解集为{x|x<- 4 或x> a 3 };当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};当a<0

a a 时,不等式的解集为{x|x<3或x>-4}.

方法点睛

解含参数的一元二次不等式的一般步骤:①

二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然 后将不等式转化为二次项系数为正的形式.②判断方程的根 的个数,讨论判别式Δ与0的关系.③确定无根时可直接写出 解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而 确定解集形式.

变式训练2 R).

解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈

解析:原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0. 由于不等式中最高次幂系数为a(a∈R),因而它可能为 零,也可能大于或小于零.因此,对a进行分类讨论. ①a=0时,x≤-1. ②a≠0时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. 2 当a>0时,x≥a,或x≤-1. a+2 2 由于a-(-1)= a ,

2 当-2<a<0时,a≤x≤-1; 当a=-2时,x=-1; 2 当a<-2时,-1≤x≤a. 综上所述,a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};a>0 2 时,不等式的解集为{x|x≥a,或x≤-1};当-2<a<0时,

2 不等式的解集为{x| a ≤x≤-1};当a=-2时,不等式的解集 2 为{x|x=-1};当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤a}.

考点三

不等式恒成立问题

[例3]

设函数f(x)=mx2-mx-1.

(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围. (2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范 围.

解析:(1)要使mx2-mx-1<0恒成立, 若m=0,显然-1<0;
?m<0, ? 若m≠0,则? ?Δ=m2+4m<0 ?

?-4<m<0.

综上,可知-4<m≤0.

? 1?2 (2)要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,就是要使m?x-2? ? ?

3 +4m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法:
? 1?2 3 方法一:令g(x)=m?x-2? +4m-6,x∈[1,3]. ? ?

当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,

所以g(x)max=g(3)?7m-6<0. 6 6 所以m< ,则0<m< ; 7 7 当m=0时,-6<0恒成立; 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以g(x)max=g(1)?m-6<0. 所以m<6,所以m<0. 6 综上所述,m的取值范围是{m|m<7}.

方法二:m(x2-x+1)<6 因为x
2

? 1?2 3 -x+1=?x-2? +4>0, ? ?

6 所以,f(x)<-m+5,等价于m< 2 . x -x+1 6 因为函数y= 2 =? x -x+1 6 6 7,所以只需m<7即可. 6 所以,m的取值范围是{m|m<7}. 6 1?2 3 在[1,3]上的最小值为 ?x- ? + 2? 4 ?

方法点睛

不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒

成立)的条件是当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时,
?a>0, ? ? ?Δ<0; ?

不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的

?a<0, ? 条件是当a=0时,b=0,c<0;当a≠0时,? ?Δ<0. ?

变式训练3

已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,

+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.

解析:方法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图像 的对称轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由2- a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].

方法二:令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得x2-2ax+ 2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立, ?Δ>0, ? 2 即Δ=4a -4(2-a)≤0或?a<-1, ?g?-1?≥0. ? 解得-3≤a≤1. 所求a的取值范围是[-3,1].

思想方法(九) 如何求解不等式恒成立问题 [试题] (2013· 杭州调研)若不等式x2+ax+1≥0对一切x ) 5 C.- 2 D.-3

? 1? ∈?0,2?成立,则a的最小值为( ? ?

A.0

B.-2

解析:方法一:由x
2

2

? 1? +ax+1≥0,x∈?0,2?. ? ?

1 ∴ax≥-1-x .∴a≥-x-x.
? 1? 1 5 5 ?x+ ?≤- .∴a≥- . 又-x-x=- x? 2 2 ?

5 即a的最小值为-2.

方法二:令f(x)=x2+ax+1,
? 1? 即f(x)≥0对x∈?0,2?成立. ? ?

(1)当Δ≤0时,即a2-4≤0,即-2≤a≤2成立.
? 1? (2)当Δ>0时,要使f(x)≥0对x∈?0,2?成立. ? ?

?Δ>0, ? ?f?1?≥0, ? ? 则? ?2? ? a 1 ?- > . ? 2 2

?Δ>0, ? ?f?0?≥0, 或? ? a ?-2<0. ?

?Δ>0, ? ?f?-a?≥0, ? ? 或? ? 2? ? a 1 ?0≤- ≤ . 2 2 ?

5 ∴-2≤a<-2或a>2. 5 由(1)、(2)可知a的最小值为-2.

答案:C

反思:不等式恒成立问题体现的主要数学思想方法有: 等价转化思想、数形结合思想以及分类讨论思想.本题方法 一中,采用了等价转化思想,主要是将参数分离转化为最值 问题求解.方法二中体现了数形结合思想及分类讨论思 想.其思路是构造函数、结合图象分析,进而得出结论.



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