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2线面平行的判定与性质



2.2.1直线与平面 平行的判定

直线和平面有哪些位置关系? a
a a

α
直线在平面α 内a ? α 有无数个交点

α

A

α
直线与平面α 平行 a∥α无交点

直线与平面α相交 a ∩ α= A 有且只有一个交点

引入新课
怎样判定直线与平面平行呢?

根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点. 但是,直线无限延长,平面无 限延展,用定义判定直线与平 面平行的可行性不大。
a

?

实例感受
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关

系.

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?
A A

B

B

直线与平面平行

下图中的直线 a 与平面α平行吗?

a

?

直线与平面平行

如果平面 ? 内有直线 b 与平面外直线 a 平行,那 么直线 a 与平面 ? 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面 ? 平行?
a
b

?

直线与平面平行

平面 ? 外有直线 a 平行于平面 ?内的直线 b . (1)这两条直线共面吗? 共面 (2)直线 a 与平面 ? 相交吗? 不可能相交
a

?

b

直线和平面平行的判定定理:

平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行。

a//b ? ? 符号表示: a ? α ?a//α b ? α? ?

a

?

b

简述为: 线线平行,则线面平行

思 考 (1)若直线a不在平面α外,即a在平面α内a//α吗?

a
b
?

a

?

b

缺少条件1,显然不成立。

(2)若直线b不在平面α内,a// ?吗?
b

a

?

缺少条件2,定理也不成立。
a

?

b

(3)若直线a不平行于直线b,a// ? 吗?
a
?

b

缺少条件3,定理也不成立。

a

?

b

直线与平面平行判定

怎样判定直线与平面平行?
(1)定义法:证明直线与平面无公共点;

(2)判定定理:证明平面外直线与平面内直线 平行.

例一 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行 于经过另外两边所在的平面. 已知:空间四边形ABCD中, E,F分别AB,AD的中点。 求证:EF//平面BCD。
A

E

F D

证明:连接BD。

?

B

C

因为 AE=EB,AF=FD, 所以 EF//BD(三角形中位线的性质) 因为 EF ? 平面BCD, BD ? 平面BCD

由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD。

变式:
2. 如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面 正方形DBCE对角线的交点,F为AE的 中点. 求证: AB//平面DCF. A F

D
B

E

O

C

变式:
2. 如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面 正方形DBCE对角线的交点,F为AE的 中点. 求证: AB//平面DCF. A 分析: 连结OF, F △ABE的中位线, D E 所以得到AB//OF. O C B

随堂练习:课本P55 1
1.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, (1)与AB平行的平面是 平面 A?B?C ?D? 平面 CC ?D?D ; (2)与 AA?平行的平面是平面 B?BCC? 平面 CC ?D?D ; (3)与AD平行的平面是 平面 A?B?C ?D? 平面 B?BCC? ;
D? A? B?

C?

D A B

C

随堂练习
2.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,E为 DD?的 中点,试判断 BD?与平面AEC的位置关系,并说明理 由. 证明:连接BD交AC于点O, D? C? 连接OE, A?

在 ?DB D?中,E,O分别是 DD?, BD 的中点.
? EO // BD?
? ? EO ? 平面ACE ? ? BD // 平面AEC ? BD ? 平面ACE ?
A

E
D
O

B?

C

B

练习 3. 判断命题的真假
(1)如果一条直线不在平面内,则这条直 假 线就与这个平面平行.

(2)过直线外一点,可以作无数个平面与 这条直线平行. 真 (3)如果一直线与平面平行,则它与平面 内的任何直线平行. 假

反思~领悟:
1. 线面平行,通常可以转化为线线平行 来处理. 2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位 线、梯形的中位线、平行线的判定等 来完成.

3. 证明的书写三个条件“内”、“外”、 “平行”,缺一不可.

新课引入:
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题(即所需条件);反之,在直 线与平面平行的条件下,会得到什么结论?

思考:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a
a b α

b α

(2)已知直线 a∥平面α,如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线?

思考:
(2)已知直线 a∥平面α,如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线?
β b α a

因为直线a与平面α内直线b的位置关系不是 平行就是异面,所以只要a与b在一个平面内, 就能保证a//b。

思考:
已知 : a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b 求证:a // b

证明: ?? ? ? ? b,? b ? ? 又 ? a // ? ? a与b无公共点 又? a ? ? , b ? ? ? a // b

线面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

l // ? l?? ? ?? ? m

β
l

l // m
m

简记为: α “线面平行,则线线平行” 作用:判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。

练习:
如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )

A 只和这个平面内一条直线平行;
B 只和这个平面内两条相交直线不相交; C 和这个平面内的任意直线都平行; D 和这个平面内的任意直线都不相交。

例题讲解:
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开, 应怎样画线? 解: ⑴如图,在平面A'C'内,
分别交 过点P作直线EF//B'C', 棱A'B'、C'D'于点E、F,

D' A' D E

F P
B'

C'

连结BE、CF,

下面证明EF、BE、 A CF为应画的线.

C B

例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线? 解: ⑴ D' BC//B'C' BC//EF EF//B'C' EF、BE、CF共面. A A' D E F

P
B'

C'

C B

则EF、BE、CF为应画的线.

例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线? ⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?

解: 由⑴,得 EF//BC, ⑵ EF//BC
EF//面AC BE、CF都与面相交. 线面平行 线线平行 A

D' A' D E

F P
B'

C'

C B

线面平行

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 且a//b,// ? , a,b ? ? , 已知:直线a、b,平面?, a 求证: b//?

a
过a作辅助平面?, 提示: 且

b

? ?? ? c

?

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 求证: b//? 且 证明:过a作平面?, 性质定理 a // ? 且a//b,// ? , a,b ? ? , 已知:直线a、b,平面?, a

? ?? ? c ?
?

a
c

b

a??

? ?? ? c

? a // c ? b // c
a // b
c ??
b ??

?b // ?

线面平行

线线平行

判定定理 线面平行

练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 D1 A1 P . Q B1 C
1

D
A B

C

练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 D1 A1 P . Q B1 C
1

D
A B

C

课堂小结:
1.直线与平面平行的性质定理 a∥b. a b

性质定理的运用.
⑴判定定理. 线线平行 ⑵性质定理. 线面平行 线面平行 线线平行

2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法:

3.要注意判定定理与性质定理的综合运用



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