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2.1.2离散型随机变量的分布列(二)超几何分布课件



人教A版选修2-3 第二章

2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)

1.进一步学习求随机变量分布列;
2.掌握离散型随机变量超几何分布列;

3.理解有放回与不放回抽取概率的联系与区别;
4.了解超几何分布与其它分布的联系。

本课主要学习离散型随机变量超几何分布列。以<

br />
复习引入,通过典例探究例题1,引出离散型随机变
量超几何分布概念,通过典例探究例题2第一问进一 步巩固超几何分布,通过典例探究例题2第二问引出

有放回抽取与无放回抽取问题,引导学生区分两种
不同抽取方法的分布列问题。拓展引出超几何分布

与概率中其它分布之间的联系。通过例3进一步巩固
求离散性随时机变量分布列思路与方法。 本节课重点是离散型随机变量超几何分布列概念

,难点是求超几何分布列。

离散型随机变量的分布列
1.设离散型随机变量ξ可能取的值为

x1 , x2 , x3 ,?, xi ?
xi pi … …

ξ取每一个值 xi (i ? 1, 2,?) 的概率 P(? ? xi ) ? pi
则称表

ξ
p

x1 p1

x2 p2

… …

称为随机变量x的概率分布列,简称x的分布列. 2.离散性随机变量分布列性质:

(1) pi ≥ 0, i ? 1 , 2, 3, ?
3.两点分布

(2) p1 ? p2 ? p3 ? ? ? 1

例1:在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求: (1)取到的次品数X 的分布列; (2)至少取到1件次品的概率.

解:(1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数 3 为 C10 ,从100 件产品中任取3件,其中恰有k 件 k 3? k 次品的结果数为 C5 C95,那么从 100 件产品中任 取 3 件,其中恰有 k 件次品的概率为.
3? k C5k C95 P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2,3 3 C100

所以随机变量 X 的分布列是 X P
0 5

0
CC 3 C100
3 95

1
1 2 C5 C95 3 C100

2
1 C52C95 3 C100

3
3 0 C5 C95 3 C100

例2:在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求:
(1)取到的次品数X 的分布列;
转化为若干互斥事 1 解:(1)根据随机变量X 的分布列,可得至少取到 件的概率和 件次品的概率 P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )

(2)至少取到1件次品的概率. 将复杂事件的概率

转化为求对立事件 (2)根据随机变量X 的分布列,可得至少取到 1 的概率

≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0.14400 . 将复杂事件的概率

件次品的概率

P ( X≥1 ) = 1-P ( X <1 ) = 1-P ( X=0 ) ≈0.14400 .

超几何分布列
一般地,在含有M 件次品的N件产品中,不放回地 任取n件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的 概率为 k n?k CM CN ?M P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2,?, m n CN ? m ? min{ M , n } n ? N , M ? N , n , M , N ? N 且 其中 称分布列 … X 0 1 m P
C C C
0 M n N ?M n N

1 n ?1 CM CN ?M n CN



m n?m CM CN ? M n CN

为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超 几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何分布

例1:从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件 一件地抽取产品,设各个产品被抽到的可能性相同, 在下列两种情况下,分别求出直到取出合格品为止时 所需抽取的次数 ? 的分布列. (1)每次取出的产品都不放回此批产品中;
解: ?的所有取值为:1、2、3、4. 1 1 1 5 C10 10 C3 C10 P(? ? 2) ? 2 ? P(? ? 1) ? C 1 ? 26 A13 13 13 2 1 5 A3 C10 P(? ? 3) ? 3 ? 143 A13 分布列为: ? 1 2 3 4
P
10 13
5 26 5 143 1 286

例2:从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件 一件地抽取产品,设各个产品被抽到的可能性相同, 在下列两种情况下,分别求出直到取出合格品为止时 所需抽取的次数 ? 的分布列. (2)每次取出的产品都放回此批产品中; 解: ?的所有取值为:1、2、3、…. 1 10 C10 3 10 P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 2) ? ? C13 13 13 13 3 k ?1 10 P(? ? k ) ? ( ) ? 13 13 分布列为:

?

1
10 13

2
3 10 ? 13 13

… …

k
3 k ?1 10 ( ) ? 13 13

… …

P

例题2两问有哪些区别? (1)抽取产品方法区别:放回、不放回。 (2)抽到合格品概率区别:变与不变。 (3)抽到合格品需抽取次数区别:有限与无限不同。

超几何分布的上述模型中,“任取m 件”应理解为“不放回 地一次取一件,连续取出m件”.如果是有放回地抽取,就变成 了我们后面将要学习的重贝努利试验,这时概率分布就是二项 分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样,还是有放回 地抽样.若产品总数N 很大时,那么不放回抽样可以近似地看成 有放回抽样.因此,当 时,超几何分布的极限分布就是 二项分布,即有如下定理.

定理 如果当



不变),则

k n?k CM CN k k n?k ?M ? C p (1 ? p ) N n CN

M ?p N

,那么当

时(

由于普阿松分布又是二项分布的极限分布,于是有: 超几何分布 普阿松分布. 二项分布

例3:一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知 红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现 从该盒中随机取出一个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分, 取出绿球得- 1分,试写出从该盒中取出一球所得分数 ξ的分 布列. 解:设黄球的个数为n,由题意知绿球个数为2n,红球个 数为4n,盒中的总数为7n.



4n 4 n 1 2n 2 P(? ? 1) ? ? P(? ? 0) ? ? P(? ? ?1) ? ? 7n 7 7n 7 7n 7

所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ 的分布列为

ξ
P

1 4 7

0
1 7

-1
2 7

1、掌握超几何分布列,解决一些简单问题;

2、了解有放回与没有放回抽取时两都之间的区别; 3、求离散型随机变量的概率分布列: (1)找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i ? 1, 2,?);
(2)求出各取值的概率 P(? ? xi ) ? pi ; (3)列成表格。 明确随机变量的具体取值 所对应的概率事件

作业:课本

P49 A 组第 6 题、 P50 B 组第 2 题



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