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黑龙江省鹤岗一中2015-2016学年高一下学期期中考试 数学(理科)Word版含答案.doc



鹤岗一中 2015-2016 学年度下学期期中考试 高一数学理科试卷
命题人:吴云鹏 审题人:冯春明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.请将答案写在答题卡上,写在本 试卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个选项符合题意,请将 正确答案转涂到答

题卡相应的位置) x-2 1.不等式 ≤0 的解集是( x+1 A.(-∞,-1)∪(-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+∞) 2.下列说法正确的是( A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 C. a ? b ? a ? b 则 a ? b ? 0 D.若 a0 与 b 0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 3.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( 1 1 A. > a-b a 1 1 B. > a b C.|a|>|b| ) D.a2>b2 ) ) B.[-1,2] D.(-1,2]

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

4.已知 a , b 的夹角是 120° ,且 a ? (?2, ?4) , b ? 5 ,则 a 在 b 上的投影等于( A. ?

?

?

?

?

?

?



5 2
π B. 4

B. ? 5

C. 2 5

D.

5 2
( ).

5.在锐角△ ABC 中, 角 A, B 所对的边长分别为 a, b.若 2asin B= 3b, 则角 A 等于 π A. 3 π C. 6 π D. 12

2x+y-2≥0, ? ? 6.已知点 A(-2,0),点 M(x,y)为平面区域?x-2y+4≥0,上的一个动点,则|AM|的最小 ? ?3x-y-3≤0

值是( A.5

) B.3
a b

C .2 2

D.

6 5 5 ( )

1 1 ? 的最小值为 a b 1 A. 8 B. 4 C. 1 D. 4 ? ? ? ? ? ? ? 8.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ,且 b ? 1 , a ? 2b ? 2 3 则 a ? ( 3
7.设 a ? 0, b ? 0. 若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.1 B. 3 C.2 D.3 )



1 9.已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( 4 1 A.2 B.1 C. 2 1 D. 8

x+y-2≥0, ? ? 10.若 x,y 满足?kx-y+2≥0,且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( ? ?y≥0, 1 A.2 B.-2 C. 2 D.- 1 2

)

11.数列 ?an ? 是递减的等差数列, ?an ? 的前 n 项和是 S n ,且 S 6 ? S9 ,有以下四个结论 ① a8 ? 0 ; ②若对任意 n ? N? , 都有 S n ? S k 成立,则 k 的值等于 7 或 8 时; 存在正整数 k ,使 S k ? 0 ; ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ ④存在正整数 m ,使 S m ? S 2 m .其中所有正确结论的序号是

12.已知函数 f ?x? ? x 1 ? a x . 设关于 x 的不等式 f ?x ? a ? ? f ?x ? 的解集为 A. 若 ??

?

?

? 1 1? , ? A , 则实数 a 的取值范围是( ? 2 2? ?
A. ?

)

?1? 5 ? ? ? 2 ,0 ? ? ?

B. ?

?1? 3 ? ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? ? 1? 5 ? ? 2 ? ?

C. ?

?1? 5 ? ? 1? 3 ? ? ? ? ? 2 ,0 ? ? ? 0, 2 ? ? ? ? ?

D. ? ? ?,

第Ⅱ卷(非选择题)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案转填到答题卡相应的 位置) 13. 在△ ABC 中,已知 sinA ∶ sinB ∶ sinC=3 ∶ 5 ∶ 7, 则此三角形的最大内角的度数等于 ________. 14.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S2016 ? ___________. 2

π 15.设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为 ,若 a=e1+3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方向 3 上的投影为________. 16.函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的减函数, 函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点 (1,0) 对称, x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1,2) , N ( x, y) , O 为坐标原点,则当
1 ? x ? 4 时,

___________. OM ? ON 的取值范围为

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请将正 确答案转填到答题卡相应的位置) 17. (本小题满分 10 分) 已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,设向量 m ? (a, b) , n ? (sin B,sin A) ,

??

?

? ? p ? (b ? 2, a ? 2) ?? ? (1)若 m / / n ,求证: ?ABC 为等腰三角形
(2)若 m ? p ,边长 c ? 2 角 C = 18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , S 3 ? 15 , a 3 和 a 5 的等差中项为 9 (1)求 a n 及 S n (2)令 bn ?

??

? ?

? ,求 ?ABC 的面积 3

4 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn an ? 1
2

19. (本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 ? ?? m ? 3? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 0 ,其中 m ? R 20、已知数列 {bn } 的前 n 项和 Bn ?

3n2 ? n . 2

(?) 求数列 {bn } 的通项公式;

(?? ) 设数列 {an } 的通项 an ? [bn ? (?1) n ] ? 2 n ,求数列 {an } 的前 n 项和 Tn .
21.(本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B = 1 cos∠ADC=- . 4 (1)求 sin∠BAD 的值; (2)求 AC 边的长. 22. (本小题满分 12 分) 10 , 8

?1 ? an ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?
(1)求 a2, a3,a4 的值; (2)求证:数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (3)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,并求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 的值。

? ?

3? 2?

高一数学理试卷 (数学理)试卷 答案
一.选择题 1—5 DCABA 二.填空题 三.解答题 17.证明: (1)? m // n, ? a sin A ? b sin B ,即 接圆半径, 13.1200 6—10 DBCCD 14.3024 15. 11—12 DA 16. ?0,12?

5 2

a?

a b ? b? 2R 2 R ,其中 R 是三角形 ABC 外

? a ? b .? ?ABC 为等腰三角形.

………4 分 ………6 分

(2)由题意可知 m ? p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0. ? a ? b ? ab. 由余弦定得理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即 (ab) ? 3ab ? 4 ? 0. ? ab ? 4(舍去ab ? ?1),
2

…………………………………9 分

?S ?

1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3. 2 2 3

………………………………………1 分

18. 解: (1)因为 ?a n ?为等差数列,所以设其首项为 a1 ,公差为 d 因为 S3 ? 3a2 ? 15 , a3 ? a5 ? 18 ,所以 ?

?a1 ? d ? 5 ,解得 a1 ? 3 , d ? 2 ………2 分 ?2a1 ? 6d ? 18
……4 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1

S n ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 3n ? ? 2 ? n 2 ? 2n ; ……………………………………6 分 2 2

(2)由(1)知 an ? 2n ? 1 ,所以

bn ?

4 4 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? , an ? 1 4n ? 4n n ? n n(n ? 1) n n ? 1 ……9 分
2

1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
. ………12 分 19 解:下面对参数 m 进行分类讨论:

①当 m= ? 3 时,原不等式为 x+1>0,∴不等式的解为 x ? ?1 ②当 m ? ?3 时,原不等式可化为 ? x ?

? ?

1 ? ??x ? 1? ? 0 m ? 3?

?

1 1 ? 0 ? ?1 ,∴不等式的解为 x ? ?1 或 x ? m?3 m?3

③当 m ? ?3 时,原不等式可化为 ? x ?

? ?

1 ? ?( x ? 1) ? 0 m ? 3?

?

1 m?4 ?1 ? , m?3 m?3
1 1 ? ?1原不等式的解集为 ? x ? ?1 ; m?3 m?3 1 1 ? ?1 原不等式的解集为 ? 1 ? x ? 当 m ? ?4 时, ; m?3 m?3 1 ? ?1 原不等式无解 当 m ? ?4 时, m?3
当 ? 4 ? m ? ?3 时,

20、解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, bn ? Bn ? Bn?1 ?

3n2 ? n 3(n ? 1)2 ? (n ? 1) ? ? 3n ? 2 2 2

当 n ? 1 ,得 b1 ? 1 ,? bn ? 3n ? 2 ( n ? N ? );…………………………………4 分
n n n n n (Ⅱ)由题意知 an ? ? ?bn ? (?1) ? ? ? 2 = bn ? 2 ? (?1) 2

记 ?bn ? 2n ? 的前 n 项和为 S n , ?(?)n 2n ? 的前 n 项和为 H n , 因为 bn ? 2 n = (3n ? 2)2n , 所以 Sn ? (3 ?1 ? 2)2 ? (3 ? 2 ? 2) ? 22 ? ?? ? (3n ? 2) ? 2n
2Sn ? (3 ?1 ? 2)22 ? (3 ? 2 ? 2) ? 23 ? ?? ? (3(n ? 1) ? 2)2n ? (3n ? 2) ? 2n ?1

两式相减得 ? S n ? 2+ 3(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ?(3n ? 2) ? 2n ?1 = ?10 ? (5 ? 3n)2n ?1 所以 Sn ? 10 ? (3n ? 5)2n ?1 ,…………………………………………………………………8 分
2 2 又 H n ? ? ? (?2)n ,………………………………………………………………… 10 分 3 3 2 2 所以 Tn ? Sn ? H n = 10 ? (3n ? 2)2n ?1 ? (?2)n ? 3 3

=

28 2 ? (3n ? 2)2n ?1 ? (?2)n .…………………………………………………………… 3 3

12 分

21. (12 分)解:(1)因为 cosB=

10 3 6 ,所以 sinB= . 8 8

1 15 又 cos∠ADC=- ,所以 sin∠ADC= , 4 4 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

1 15 10 3 6 6 × -(- )× = . 4 8 8 4 4

AD BD 3 BD (2)在△ ABD 中,由 = 得 = ,解得 BD=2. sinB sin∠BAD 3 6 6 8 4 故 DC=2,从而在△ ADC 中,由 AC2=AD2+DC2-2AD· DC· cos∠ADC =32+22-2× 3× 2× (-

1 )=16,得 AC=4. 4
3 , 2

、解: (Ⅰ)设 bn ? a2 n ? 因为

1 3 1 3 1 3 1 a2 n ? a ? (2n ? 1) ? (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? bn ?1 a2 n ? 2 ? 2 3 2 n ?1 2 ?1, 2=3 2=3 ? ? 3 3 3 3 3 bn a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 1 3 1 3 所以数列 {a2 n ? } 是以 a2 ? 即 ? 为首项,以 为公比的等比数列. ……… 5 分 6 2 3 2
3 1 ?1? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ?3?
由 a2 n ?
n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? , 2 ?3? 2 2 ?3?

n

n

1 1 1 15 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3(2n ? 1) ? ? ? ( ) n ?1 ? 6n ? , 3 2 3 2 1 1 n ?1 1 n 1 n 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? [( ) ? ( ) ] ? 6n ? 9 ? ?2 ? ( ) ? 6 n ? 9 , 2 3 3 3

S2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2n?1 ? a2n )
1 1 1 ? ?2[ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ] ? 6(1 ? 2 ? ? ? n) ? 9n 3 3 3 1 1 [1 ? ( ) n ] 3 ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ?2 ? 3 1 2 1? 3 1 1 ? ( ) n ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ( ) n ? 3( n ? 1) 2 ? 2 …………………….10 分 3 3
显然当 n ? N ? 时, {S2 n } 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 >0,当 n ? 2 时, S 4 ? ? <0,所以当 n ? 2 时, S 2 n <0; 3 9

S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ?

3 1 n 5 ? ( ) ? ? 3n 2 ? 6n , 2 3 2

同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n ?1 >0, 综上,满足

S n ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.…………………………………… 12 分



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