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抽象函数经典习题



抽象函数问题
3? 1. 若函数 f (2x ? 1) 的定义域为 ? ? ?1, ? ,则函数 f (log2 x) 的定义域为 ? 2?

A.

?1 ? ? ,2? ?2 ?

B.

?1 ? ,2 ? ?2 ? ?

C.

?1 4 ?

? , 2? ?2 ?

1 4 ? D. ? ? , 2? ?2 ?

2. 若 f (n ?1) ? f (n) ? 1(n ? N * ),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A.102 B.99 C.101 D.100

3. 定义 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 且f (9) ? 8, 则f ( 3) ? A. 2 B.2 C .4 D.6

4. 定义在区间(-1,1)上的减函数 f ( x) 满足: f (? x) ? ? f ( x) 。若
f (1 ? a) ? f (1? a2 ) ? 0

恒成立,则实数 a 的取值范围是

___________________. 5. 已知函数 有:
f ( x) 是定义在 (0,+ ∞ ) 上的增函数 , 对正实数 x, y

,都

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

成 立 . 则 不 等 式 f (log2 x) ? 0 的 解 集 是

_____________________. 6. 已 知 函 数
f ( x)

是 定 义 在 ( - ∞ , 3] 上 的 减 函 数 , 已 知

f (a2 ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos2 x) 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

7. 已知

f ( x) 是定义在

R 上的不恒为零的函数 , 且对于任意的

a, b ? R, 都满足: f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) .

(1)求 f (0), f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f (2) ? 2 , un ?
f (2? n ) (n ? N * ) ,求数列{ un }的前 n 项和 s n . n

8. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且

对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2) 求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 9. 已 知 函 数
f( m ? n )?
2

f ( x)

的 定 义 域 为 R, 对 任 意 实 数
1 1 1 f( ? n ),且 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) >0. 2 2 2

m, n

都有

f( m ) ?

(1)求 f (1) ; (2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) (n ? N * ) ; (3)判断函数 f ( x) 的单调性,并证明. 10. 函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有
1 f ( x) >0;②对任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 . 3

(1)求 f (0) 的值; (2)求证:
f ( x) 在

R 上是单调减函数;

(3)若 a ? b ? c ? 0 且 b2 ? ac ,求证: f (a) ? f (c) ? 2 f (b) . 11. 已 知 函 数
f( m ? n )? f ( x)

的 定 义 域 为 R, 对 任 意 实 数
f n ) x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . ,(且当

m, n

都有

f( m ) ?

(1)证明: f (0) ? 1, 且x ? 0时,f(x)>1; (2)证明:
f ( x) 在

R 上单调递减;

(3)设 A= {( x, y)

f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)} ,B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R },若

A ? B = ? ,试确定 a 的取值范围.

12. 已知函数

f ( x) 是定义域为

R 的奇函数,且它的图象关于直线

x ? 1 对称.

(1)求 f (0) 的值; (2)证明: 函数 f ( x) 是周期函数; (3)若 f ( x) ? x(0 ? x ? 1), 求当 x ? R 时,函数 f ( x) 的解析式,并画出满足 条件的函数 f ( x) 至少一个周期的图象. 13. 函 数
f ( x)

对 于

x>0

有 意 义 , 且 满 足 条 件

f (2) ? 1, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f ( x)是 减函数。

(1)证明: f (1) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立,求 x 的取值范围。 14. 设函数 f ( x) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? (1)试判断函数 y ?
f ( x) 的奇偶性; f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) , f (3) ? 0 .

(2)试求方程 f ( x) =0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数, 并证明你的结论

1. B 2. A 3. A

4. 0 ? a ? 2 ,解:由 f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0 得,
?0 ? a ? 2 ??1 ? 1 ? a ? 1 ? ? f (1 ? a) ? f (a 2 ?1) ,得 ??1 ? a 2 ? 1 ? 1 ? ?? 2 ? a ? 2且a ? 0 ? 0 ? a ? 2 ?1 ? a ? a 2 ? 1 ??2 ? a ? 1 ? ?

5. ? x 1 ? x ? 2? ; 解 : 令
f( l o x? ) f ? (1 lo ) 2gx ? 2 g

x ? y ?1

,则
2

f ( 1? ) f2

( ? 1) f ( 1? )

, 0 则

? 1

l2 o x g?

..① l o? gx 2… ? …… 2

∵函数 f ( x) 是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴
l og2 x ? 0 ? x ? 1 ,……………………………………………………②

由①②得,不等式的解集为 ? x 1 ? x ? 2? 。 6.
? 2?a? 1 ? 10 2

;解: f (a2 ? sin x) ? f (a ?1 ? cos2 x) 等价于

? ?a 2 ? sin x ? 3 ?a 2 ? 3 ? sin x ?a 2 ? 3 ? ?1 ? ? ? 2 ? ?a ? 2 ? ? cos 2 x ? ?a ? 2 ? 0 ? ?a ? 1 ? cos x ? 3 ?a 2 ? sin x ? a ? 1 ? cos 2 x ?a 2 ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin x ? 5 ? ? ?a 2 ? a ? 1 ? ? 4

? ?? 2 ? a ? 2 ? 1 ? 10 ? ?? 2?a? ?a ? 2 2 ? 1 ? 10 1 ? 10 ?a ? 或a ? ? ? 2 2

7. (1)解:令 a ? b ? 0 ,则 f (0) ? 0 令 a ? b ? 1 ,则 f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0 (2)证明:令 a ? b ? ?1 ,则 f (1)
? 2 ( f1 ? ) ) ,∵ f (1) ? 0 ,∴ f (?1 ? 0

令 a ? x, b ? ?1,则 f (? x) ? xf (?1) ? f ( x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数。

(3)当 ab ? 0 时,
g (a ? b) ? g (a) ? g (b)

f (a ? b) f (b) f (a) f ( x) ? ? ,令 g ( x) ? ,则 ab b a x

故 g (an ) ? ng (a) ,所以 f (an ) ? an ? g (an ) ? nan g (a) ? nan?1 f (a)
?n 1? ∴ un ? f (2 ) ? ? ? ? n ?2? n ?1

1 ? f( ) 2
?1? 1 ? ? ? f ? 2? ? 0 ?2? 2
n ?1

∵ f (2) ? 2, f (1) ?

1 f (2 ? ) ? 2 f 2

1? 1 1 ? 1? ?1? ∴f? ? ? ? ? f (2) ? ? ,故 un ? ? ? ? ? ? ? ? n ? N ?? ?2? 4 2

? 2? ?2?

n 1? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ? ?2? ? ? ?1? ∴ sn ? ? ? ? ? 1? n ? N ? ? 1 ?2? 1? 2

8. (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)

2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ?0 f ( ? x)

又 x=0 时,f(0)=1>0

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3
2 2 2 2 2

9. 8.(1)解:令 m ? n ? ,则 f ( (2)∵

1 1 1 1 1 ? ) ? 2 f ( ) ? ? f (1) ? 2 2 2 2 2 1 1 1 1 f (1) ? , f (n ? 1) ? f (1) ? f (n) ? ? ? f (n) ? ? f (n) ? 1 2 2 2 2

1 2

∴ f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ∴数列 ? f (n)? 是以 为首项,1 为公差的等差数列,故
n n(n ? 1) n2 =? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) = ? 2 2 2

1 2

(3)任取 x1, x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 1 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 2

= f ( x2 ? x1 ? ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 )

1 )?0 2

∴函数 f ( x) 是 R 上的单调增函数. 10. 9.(1) 解 : ∵ 对 任 意
x?R

,有

f ( x)

>0, ∴ 令

x ? 0 ,y ? 2

得, f (0) ? [ f (0)]2 ? f (0) ? 1 (2)任取任取 x1, x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则令 x1 ?
1 1 p1 , x2 ? p2 ,故 p1 ? p2 3 3

∵函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有
1 f ( x) >0;②对任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 3 1 1 1 p1 1 p2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( p1 ) ? f ( p2 ) ? [ f ( )] ? [ f ( )] ? 0 3 3 3 3

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调减函数. (3) 由(1) (2)知, f (b) ? ∵ f (a) ?
f (0) ? 1 ,∴ f (b) ? 1

a c a ? c? f (b ? ) ? ? f (b)?b , f (c) ? ? b ? ? ? ? f (b) ?b b ? b?
a c a ?c b

∴ f (a) ? f (c) ? ? f (b)?b ? ? f (b)?b

? 2 [ f (b)]

,而 a ? c ? 2 ac ? 2 b2 ? 2b

∴ 2 ? f (b)? b

a ?c

?2

? f (b)? b

2b

? 2 f (b)

∴ f (a) ? f (c) ? 2 f (b) 11. (1)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? ∵当 x ? 0 时, 0 ? 时, 0 ?
f ( x) ? 1 f (0) ? f (1)

f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 ,∵当 x ? 0

∴当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x ? x) ?

f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ?

f (0) 1 ? ?1 f (? x) f ( ? x)

(2)证明: 任取 x1, x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 )

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴0< 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 f ( x2 ? x1 ) ?1 <0,又∵ f ( x1 ) ? 0, ∴ [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 ) ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调减函数. (3) ∵ A ? ?( x, y)
f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1) ? ( x, y) f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1)

? ?

?

由(2)知, f ( x) 是 R 上的减函数,∴ x2 ? y 2 ? 1 ∵B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R }= ?? x, y ? ax ? y ? 2 ? 0, a ? R? 又∵ A ? B ? ? ,
? x2 ? y 2 ? 1 ∴方程组 ? 无解,即直线 ax ? y ? 2 ? 0与单位圆x2 ? y 2 ? 1的内 ? ax ? y ? 2 ? 0

部无公共点 ∴ 12.
2 a ?1
2

? 1 ? a2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ,故 a 的取值范围是- 3 ? a ? 3
f ( x)

(1) 解 : ∵

为 R 上 的 奇 函 数 , ∴ 对 任 意 x ? R, 都 有

f ( ? x ) ? ? f ( x) ,令 x ? 0, 则 f (?0) ? ? f (0)

∴ f (0) =0 (2)证明: ∵ f ( x) 为 R 上的奇函数, ∴对任意 x ? R, 都有
f ( ? x ) ? ? f ( x) ,

∵ f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称, ∴对任意 x ? R, 都有
f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,

∴ 用 1 ? x 代 x 得, f (2 ? x) ?

f [1 ? (1 ? x)] ? f (? x) ? ? f ( x) f ( x) ,即 f (4 ? x) ? f ( x)

∴ f [2 ? (2 ? x)] ? ? f ( x ? 2) ? ?[? f ( x)] ? ∴ f ( x) 是周期函数,4 是其周期. (3)当 x ???1,3? 时, f ( x) ? ?

? x(?1 ? x ? 1) ?? x ? 2(1 ? x ? 3)

当 4k ? 1 ? x ? 4k ? 1时, f ( x) ? x ? 4k , k ? Z 当 4k ? 1 ? x ? 4k ? 3 时, f ( x) ? ? x ? 2 ? 4k , k ? Z ∴ f ( x) ? ?
? x ? 4k (4k ? 1 ? x ? 4k ? 1) ,z?R ?? x ? 2 ? 4k (4k ? 1 ? x ? 4k ? 3)

图象如下:

y

-2 -1 0

12 3 4 56

x

13. (1)证明:令 x ? y ? 1 ,则 f (1?1) ? (2) ∵ f (2) ? 1 , 令x? y?2, 则 f2 ( 2 ) ?
f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ?

f (1) ? f (1) ,故 f (1) ? 0 ? 2 ( )f 2 ( ) ?2f ?

, ∴ f (4) ? 2

f [ x( x ? 3)] ? f (4) ? f ( x2 ? 3x) ? f (4) ? x2 ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4

∴ f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立的 x 的取值范围是 ?1 ? x ? 3 。 14. 解:(1)由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 y ? 为 x ? 2和x ? 7 , 从而知函数 y ? 由?
f ( x) 不是奇函数, f ( x) 的对称轴

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10

又 f (3) ? f (0) ? 0, 而f (7) ? 0 ,故函数 y ? (2)

f ( x) 是非奇非偶函数;



? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)
? f ( x) ? f ( x ? 10)

又 f (3) ?

f (0) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0
f ( x) 在 f ( x)

故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 y ?

[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? 在[-2005,2005]上有 802 个解.

经典习题 2
1. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (3)求证:f(0)=1; (4)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)
2 2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 2. 已 知 函 数 f ( x ) , g ( x) 在 R
2 2 2 2 2

? 上 有 定 义 , 对 任 意 的 x, y

R 有

f ( x ? y ) ? f ( x) g ( y ) ? g ( x ) f ( y )
(1)求证: f ( x ) 为奇函数

且 f (1) ? 0

(2)若 f (1) ? f (2) , 求 g (1) ? g (?1) 的值 解(1)对 x ? R ,令 x=u-v 则有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)g(u)f(v)]=-f(x) (2)f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 3. 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x, y 恒 有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 且 当 x > 0 ,
f ( x ) ? 0.又f (1) ? ?2.

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值;

(3)解关于 x 的不等式 f (ax2 ) ? 2 f ( x) ? f (ax) ? 4. 解(1)取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0)

? f (0) ? 0

取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数. (2)任取 x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? ? f (? x1 ), 又 f ( x) 为奇函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数. ? 对任意 x ? [?3,3] ,恒有 f ( x) ? f (?3) 而 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 3 f (1) ? ?2 ? 3 ? ?6 ∴ f ( x) 在[-3,3]上的最大值为 6 ? f (?3) ? ? f (3) ? 6 (3)∵ f ( x) 为奇函数,∴整理原式得 f (ax2 ) ? f (?2x) ? f (ax) ? f (?2) 进一步可得 f (ax2 ? 2 x) ? f (ax ? 2) 而 f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数,? ax ? 2 x ? ax ? 2
2

? (ax ? 2)(x ? 1) ? 0. ? 当 a ? 0 时, x ? (??,1) 当 a ? 2 时, x ? {x | x ? 1且x ? R} 2 当 a ? 0 时, x ?{x | ? x ? 1} a
当 0 ? a ? 2 时, x ? { x | x ? 当 a>2 时, x ? { x | x ?
2 或x ? 1} a 2 或x ? 1} a

4.

已知 f(x)在(-1, 1)上有定义, f(

x? y 1 )=-1, 且满足 x, y∈(-1, 1)有 f(x)+f(y)=f( ) 2 1 ? xy

⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;? ⑵对数列 x1=

2xn 1 ,xn+1= ,求 f(xn);? 2 2 1 ? xn

⑶求证

1 1 1 2 n ? 5 ? ? ? ? ? ? f ( x ) f ( x ) f ( x ) n ? 2 1 2 n

(Ⅰ)证明:令 x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 (Ⅱ)解:f(x1)=f(

2 xn x ? xn 1 )=-1,f(xn+1)=f( )=f( n )=f(xn)+f(xn)=2f(xn) 2 2 1 ? xn ?x n 1 ? xn



f ( x n ?1 ) =2 即{f(xn)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列 f (xn )
-1

∴f(xn)=-2n (Ⅲ)解:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( 1 ? ? ? ? ? ) 2 n ? 1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 2 2 2 1 2 n

1 1 ?n 1 1 ? ? 2? ? ( 2 ?n )? ? 2 ?n ? ? 2 ? 1 1 1 2 2? 1 ? 2 2 n ? 5 1 1 而? ? ? ( 2 ? ) ? ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 n ? 2 n ? 2


1 1 1 2 n ? 5 ? ? ? ? ? ? f ( x ) f ( x ) f ( x ) n ? 2 1 2 n
(1)对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x ) 的最大值; (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? ? 1 2 (an ? 3), n ? N .
*

6.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足:

求证: f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ? 3 ? 2n ? 1n?1 . 2 2?3 解: (I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 由对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 (II)任意 x1 , x2 ??0,1? 且 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f max ( x) ? f (1) ? 3
* (III)? Sn ? ? 1 ? Sn?1 ? ? 1 2 (an?1 ? 3)(n ? 2) 2 (an ? 3)(n ? N )

1 ?an ? 1 3 an?1 (n ? 2),?a1 ? 1 ? 0?an ? 3n?1

? f (an ) ? f (
1)? ? f (3 n

1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 4 f (an?1 ) ? 1 n) ? 3 。 3 3 3 3n?1

f (a

4 1 4 4 1 4 4 4 4 1 ? f (an ) ? 1 3 f (an?1 ) ? 3 ? 32 f (an?2 ) ? 32 ? 3 ? ? ? 3n?1 f (a1 ) ? 3n?1 ? 3n?2 ? ?? 32 ? 3 ? 2 ? 3n?1

1 故 f ( an ) ? 2 ? n ?1 3

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3
7. 对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三条:①对任意的 x ??0,1? ,总有

1?( 1 )n

f ( x) ? 0 ;② f ( 1 ) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成
立,则称函数 f ( x ) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x ) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2x ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明; (3) 若 函 数 f ( x ) 为 理 想 函 数 , 假 定 ? x0 ? ?0 , 1 ? , 使 得 f ( x0 )?? 0 ,?1, 且

f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证 f ( x0 ) ? x0 .
解: (1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 . 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 . (2)显然 g ( x) ? 2 ? 1在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ;x

也满足条件② g (1) ? 1 . 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)] ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0 ,即满足条件③,
故 g ( x) 理想函数. (3)由条件③知,任给 m 、 n ? [0,1],当 m ? n 时,由 m ? n 知 n ? m ?[0,1],

? f (n) ? f (n ? m ? m) ? f (n ? m) ? f (m) ? f (m)
若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾; 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾. 故 x0 ? f ( x0 ) 8.已知定义在 R 上的单调函数 f ( x) ,存在实数 x0 ,使得对于任意实数 x1 , x2 ,总有

f ( x0 x1 ? x0 x2 ) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立。
(Ⅰ)求 x0 的值;

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对任意正整数 n ,有 an ? f (

1 ) ? 1 , ,求数列{an}的通项公式; 2n (Ⅲ)若数列{bn}满足 bn ? 2?og 1 an ? 1 ,将数列{bn}的项重新组合成新数列 ?cn ? ,具体法则
2

如下: c1 ? b1 , c2 ? b2 ? b3 , c3 ? b4 ? b5 ? b6 , c4 ? b7 ? b8 ? b9 ? b10 , ……,求证:

1 1 1 1 29 。 ? ? ??? ? c1 c2 c3 cn 24
解:(Ⅰ)令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? ? f (0) ,① 令 x1 ? 1, x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (1) ? f (0) ,? f (1) ? ? f (0) ,② 由①、②得 f ( x0 ) ? f (1) ,又因为 f ( x) 为单调函数,? x0 ? 1 (Ⅱ)由(1)得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1) ? f ( x 2) ?1 ,

1 1 1 1 f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1), 2 2 2 2 1 1 f ( ) ? 0, a1 ? f ( ) ? 1 ? 1 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( n ) ? f ( n ?1 ? n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f (1) ? 2 f ( n ?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 f ( n ?1 ) ? 1 ? [ f ( n ) ? 1], 2 2 2

1 ?1? an?1 ? an , an ? ? ? 2 ?2?

n ?1


n ?1

?1? bn ? 2?og 1 an ? 1 ? 2?og 1 ? ? 2 2 ?2?
[1+2+…+(n-1)]+1=

? 1 ? 2n ? 1

(Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知,Cn 应等于{bn}中的 n 项之和,其第一项的项数为

(n ? 1)n (n ? 1)n +1,即这一项为 2×[ +1]-1=n(n-1)+1 2 2 n(1 ? 2n ? 1) 3 Cn=n(n-1)+1+n(n-1)+3+…+n(n-1)+2n-1=n2(n-1)+ =n 2 1 9 29 1? 3 ? ? 2 8 24 1 1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] 当 n ? 3 时, 3 ? 2 2 n n?n n(n ? 1) 2 (n ? 1)n n(n ? 1)
?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ??? 3 ? 1? ? [ ? ??? ? ] 3 2 3 4 n 8 2 2 ? 3 3? 4 (n ? 1) ? n n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 29 ? 1? ? [ ? ] ? 1? ? ? 8 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) 8 12 24
解法 2:? n3 ? 4n(n ?1) ? n(n ? 2)2 ? 0,?n3 ? 4n(n ?1)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 3 n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 1 ? ? ( ? ? ? ? ? ) 2 3 4 n 8 4 2 3 n ?1 n 1 1 1 1 1 19 29 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 8 16 4n 8 16 16 24
?? ) 9. 设 函 数 f ( x) 是 定 义 域 在 ( 0 , 上 的 单 调 函 数 , 且 对 于 任 意 正 数 x, y 有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,已知 f (2) ? 1 .

1 f( ) (1)求 2 的值;
(2) 一个各项均为正数的数列 是数列

{an }

满足:

f (Sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ?1(n ? N*) ,其中 S n
的通项公式;

{an }

的前 n 项的和,求数列

{an }

(3)在(2)的条件下,是否存在正数 M ,使

2n ? a1 ? a2 ??? an ? M 2n ? 1(2a1 ?1) ?(2a2 ? 1)? ?(2an ? 1)
对一切 n ? N * 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,说明理由.

解: (1)∵ f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,令 x ? y ? 1 ,有 f (1) ? f (1) ? f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 .

1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) f ( ) ? ?1 f ( ) ? f (1) ? f (2) ? 0 ? 1 ? ?1 2 ,有 2 ,∴ 2 再令 ,∴ 2 1 1 ? f [an (an ? 1)] ? f ( ) ? f [ an (an ? 1)] f ( S ) ? f ( a ) ? f ( a ? 1) ? 1 2 2 n n n (2)∵ , 1 an (an ? 1) ? 0 Sn ? 0 f ( x ) (0, ?? ) 又∵ 是定义域 上单调函数,∵ , 2 ,∴ 1 Sn ? an( a? n 1) 2 ……① 1 S1 ? ( a1 ? a11 ) a1 ? 1 2 当 n ?1 时 , 由 , 得 , 当 n?2 时 , 1 Sn ?1 ? an(?1 ? an ?11 ) 2 ……② x ? 2, y ?

由①-②,得 化简,得 ∵ ∴

Sn ? Sn ?1 ?

1 1 an (an ? 1) ? an ?1 (an ?1 ? 1) ? an 2 2 ,

2 2 an ? an ?1 ? (an ? an?1 ) ? 0 ,∴ (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 1) ? 0 ,

an ? 0

, ∴

{a } a ?1 a ? a ?1 , an ? an?1 ? 1 ? 0 , 即 n n?1 ∴数列 n 为等差数列. 1 , 公差 d ? 1 .

an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ,故 an ? n .

n n n (2a ?1)(2a2 ?1)?(2an ?1) ? 1? 3?? (2n ?1) (3)∵ 2 ? a1 ? a2 ?? an ? 2 ?1? 2?? n ? 2 ? n! , 1

bn ?


2n ? n ! 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)?(2an ? 1) = 2n ? 1 ?1? 3? ? (2n ? 1) ,

2n ? a1 ? a2 ?? an

bn?1 ?


2n?1 ? (n ? 1)! 2n ? 3 ?1? 3?? (2n ? 1)(2n ? 1) .

2(n ? 1) bn?1 2(n ? 1) 2n ? 1 4n2 ? 8n ? 4 ? ? ?1 (2n ? 1)(2n ? 3) = 4n2 ? 8n ? 3 (2n ? 1) 2n ? 3 ∴ bn ,


bn?1 ? bn , 数 列 {bn } 为 单 调 递 增 函 数 , 由 题 意 M ? bn 恒 成 立 , 则 只 需
b1 ? 2 3,

M ? (bn )m i = n



M ? (0,

2 3 2 3 ] (0, ] 3 , 3 . M 的取值范围为 存在正数 M , 使所给定的不等式恒成立,

11. 设函数 f(x)定义在 R 上,对于任意实数 m、n,恒有 fm , ( ?? n ) fm () · fn ( ) 且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)求证:f(x)在 R 上单调递减; (3)设集合 A , ? ( x , y ) |( f xf ) · ( y ) ? f ( 1 )
2 2

?

?

B ? ( x , y ) |( f a x ? y ? 2 ) ?? 1 , a R ,若 A ,求 a 的取值范围。 ∩ B?? ? ?
解: (1)令 m=1,n=0,得 f(1)= f(1) ·f(0) 又当 x>0 时,0< f(x)<1,所以 f(0)=1 设 x<0,则-x>0

令 m=x,n=-x,则 f(0)= f(x) ·f(-x) 所以 f(x) ·f(-x)=1 又 0< f(-x)<1,所以 f (x )?

1 ?1 f (? x )

(2)设 x ,且 x 、 x R x 0 1 ?x 2,则 x 2? 1? 1 2? 所以 0 ? fx ( ? x ) ? 1 2 1 从而 f ( x )( ? f x ? x ? x )( ? f x ? x ) · f ( x ) 2 212 21 1 又由已知条件及(1)的结论知 f(x)>0 恒成立 所以

f (x 2) ? f (x x ) 2? 1 f (x ) 1 f (x2 ) ?1 f (x1)

所以 0 ?

所以 f(x2)< f(x1) ,故 f(x)在 R 上是单调递减的。

(3)由

得: f( x? y)? f() 1
2 2

因为 f(x)在 R 上单调递减 所以 x ?y ?1 ,即 A 表示圆 x ?y ?1 的内部
2 2 2 2

由 f(ax-y+2)=1= f(0)得:ax-y+2=0 所以 B 表示直线 ax-y+2=0

∩ B?? 所以 A ,所以直线与圆相切或相离,即

2 1? a2

?1

? a ?3 解得: ? 3
12.定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 a、b 都有 f(a+b)+ f(a-b)=2 f(a) ·f(b)

成立,且 f (0 ) ?0。 (1)求 f(0)的值; (2)试判断 f(x)的奇偶性; (3)若存在常数 c>0 使 f ( ) ? 0 ,试问 f(x)是否为周期函数?若是,指出它的一个 周期;若不是,请说明理由。 解: (1)令 a=b=0 则 f(0)+ f(0)=2 f(0) ·f(0) 所以 2 f(0) ·[f(0)-1]=0 又因为 f (0 ) ?0,所以 f(0)=1 (2)令 a=0,b=x,则 f(x)+ f(-x)=2 f(0) ·f(x) 由 f(0)=1 可得 f(-x)= f(x) 所以 f(x)是 R 上的偶函数。 (3)令 a?x? , b? ,则

c 2

c 2

c 2

c ? ? ? ? ? c ? c ?c ? c ?c ? ? ? f x ? ? ? f x ? ? ? 2 fx ? · f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 ? ? ? ? 22 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?
因为 f ? ? ? 0

? c? ? 2?

所以 f(x+c)+ f(x)=0 所以 f(x+c)=- f(x) 所以 f(x+2c)=- f(x+c)= -[-f(x)]= f(x) 所以 f(x)是以 2c 为周期的周期函数。

) 立,且 16. 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 对 于 任 意 x, y 都 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y成 f (1) ? ?2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。
(1)判断 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)试问:当-2003≤ x ≤2003 时, f ( x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有, 说明理由;

(3)解关于 x 的不等式

1 1 f (bx 2 ) ? f ( x) ? f (b 2 x) ? f (b) ,其中 b2 ? 2 . 2 2

分析与解:⑴令 x=y=0,可得 f(0)=0 令 y=-x,则 f(0)=f(-x)+f(x),∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数 ⑵设-3≤x1<x2≤3,y=-x1,x=x2 则 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1),因为 x>0 时,f(x)<0, 故 f(x2-x1)<0,即 f(x2)-f(x1)<0。 ∴f(x2)<f(x1)、f(x)在区间[-2003、2003]上单调递减 ∴ x= - 2003 时, f(x) 有最 大值 f( - 2003)= - f(2003)= - f(2002+1)= - [f(2002)+f(1)]= - [f(2001)+f(1)+f(1)]=…=-2003f(1)=4006。 x=2003 时,f(x)有最小值为 f(2003)= -4006。 ⑶由原不等式,得

1 [f(bx2) -f(b2x)]>f(x) -f(b)。 2

即 f(bx2)+f(-b2x)>2[f(x)+f(-b)] ∴f(bx2-b2x)>2 f(x-b),即 f[bx(x-b)]>f(x-b)+f(x-b) ∴f[bx(x-b)]>f[2 f(x-b)] 由 f(x)在 x∈R 上单调递减,所以 bx(x-b)<2(x-b),∴(x-b)(bx-2) <0 ∵b2≥2, ∴b≥ 2 或 b≤- 2

当 b> 2 时,b>

2 ? 2 ? ,不等式的解集为 ? x | ? x?b? b ? b ?
2? 2 ? ,不等式的解集为 ? x | x?b或x? ? b? b ?

当 b<- 2 时,b<

当 b=- 2 时,不等式的解集为 x | x ? ? 2 , 且x ? R 当 b= 2 时,不等式解集为φ 17.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:

?

?

(1)值域为 ? ?1,1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; (2)对于定义域内任意的实数 x, y ,均满足: f ? m ? n ? ? 试回答下列问题: (Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ) 若函数 f ? x ? 存在反函数 g ? x ? , 求证:g ? ? ? g ?

f ? m? ? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

?1? ? 5?

1 ?1? ? ? ?1? ? ?? ? g ? 2 ? ? g? ? . ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 2?

f ?m ? ?f n ? ? 中, 分析与解: (Ⅰ) 在 f ?m ? 令 m ? 0, n ? 0 , 则有 f ? m ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? . 即: n ?? 1 ? f ?m ?f n ?

?

1 ? f ? m? f ? 0?

2 ? ? f ?m? ? ?1 ? f ? m ? f ? 0 ? ? ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? .也即: f ? 0? ?? f ? m? ? ?1? ? 0 .

由于函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? ,所以, ? f ? m ?

? ?

?

2

? 1? ? 0 ,所以 f ? 0? ? 0 . ?

(Ⅱ)函数 f ? x ? 的单调性必然涉及到 f ? x ? ? f ? y ? ,于是,由已知

f ? m ? n? ?

f ? m? ? f ? n ? f ? m? ? f ? n ? , 我们可以联想到: 是否有 f ? m ? n ? ? ? (*) 1 ? f ? m? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

这个问题实际上是: f ? ?n ? ? ? f ? n ? 是否成立? 为此,我们首先考虑函数 f ? x ? 的奇偶性,也即 f ? ? x ? 与f ? x ? 的关系.由于 f ? 0? ? 0 ,所 以, 在 f ? m ? n? ?

f ? m? ? f ? n ? 中, 令 n ? ?m , 得fm 所以, 函数 f ? x ? f m ? ? ?? ? ? ? 0. 1 ? f ? m? f ? n ?

为奇函数.故(*)式成立.所以, f ? m ? ? f ? n ? ? f ? m ? n ? ? ?1 ? f ? m ? f ? n ? ? ? .任取

x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,故 f ? x2 ? x1 ? ? 0 且 ?1 ? f ? x2 ? , f ? x1 ? ? 1 .所以,
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? ?1 ? f ? x2 ? f ? x1 ? ? ? ? 0 ,所以,函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.
(Ⅲ)由于函数 f ? x ? 在 R 上单调递减, 所以,函数 f ? x ? 必存在反函数 g ? x ? , 由原函数与反函数的关系可知: g ? x ? 也为奇函数; g ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递减;且当

?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? 0 .
为了证明本题,需要考虑 g ? x ? 的关系式. 在(*)式的两端,同时用 g 作用,得: m ? n ? g ? 令 f ? m? ? x, f ? n ? ? y , 则 m ?g ? x ?n , ? g y?

? f ? m? ? f ? n? ? ?, ?1 ? f ? m ? f ? n ? ?
? 1 ? xy ?

x? y ?. ? ,则上式可改写为:g ? x ? ? g ? y ? ? g ? ? ?

不难验证:对于任意的 x, y ? ? ?1,1? ,上式都成立. (根据一一对应) . 这样,我们就得到了 g ? x ? 的关系式.

这个式子给我们以提示:即可以将 法化简求证式的左端.

1 x? y 写成 的形式,则可通过裂项相消的方 n ? 3n ? 1 1 ? xy
2

1
事实上,由于

1 n ? 3n ? 1
2

?

1

? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1

?

? n ? 1?? n ? 2 ?
1? 1

1 ?

? n ? 1?? n ? 2 ?

n ?1 n ? 2 , ? 1 ??? 1 ? 1? ? ? ? ? ? n ?1? ? n ? 2 ?

?

1

所以, g ?

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? g? ??g? ?. 2 ? n ? 3n ? 1 ? ? n ?1? ? n?2? 1 ?1? ? ? ? ??? g ? 2 ? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ?

所以, g ? ? ? g ?

?1? ? 5?

? ?1? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? ? g ? ?? g? ?? ? 3 ?? ? ? 3 ? ? 4 ?? ? n ? 2 ?? ? ?2? ? ? n ?1 ? 1 ? ?1? ? 1 ? ?1? ? ?1? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g?? ? ? g? ? ?2? ?n?2? ?2? ? n?2? ?2?
点评:一般来说,涉及函数奇偶性的问题,首先应该确定 f ? 0 ? 的值.

19.设函数 y∈R,有

的定义域为全体 R,当 x<0 时, 成立,数列 满足

,且对任意的实数 x, ,且

(n∈N )

*

(Ⅰ)求证:

是 R 上的减函数;

(Ⅱ)求数列

的通项公式;

(Ⅲ)若不等式 的 最大值.

对一切 n∈N 均成立,求 k

*

解析:(Ⅰ)令

,得



由题意知

,所以

,故





时,



,进而得







,则







,所以

是 R 上的减函数.

(Ⅱ)由





所以



因为

是 R 上的减函数,所以





, 进而



所以

是以 1 为首项,2 为公差的等差数列.

所以



所以



(Ⅲ)由

对一切 n∈N 均成立.

*



对一切 n∈N 均成立.

*















为关于 n 的单调增函数,



所以

,k 的最大值为

22. 定义在区间(0, ? )上的函 f(x)满足: (1)f(x)不恒为零; (2)对任何实数 x、q,都 有 f ( x ) ? qf ( x) .
q

(1)求证:方程 f(x)=0 有且只有一个实根; (2)若 a>b>c>1,且 a、b、c 成等差数列,求证: f (a) ? f (c) ? f (b) ;
2

(3) (本小题只理科做) 若 f(x) 单调递增, 且 m>n>0 时, 有 f (m) ? f (n) ? 2 f (

m?n ), 2

求证: 3 ? m ? 2 ? 2

解:(1)取 x=1,q=2,有 若 存 在 另 一 个 实 根 x0 ? 1 , 使 得 f (12 ) ? f (2)即f (1) ? 0?1是f ( x) ? 0的一个根,

f ( x1 ) ? 0对任意的 x1 ( x1 ? (0,??)成立,且 x1 ? x0 (q ? 0), 有f ( x1 ) ? qf ( x0 ) ? 0,
? f ( x0 ) ? 0恒成立, ? f(x1 ) ? 0, 与 条 件 矛 盾 ?f , ( x) ? 0有 且 只 有 一 个 实 x ?根 1
(2)? a ? b ? c ? 1, 不妨设a ? b 1 , c ? b 2 ,
q q

q

,则 q 1 ? 0, q2 ? 0 ∴ f (a) ? f (c) ? f (b 1 ) ? f (b 2 ) ? q1 q2 ? f 2 (b) ,又 a+c=2b,
q q

∴ac-b = ?
2

(a ? c) 2 ?0 4
q1 ? q2

即 ac<b ?b
2

?q ?q ? ? b ,?0 ? q1 ? q2 ? 2,? q2q1 ? ? 1 2 ? ? 1 ? f (a) f (c) ? f 2 (b) ? 2 ?
2

2

(3)

? f (1) ? 0, f ( x)在(0,??)单调递增,当 x ? (0,1)时f ( x) ? 0;当x ? (1,??)时,f ( x) ? 0.
又 f (m) ? f (n) ,? f (m) ? f (n), f (m) ? ? f (n),?m ? n ? 0,? f (m) ? ? f (n). 令 m=b 1 ,n= b
q

q2

,b ? 1, 且 q 1 q 2 ? 0
2

?m ? n? 则 f(m)+f(n)=(q 1 ?q 2 ) f(b)=f(mn)=0? m n ? 1.0 ? n ? 1 ? m,? f (m) ? 2 f ? ? ,且 ? 2 ? m ? 1, m?n m?n ? m n ? 1,? f (m) ? 2 f ( ),? f (m) ? 2 2
2 2, 2 2

2 ?? m ? n ? 2 ? ?m ? n? f ?? ? m ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?

2 即 4m= m ? 2m n ? n ? 4m ? m ? 2 ? n ,由 0<n<1 得 0 ? 4m ? m ? 2 ? 1, ? m ? 1 ,

?3 ? m ? 2 ? 2
23. 设 f ( x) 是定义域在 [?1, 1] 上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. (l)求证 f ( x) 在 [?1, 1] 上是减函数; (ll)如果 f ( x ? c) , f ( x ? c ) 的定义域的交集为空集,求实数 c 的取值范围;
2 2 (lll)证明若 ? 1 ? c ? 2 ,则 f ( x ? c) , f ( x ? c ) 存在公共的定义域,并求这个公

共的空义域.

解: (1)∵奇函数 f ( x) 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意 x1、 x2 ? [?1 , 1] 且 x1 ? x 2 有

f (x1 ) ? f (x 2 ) ?0 x1 ? x 2
从而 x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 异号

, 1] 上是减函数 ∴ f ( x) 在 [?1
(2)

f ( x ? c) 的定义域为 [c ? 1, c ? 1]

f ( x ? c 2 ) 的定义域为 [c 2 ? 1, c 2 ? 1]
∵ 上述两个定义域的交集为空集 则有:

c2 ?1 ? c ?1 或 c2 ?1 ? c ?1

解得: c ? 2 或 c ? ?1 故 c 的取值范围为 c ? 2 或 c ? ?1 (3)∵

c 2 ? 1 ? c ? 1 恒成立

由(2)知:当 ? 1 ? c ? 2 时

c2 ?1 ? c ?1
当1 ? c ? 2 或 ? 1 ? c ? 0 时

c 2 ? 1 ? c ? 1且
2

c2 ?1 ? c ?1

此时的交集为 [(c ? 1, 当0 ? c ?1

c ? 1]

c2 ?1 ? c ?1 且

c2 ?1 ? c ?1

此时的交集为 [c ? 1,

c 2 ? 1]

故 ? 1 ? c ? 2 时,存在公共定义域,且
2 当 ? 1 ? c ? 0 或 1 ? c ? 2 时,公共定义域为 [(c ? 1,

c ? 1] ;

当 0 ? c ? 1 时,公共定义域为 [c ? 1,

c 2 ? 1] .

28.定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时 f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 , a ? 0) n n 解:(1)由已知对于任意x∈R,y∈R,f(x+y)=f(x)+ f(y)恒成立 令x=y=0,得f(0+0)= f(0)+ f(0) ,∴f(0)=0 令x=-y,得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x,都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数. (2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,由已知f(x2-x1)<0(1) 又f(x2-x1)= f(x2)+ f(-x1)= f(x2)- f(x1) ( 2) 由(1) (2)得f(x1)>f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-∞,+∞)上是减函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6, 又∵f(-3)= - f(3)= - f(2+1)=-[ f(2)+ f(1)]= -[ f(1)+ f(1)+ f(1)]= -3 f(1) , ∴f(1)≥-2. 1 1 (3) f(ax2)- f(x)> f(a2x)- f(a) n n

? f(ax2)- f(a2x)>n[f(x)- f(a)] ? f(ax2-a2x)>nf(x-a) (10分)
由已知得:f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax2-a2x)>f[n(x-a)] ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ∴ax2-a2x<n(x-a).即(x-a) (ax-n)<0, ∵a<0,

n )>0, (11分) a n 讨论: (1)当a< <0,即a<- n 时, a n 原不等式解集为{x | x> 或x<a}; a n (2)当a= <0即a=- n 时,原不等式的解集为φ ; a n (3)当 <a<0时,即- n <a<0时, a n 原不等式的解集为{x | x>a或x< } a 33.己知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
∴(x-a) (x-

①当

是定义域中的数时,有



②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。

解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且

是定义域中的数时有

,∴

在定义域中。∵

, ∴f(x)是奇函数。 (2)设 0<x1<x2<2a,则 0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上 f(x)<0,

∴f (x1) , f (x2) , f (x2-x1) 均小于零, 进而知 于是 f(x1)< f(x2),∴在(0,2a)上 f(x)是增函数。

中的





,∵f(a)=-1,∴

,∴

f(2a)=0,设 2a<x<4a,则 0<x-2a<2a,

,于是 f(x)>0,即在(2a,4a)上 f(x) >0。设 2a<x1<x2<4a,则 0<x2-x1<2a,从而知 f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-

x1)<0,∵

,∴

,即

f(x1)<f(x2),即 f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)



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