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湖北省武汉市武汉中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理



湖北省部分重点中学 2014--2015 学年度上学期高二期中考试 理科数学试卷
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为 输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x

Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y A.25 B.30 C.31 D.61

2.已知集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? lg

x ,则 x ? A ? B 的概率为 1 1 A. B. 3 4
9 10 3 10

1? x } ,在区间 (?3,3) 上任取一实数 x?2

C.

1 8 1 8

D.

1 12

3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过 3 次而 接通电话的概率为 A. B. C. D.

1 10

4.对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,给出关 于该同学数学成绩的以下说法: ①中位数为 84; ②众数为 85; 7 8 ③平均数为 85; ④极差为 12. 8 3 3 5 其中,正确说法的序号是 9 1 0 A. ①② B.③④ C. ②④ D.①③ 5.为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用 2×2 2 列联表进行独立性检验,经计算 K =8.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把 握性约为 P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

k0
A.0.1% B.1%

2.706 C.99%

3.841

5.024 D.99.9%

6.635

10.828

6.执行如下的程序框图,若输入的 x ? [0,1] ,则输出的 x 的范围是 A.[1,3] 开始
2

B.[3,7]

C.[7,15]

D.[15,31]

输入 x n=1 否
1 2 正视图 1
侧视图

1 -1-

n≤3 是
x=2x+1

输出 x

结束

7.一个几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 A.

2? 3

B.

4? 3

C.

3? 4

D.

3? 2

8.设 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB ? 3 ,

AC ? 4 , AD ? 11 ,则球的表面积为
A. 36? B. 64? C. 100 ? D. 144 ? 9.下表是一位母亲给儿子作的成长记录: 年龄/周岁 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.1 根 据 以 上 样 本 数 据 , 她 建 立 了 身 高 y (cm) 与 年 龄 x ( 周 岁 ) 的 线 性 回 归 方 程 为

? ? 7.19x ? 73.93,给出下列结论: y
① y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本的中心点(42,117.1); ③儿子 10 岁时的身高是 145 .83 cm; ④儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19 cm. 其中,正确结论的个数是 A.1 B.2 C. 3 D. 4 10.设点 P 是函数 y ? ? 4 ? ( x ? 1) 2 图象上的任意一点,点 Q(2a, a ? 3)

( a ? R ) ,则 | PQ | 的最小值为
A. 8 5 ? 2
5

B. 5

C. 5 ? 2

D. 7 5 ? 2
5

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位置 ....... 上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机 按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号,?,196-200 号). 若第 5 组抽出的号码为 22,则第 10 组抽出的号码应是_________. 12.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, PB ? PC ? 2PA ? 0 ,现将一粒 黄豆随机撒在 ?ABC 内,则黄豆落在 ?PBC 内的概率是_________. 13.过点 P(1,2) 引圆 x ? y ? 1的两条切线,这两条切线与 x 轴和 y 轴围成的四边形的面积
2 2

是_________. 14.如图所示, ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正方体,给出以下五个结论: ① BD // 平面 CB1D1 ; ② AC1 ⊥平面 CB1D1 ;

-2-

③ AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2; ④二面角 C ? B1D1 ? C1 的正切值是 2; ⑤过点 A1 且与异面直线 AD 和 CB1 均成 70°角的直线有 2 条. 其中,所有正确结论的序号为________. 15.已知圆 M : ( x ? cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1 ,直线 l : y ? kx ,给出下面四个命题: ①对任意实数 k 和 ? ,直线 l 与圆 M 有公共点; ②对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 与圆 M 相切; ③对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 l 与圆 M 相切; ④存在实数 k 与 ? ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3. 其中,所有正确命题的序号是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在一个盒子中装有 6 枝圆珠笔,其中 3 枝一等品,2 枝二等品和 1 枝三等品,从中任取 3 枝,求: (Ⅰ)取出的 3 枝中恰有 1 枝一等品的概率; (Ⅱ)取出的 3 枝中一、二、三等品各一枝的概率; (Ⅲ)取出的 3 枝中没有三等品的概率. 17. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,且直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点. (Ⅰ)若 | AB |? 17 ,求直线 l 的倾斜角; (Ⅱ)若点 P(1,1) 满足 2 AP ? PB ,求此时直线 l 的方程。 18. (本小题满分 12 分) 为了分析某次考试数学成绩情况,用简单随机抽样从某班中抽取 25 名学生的成绩(百分 制)作为样本,得到频率分布表如下: 分数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 3 9 a 1 频率 0.08 0.12 0.36 b 0.04 (Ⅰ)求样本频率分布表中 a,b 的值,并根据上述频率分布表,在下表中作出样本频率分 布直方图; (Ⅱ)计算这 25 名学生的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求至少有 1 人的成绩在[60,70)中的概 频率/组距 率. 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 50 60 70 80 90 100 成绩/分 O 19. (本小题满分 12 分)

-3-

? 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AB // CD ,?BAD ? ?ADC ? 90 , AB ? AD ? 2CD , E 为 PB 的中点. (Ⅰ)证明: CE ? AB ;

(Ⅱ)若二面角 P ? CD ? A 为 45 ,求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值. (Ⅲ)若 PA ? kAB ,求平面 PCD 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值
?

P

E A C B 20. (本小题满分 13 分) 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1.
2

D

(Ⅰ)设集合 A ? {?1,1,2,3,4,5} 和 B ? {?2,?1,1,2,3,4} ,分别从集合 A , B 中随机取一 个数作为 a 和 b ,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数的概率. (Ⅱ)设点 ( a, b) 是区域 ?
? x ? y ? 8 ? 0, 内的随机点,求函数 ? x ? 0, ?y ? 0 ?

f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数的

概率. 21. (本小题满分 14 分)

3 上. x (Ⅰ)若圆 M 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B (不同于原点 O) ,求证: ?AOB 的面积为
在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 过坐标原点 O 且圆心在曲线 y ? 定值; (Ⅱ)设直线 l : y ? ? 程; (Ⅲ)设直线 y ? 3 与(Ⅱ)中所求圆 M 交于点 E 、 F , P 为直线 x ? 5 上的动点, 直线 PE , PF 与圆 M 的另一个交点分别为 G , H ,求证:直线 GH 过定点. 湖北省部分重点中学 2014--2015 学年度上学期高二期中考试 理科数学试卷参考答案及评分细则 一、选择题: 1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9.B 10.C 二、填空题: 11.47 12.

3 x ? 4 与圆 M 交于不同的两点 C,D,且 | OC |?| OD | ,求圆 M 的方 3

1 2

13.

13 8

14.①②④

15.①②

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解:记 3 枝一等品为 A, B, C ,2 枝二等品为 D, E ,1 枝三等品为 F . 从 6 枝圆珠笔中任取 3 枝的方法有 20 种(列举略).
-4-

(Ⅰ)取出的 3 枝中恰有 1 枝一等品的方法有 9 种(列举略) ,所以,所求概率

p1 ? p2 ?

9 . 20 3 10 1 . 2

??????(4 分)

(Ⅱ)取出的 3 枝中一、二、三等品各一枝的概率的方法有 6 种(列举略) ,所以,所求概率 ??????(8 分)

(Ⅲ)取出的 3 枝中没有三等品的方法有 10 种(列举略) ,所以,所求 概率 p3 ? ??????(12 分)

17. (本小题满分 12 分) 解:直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 恒过点 (1,1) ,且点 (1,1) 在圆 C 内,所以直线与圆相交. (Ⅰ)因为圆心 C (0,1) 到直线 l 的距离 d ? 所以 ( 5 )2 ? (

|m| m2 ? 1

,圆的半径为 5 ,

| m|
2

m ?1 ? 当 m ? 3 时,直线 l 的方程为 y ? 3x ? 1 ? 3 ,斜率为 3 ,倾斜角为 60 ;
当 m ? ? 3 时 , 直 线 l 的 方 程 为 y ? ? 3x ? 1 ? 3 , 斜 率 为 ?

)2 ? (

17 2 ) ,解得 m ? ? 3 . 2

3 ,倾斜角为

1 2 ?0.
(Ⅱ)联立方程组 ?

???????(6 分)

? x ? ( y ? 1) ? 5, ?m x ? y ? 1 ? m ? 0,
2 2
2 2 2 2

消去 y 并整理,得 (1 ? m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0 .

2m 2 m2 ? 5 x ? x ? , . ① 1 2 1 ? m2 1 ? m2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AP ? ( x1 ? 1, y1 ? 1) , PB ? (1 ? x2 ,1 ? y2 ) . 其中 y1 ? mx 1 ? 1 ? m , y2 ? mx 2 ?1? m .
所以 x1 ? x2 ? 由 2 AP ? PB ,得 2 x1 ? x2 ? 3 且 2 y1 ? y2 ? 3 . 将 2 x1 ? x2 ? 3 代入①式,解得 x1 ? 点 A 的坐标为 (

m2 ? 3 m2 ? 1

m 2 ? 3 1 ? 2m ? m 2 , ) m2 ? 1 m2 ? 1 把点 A 的坐标代入圆 C 的方程可得 m ? ?1 .
当 m ? 1 时,所求直线方程为 x ? y ? 0 ; 当 m ? ?1 时,所求直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 2 ? 3 ? 9 ? a ? 1 ? 25 ,得 a ? 10 ; 由 ?????(12 分)

10 ? 0.4 ,得 b ? 0.4 . 25
频率/组距 0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012

频率分布直方图如下:

-5-

???????(5 分) (Ⅱ)平均数为

x ? 55? 0.08 ? 65? 0.12 ? 75? 0.36 ? 85? 0.4 ? 95? 0.04 ? 77 ;
方差为

s2 ?

1 [( 55 ? 77 ) 2 ? 2 ? (65 ? 77 ) 2 ? 3 ? (75 ? 77 ) 2 ? 9 25 ? (85 ? 77)2 ?10 ? (95 ? 77)2 ?1] 1 ? [( ?22) 2 ? 2 ? (?12) 2 ? 3 ? (?2) 2 ? 9 ? 82 ? 10 ? 18 2 ? 1] ? 96 . 25
s 2 ? (?22)2 ? 0.08 ? (?12)2 ? 0.12 ? (?2)2 ? 0.36 ? 8 ? 0.4 ? 18? 0.04 ? 96.

或 ???????(9 分) (Ⅲ)成绩在[50,60)的学生共有 2 人,记为 a , b ,在[60,70)共有 3 人,记为 c, d , e . 从成绩在[50,70)的 5 名学生任选 2 人的方法有 10 种(列举略) ,其中 至少有 1 人的成绩在[60,70)中方法有 9 种(列举略) , 所以,所求概率 p ?

9 . 10

??????(12 分) P

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 F,连结 EF,FC, 则 EF // PA, CF // AD .

因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 EF ? 平面 ABCD . E 因为 AB ? 平面 ABCD , 所以 EF ? AB . A D 因为 AB ? AD , F 所以 AB ? CF . C 因为 EF ? 平面 EFC , CF ? 平面 EFC , B 所以 AB ? 平面 EFC . 因为 CE ? 平面 EFC , 所以 CE ? AB . ???????(4 分) (Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以 CD ? PD .
-6-

所以 ? PDA 为二面角 P ? CD ? A 的平面角. 所以 ?PDA ? 45 . 所以 PA ? AD . 因为 AB ? AD ? 2CD , 所以 PA ? AB ? AD . 由(Ⅰ)知, ?CEF 为 CE 与平面 PAB 所成的角.
?

CF AD AD ? ? ? 2, EF EF 1 PA 2 所以直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值为 2. ??????(8 分) (Ⅲ)过点 P 作 PG // CD , 由 PA ? 平面 ABCD ,? PA ? AB ,? PA ? PG 由 BA ? 平面 PAD ,?CD ? 平面PAD ,? CD ? PD ? PG ? PD , ? ? APD 为所求
因为 tan?CEF ? 锐二面角的平面角

cos?APD ?

PA k ? PD 1? k2

??????(12 分)

20. (本小题满分 13 分)

? 4b ?1, 即 a ? 0 且 2b ? a . 2a (Ⅰ)所有 ( a, b) 的取法总数为 6 ? 6 ? 36 个,满足条件的 ( a, b) 有 (1,?2) , (1,?1) , (2,?2) , (2,?1) ,(2,1) ,(3,?2) ,(3,?1) ,(3,1) ,(4,?2) ,(4,?1) ,(4,1) ,(4,2) ,(5,?2) ,(5,?1) , (5,1) , (5,2) 共 16 个, 16 4 ? . 所以,所求概率 p ? ???????(6 分) 36 9 ? x ? y ? 8 ? 0, 1 ? y (Ⅱ)如图,求得区域 ? x ? 0, 的面积为 ? 8 ? 8 ? 32 . 2 ?y ? 0 8 x ? 2y ? 0 ? P ? x ? y ? 8 ? 0, 16 8 由? 求得 P ( , ) O 3 3 ?x ? 2 y ? 0 8 x 1 8 32 所以区域内满足 a ? 0 且 2b ? a 的面积为 ? 8 ? ? . 2 3 3 32 1 所以,所求概率 p ? 3 ? . ????????(13 分) 32 3
解: 要使函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数, 则a ? 0且? 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可设圆 M 的方程为 ( x ? t ) ? ( y ?
2

3 2 2 3 ) ?t ? 2 , t t

2 3 y ? 0. t 2 3 令 x ? 0 ,得 y ? ;令 y ? 0 ,得 x ? 2t . t
即 x ? y ? 2tx ?
2 2

-7-

1 1 2 3 | OA | ? | OB |? | 2t | ? | |? 2 3 (定值). ???(4 分) 2 2 t (Ⅱ)由 | OC |?| OD | ,知 OM ? l . ? S?AOB ?
所以 kOM ?

3 t
2

? 3 ,解得 t ? ?1 .

3 符合题意; x ? 4 的距离 d ? 2( 3 ? 1) 小于半径, 3 3 当 t ? ?1 时,圆心 M (?1,? 3) 到直线 l : y ? ? x ? 4 的距离 d ? 2( 3 ? 1) 大于半径,不符 3
当 t ? 1 时, 圆心 M (1, 3) 到直线 l : y ? ? 合题意. 所以,所求圆 M 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 . ??????(8 分)

(Ⅲ)设 P(5, y0 ) , G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,又知 E(?1, 3) , F (3, 3 ) , 所以 kPE ?

y0 ? 3 y1 ? 3 ? ? kGE , 6 x1 ? 1

kPF ?

y0 ? 3 y2 ? 3 ? ? kFH . 2 x2 ? 3 ( y1 ? 3)2 ( y2 ? 3)2 . ? ( x1 ? 1)2 ( x2 ? 3)2


因为 3k PE ? k PF ,所以 9 ?

将 ( y1 ? 3)2 ? 4 ? ( x1 ? 1)2 , ( y2 ? 3)2 ? 4 ? ( x2 ? 1)2 代入上式, 整理得 2 x1x2 ? 7( x1 ? x2 ) ? 20 ? 0 . 设直线 GH 的方程为 y ? kx ? b ,代入 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 , 整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? (2kb ? 2 3k ? 2) x ? b2 ? 2 3b ? 0 .

2kb ? 2 3k ? 2 b 2 ? 2 3b , . x ? x ? 1 2 1? k2 1? k2 代入①式,并整理得 b2 ? (7k ? 2 3)b ? 10k 2 ? 7 3b ? 3 ? 0 ,
所以 x1 ? x2 ? ? 即 (b ? 2k ? 3)(b ? 5k ? 3) ? 0 , 解得 b ? 3 ? 2k 或 b ? 3 ? 5k . 当 b ? 3 ? 2k 时,直线 GH 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 3 ,过定点 (2, 3 ) ; 当 b ? 3 ? 5k 时,直线 GH 的方程为 y ? k ( x ? 5) ? 3 ,过定点 (5, 3 ) ????????(14 分)

-8-



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