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课题4、函数的概念





题 4: 函数的概念与图象

知识点一、函数的图像 1. 一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的 高度 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2. 问题 1:炮弹飞行时间 t 的变化范围是什么? 问题 2:炮弹飞行高度的变化范围是什么? 问题 3:相对于某一时刻,炮弹是否有两个高度?
220 2.电路中的电压 U=220 V,电流 I 与电阻 R 之间的变化规律,用欧姆定律表示即 I= R (R>0).

问题 1:在这个问题中的两个变量分别是什么?它们的范围怎样? 问题 2:通过这个公式反映了电流和电阻的什么关系? 1.函数的概念、定义域和值域 一般地,设 A,B 是两个 ,如果按某种对应法则 f,对于集合 A 概念 中的 ,在集合 B 中都有 的元素 y 和它对应,那么这样 的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记作:

定义域

在函数 y=f(x),x∈A 中, 函数 y=f(x)的定义域 ,

组成的集合 A 叫做

在函数 y=f(x),x∈A 中,对于 A 中的 值域 都有一个 与之对应,则将 集合称为函数的值域,即{y|y=f(x),x∈A} 知识点二、函数的图像
考察下列几个比较熟悉的一次函数、二次函数和反比例函数. (1)f(x)=2x+3; (2)f(x)=x2-2x+4; 2 (3)f(x)=x.

组成的

问题 1:这三个函数的图象分别是什么形状?

问题 2:如果取横坐标 x0=-2,它们对应的函数值分别是什么? 问题 3:点(0,2)在这几个函数的图象上吗? 问题 4:结合我们初中得到一次函数、二次函数、反比例函数图象的方法以及函数图象的定 义,如何得到一个不熟悉函数 y=f(x),x∈A 的图象? 2.函数的图象 将自变量的一个值 x0 作为 ,相应的函数值 f(x0)作为 ,就得到坐标平面

上的一个点 , 当自变量取遍 这样的点,所有这些点组成的集合(点集)为{(x, 所有这些点组成的图形就是函数 y=f(x)的图象. 考点一、函数的概念
1

时, 就得到一系列 f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},

[例 1] 判断下列对应法则,是不是实数集 R 上的一个函数. 1 (1) f:把 x 对应到 3x+1. (2) h:把 x 对应到 2. (3) r:把 x 对应到 x. x
练习 1.下列关于函数概念的说法中,正确的序号是________. ① 函数定义域中的每一个数都有值域中惟一确定的一个数与之对应;②函数的定义域和 值域一定是无限集合;③定义域和对应法则确定后,函数的值域也就确定了;④若函数的 定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素,反之,当值域只有一个元素时,定义域也只 有一个元素.
练习 2. 判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函数. (1)A=N,B=R,f:x→y=± x; (2)A=N,B=N*,f:x→y=|x-2|; (3)A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4; (4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. 考点二、求函数的定义域
[例 2] (1)求下列函数的定义域 -x ①y= 2 ; 2x -3x-2 3 ②y= 4x+8 ; 3x-2 1 . 2-x

③y= x+1+

(2)已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],则 f(x-5)的定义域为________.

练习 3.若 f(x)=

1 x的定义域为 M,g(x)= x-2的定义域为 N,令全集为 R,则?R(M∩N)=____.

练习 4.已知函数 f(x-1)的定义域是[0,3],则 f(x)的定义域为______. 考点三、求函数的函数值(式)
1-x [例 3] 已知 f(x)= (x≠-1).求: 1+x 1 (1)f(0)及 f(f( ))的值; 2 (2)f(1-x)及 f(f(x)).

练习5.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

则 f(g(1))的值为________. x2 练习 6.若函数 f(x)= ,g(x)= x,则 f(g(2))的值为________. 1+x2
x+2 练习 7.已知函数 f(x)= . x-6 (1)当 x=4 时,求 f(x)的值; 考点四、求函数的值域 (2)当 f(x)=2 时,求 x 的值.

[例 4] 求下列函数的值域: 2x+1 (1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);(3)y= ;(4)y=2x- x-1. x-3
2

练习 8.求下列函数的值域. (1)f(x)=x2-4x+5,x∈{1,2,3};
练习 9.求下列函数的值域. 2x (1)y= ; x+1

(2)f(x)=x2-4x+5.

(2)y=x+ 2x+1.

考点五、作函数的图像 [例 5] 作出下列函数的图象并求其值域. (1)y=1-x(x∈Z 且|x|≤2); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 练习 10.函数 y=-ax+1 与 y=ax2 在同一坐标系中的图象大致是图中的________.

练习 11.画出下列函数的图象: (1) y=2x+1,x∈[0,2]; (2) y=x2-2x(-1≤x<2); 2 (3) y= ,x∈[2,+∞). x

考点六、函数的图像的应用 [例 6] 画出函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象,并根据图象回答下列问题. (1)比较 f(0)、f(1)、f(3)的大小; (2)若 x1<x2<1,比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (3)求函数 f(x)的值域; (4)若关于 x 的方程 f(x)=k 在[-1,2]内仅有一个实根,求 k 的取值范围.

练习 12. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示, 有下列 4 个结论: ①abc>0; ②b<a+c; ③4a+2b+c>0; ④b2-4ac>0.

其中正确的结论有________个. 练习 13.函数 r=f(p)的图象如右图. (1)函数 r=f(p)的定义域是什么? (2)函数 r=f(p)的值域是什么? (3)r 的哪些值只与 p 的一个值对应?
3

教 案(4) 作业

姓名______________

1.下列各组中的两个函数是同一函数的是 ______ A. f(x)=1 , g(x)=x0 B. f(x)=x , g(x)= x 2 C. f(x)=x , g(x)= 3 x 3 D. f(x)= 2.判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函数 (1) A={

x2 ? 4 , g(x)=x+2 x?2

1 3 1 3 ,1, }, B={-6 , -3 , 1} , f( )=-6 , f(1)=-3 , f( )=1 2 2 2 2

(2) A={1 , 2 , 3} , B={7 , 8 , 9} , f(1)=f(2)=7 , f(3)=8 (3) A=B={1 , 2 , 3} , f(x)=2`x-1 (4) A=B={x|x≥-1}, f(x)=2x+1 (5) A=Z , B={-1 , 1} , n 为奇数时, f(n)=-1 , n 为偶数时, f(n)=1 3.下列图形中, 不可能是函数 y=f(x)的图象的是 ____________ y y y A O x OB O○ C x y 9 4.函数 y=f(x)的图象如图所示. (1)f(- 2 4

y O D

x

x

1 )=______f(0)=______f(1)=______ 2 1 O 1 ? 1 (2)若 x1<x2<- , 则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为____________ 2 2 1 若- <x1<x2<1 , 则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为__________ 2
若 2<x1<x2 , 则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为___________ 5.求下列函数的定义域、值域. (1) f(x)=3x (2) f(x)=-

2

x

1 x

(3) f(x)=-

1 ?1 x

(4) f(x)=(x-1)2-2, x∈ {0 , 1 , 3 , 5}

6.已知函数 f(x)=ax+b , 且 f(3)=7 , f(5)=-1 , 求 f(0) , f(1)的值. 7.(探究· 拓展) 设 f (x)=2x+3 , g (x)=4x-5 , 求: (1) f [f (x)] ; (2) f [g (x)]

(3)满足 f [h (x)]=g (x)的 h (x)

8.求下列函数的定义域: (1) y=

x ?1 2 x ? 5x ? 6

(2) y=

x2 ? x ? 12 | x | ?4

(3) y= 2 x ? 3 ?

1 1 ? 2? x x

9.思考题 已知函数 f(x)= 值.
4

1 1 1 1 x2 )的 , 求 f(2)+f(3)+f(4)…+…+f(100)+ f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( 2 2 3 4 100 1? x



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