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2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A版选修4-5


2015-2016 学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教 A 版选修 4-5
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 1 1.若 < <0,则下列结论不正确的是(

a b
2

)

A.a <b

2

B.ab<b

2

C. + >2 答案: D

b a a b

D.|a|-|b|=|a-b|

1 2.若 a>0,b>0,a+b=2,则 ab+ 的最小值为(

ab

)

A.2 B.3 C.4 D.2 2 解析:由 a>0,b>0,2=a+b≥2 ab得 0<ab≤1,令 t=ab,则 t∈(0,1].因为 y 1 =t+ 在(0,1]上为减函数,所以当 t=1 时,ymin=2.

t

答案:A 3.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 则( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 1 3 3 1 C.- <a< D.- <a< 2 2 2 2 解析:∵(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立,∴(x-a)(1-x-a)<1 对任意实数 x 成立, 2 2 ∴x -x-a +a+1>0 对任意实数 x 成立, 1 3 2 ∴1-4(-a +a+1)<0,∴- <a< . 2 2 答案:C 4.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不恒成立的是( A. > )

b c b-a B. >0 a a c b2 a2 a-c D. <0 c c ac

C. >

解析:∵c<b<a 且 ac<0,∴a>0,c<0. 1 b c b-a 由 b>c,a>0,即 >0 可得 > .故 A 恒成立.∵b<a,∴b-a<0,又 c<0,∴

a

a a

c

>0.故 B 恒成立.∵c<a,∴a-c>0,又 ac<0,∴ =1 时,b >a ,而 c<0,
2 2

a-c <0.故 D 恒成立.当 b=-2,a ac

1

∴ < ,故 C 不恒成立. 答案:C

b2 a2 c c

b c ?1? ?1? a 5.设 a,b,c 均为正数,且 2 =log1a,? ? =log1b,? ? =log2c,则( ?2? ?2? 2 2
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c

)

b c ?1? ?1? a 解析:依题意知 a>0,b>0,c>0,故 2 >1,0<? ? <1,0<? ? <1,∴log1a>1, ?2? ?2? 2
1 1 0<log1b<1,0<log2c<1,即 0<a< , <b<1,1<c<2,从而 a<b<c. 2 2 2 答案:A

x2-2x+2 6.若 x∈(-∞,1),则函数 y= 有( 2x-2
A.最小值 1 B.最大值 1 C.最大值-1 D.最小值-1 答案:C

)

7.若关于 x 的不等式 x+|x-1|≤a 有解,则实数 a 的取值范围是( A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(3,+∞) D.[4,5] 答案:A

)

8.对任意实数 x,若不 等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则 k 的取值范围是( A.k<3 B.k<-3 C.k≤3 D.k≤-3 答案:B 1 1 n + ≥ 恒成立,则 n 的最大值为( a-b b-c a-c

)

9.设 a>b>c,n∈N+,且 A.2 B.3 C.4 D.5

)

解析:因为原不等式?n≤?

? 1 + 1 ?(a-c)= ? ?a-b b-c?

? 1 + 1 ?(a-b+b-c)恒成立, ?a-b b-c? ? ?
所以 n≤?? 答案:C
?? 1 ? 1 ? [(a-b)+(b-c)]? =4. ? ??a-b b-c? ?min



2

10.不等式|x|>

2

x-1

的解集为(

)

A.{x|x>2 或 x<-1} B.{x|-1<x<2} C.{x|x<1 或 x>2} D.{x|1<x<2} 解析:方法一 当 x<1 时, 2 <0,不等式恒成立,故选 C. x-1

2 2 ? ?x> ?x< , ? ], 2 x - 1 1 - x 解得 x< 1 或 x>2. 方法二 |x|> ]? ? 或? x-1 ? ? ?x≥0 ?x<0, 答案:C x 11.已知命题 p:不等式|x|+|x-1|>m 的解集为 R,命题 q:f(x)=-(5-2m) 是减 函数,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若不等式|x|+|x-1|>m 的解集为 R, x 则 m<1,若函数 f(x)=-(5-2m) 是减函数, 则 5-2m>1,则 m<2,.故 p? q,q? /p. 答案:A 12.不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集为( ) A.{x|1<x<2} B.{x|0<x<1} C.{x|x>1} D.{x|x>2} 解析:因为|a-b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条件为 ab≤0,所以由原不等式成立得 2x·log2x>0,所以 x>1. 答案:C 二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分) 1 13. 已知集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}, B={x∈ R|x=4t+ -6, t∈(0, +∞)},

t

则集合 A∩B=______________. 解析: 由集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}解出 A={x|-4≤x≤5}, B={x∈R|x=4t 1 + -6,t∈(0,+∞)}={x|x≥ -2};故 A∩B={x|-2≤x≤5}.

t

答案:{x|-2≤x≤5} 14. 已知 x1· x2· x3· …· x2012=1, =且 x1, x2, …, x2012 都是正数, 则(1+x1)(1+x2)·…·(1 +x2012)的最小值是________. 解析:∵x1 是正数,∴1+x1≥2 x1,同理:1+x2≥2 x2,…,1+x2012≥2 x2012,各式 2012 相乘, 得(1+x1)·(1+x2)·…·(1+x2012)≥2 x1·x2·…·x2012=22012.等号成立的条件为 x1=x2=…=x2012=1. 2012 答案:2

3

1 1 2 2 a b 3 3 2 2 15.设 a>b. ① ac >bc ;②2 >2 ;③ < ;④a >b ;⑤a >b .其中正确的结论序号

a b

有________. 解析:若 c=0,①错;若 a,b 异号或 a,b 中有一个为 0,则③⑤错. 答案:②④ 16.若 a+1>0,则不等式 x≥

x2-2x-a 的解集为________. x-1

x2-2x-a 解析:由题意得 x- ≥0 x-1


x+a ≥0.又 a+1>0,∴-a<1, x-1

∴x≤-a 或 x>1, ∴原不等式的解集为(-∞,-a]∪(1,+∞). 答案:(-∞,a]∪(1,+∞) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

? 2? 17.(本小题满分 11 分)解不等式?x- ?>1. ?
x?

? 2? 解析:∵?x- ?>1, ?
x?
2 2 x -x-2 x +x-2 ∴x- >1 或 x- <-1,∴ >0 或 <0,
2 2

x

x

x

x

∴-1<x<0 或 x>2 或 x<-2 或 0<x<1. ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或-1<x<0 或 0<x<1 或 x>2}. 18.(本小题满分 11 分)设关于 x 的不等式 lg(|x+3|+|x-7|)>a. (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R? 解析:(1)当 a=1 时,原不等式可变形为 |x+3|+|x-7|>10,可解得其解集为 {x|x<-3 或 x>7}. (2)∵|x+3|+|x-7|≥|x+3-(x-7)|=10 对任意 x∈R 都成立, ∴lg(|x+3|+|x-7|≥lg10=1 对任意 x∈R 都成立,即 lg(|x+3|+|x-7|)>a 当且 仅当 a<1 时对任意 x∈R 都成立. 1 +x(x>3)的最小值. x-3 1 ·(x-3)+ x-3

19.(本小题满分 12 分)求函数 y= 解析:∵x>3,∴x-3>0,∴y= 3=5,当且仅当 1

1 ? 1 +x-3?+3≥2 +x=? ? x-3 ?x-3 ?

x-3

=x-3,即 x=4 时取等号.

∴当 x=4 时,函数的最小值为 5.

4

20.(本小题满分 12 分)设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,g(x)的图像与 f(x)的图 2 像关于直线 x=1 对称,且当 x∈[2,3]时,g(x)=-x +4x-4. (1)求 f(x)的解析式; (2)对于任意的 x1,x2∈[0,1]且 x1≠x2,求证:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|; (3)对于任意的 x1,x2∈[0,1]且 x1≠x2,求证:|f(x2)-f(x1)|≤1. (1)解析:由题意知 f(x+1)=g(1-x)? f(x)=g(2-x).当-1≤x≤0 时, 2≤2-x≤3, 2 2 ∴f(x)=-(2-x) +4(2-x)-4=-x ; 当 0<x≤1 时,-1≤-x<0, ∴f(-x)=-x .∵f(x)是奇函数,∴f(x)=?
2

?-x (-1≤x≤0), ? ? ?x (0<x≤1)
2

2

.
2 2

(2)证明:∵当 x1,x2∈[0,1]且 x1≠x2 时,0<x1+x2<2,∴|f(x2)-f(x1)=|x2-x1| =|(x2-x1)(x2+x1)|<2|x2-x1|. (3)证明:当 x1,x 2∈[0,1]且 x1≠x2 时, 2 2 2 2 0≤x1≤1,0≤x2≤1,∴-1≤x2-x1≤1, 2 2 2 2 即|x2-x1|≤1,∴|f(x2)-f(x1)|=|x2-x1|≤1.

21.(本小题满分 12 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,-1),B 点 → → → → → → 在直线 y=-3 上,M 点满足MB∥OA,MA·AB=MB·BA,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 的距离的最小值. → 解析:(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3).又 A(0,-1),所以MA=(-x,-1-y), →

MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由题意可知(MA+MB)·AB=0,即(-x,-4-2y)·(x,
1 2 -2)=0.所以曲线 C 的方程为 y= x -2. 4 1 2 1 1 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x -2 上一点.因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0.所以 4 2 2 1 2 直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 x0x-2y+2y0-x0=0.所以 O 点到 l 的距离 d= 2 |2y0-x0|
2









x2 0+4

.

1 2 x0+4 4 ? 2 1 2 1? 2 又 y0= x0-2,所以 d= 2 = ? x0+4+ 2 ?≥2,当且仅当 x0=0 时,等号成 4 x0+4? x0+4 2? 立,所以 O 点到 l 的距离的最小值为 2. 22.(本小题满分 12 分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车

5

流量 y(千辆/时)与汽车的平均速度 v(千米/时)之间的函数关系为:y=

920v (v> v2+3v+1 600

0). (1)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内? (2)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量 为多少(结 果可保留分数形式)? 解析: (1)由条件得 <0, 解得 25<v<64; 920 920 920 1 600 (2)依题意,y= ≤ = ,当且仅当 v= ,即 v=40 时 1 600 83 v ? ? 3+2 1 600 3+?v+ ? 920v >10, 整理得 v2-89v+1 600<0, 即(v-25)(v-64) v2+3v+1 600

?

v ?

上式等号成立, 920 ∴ymax= (千辆/时). 83

6


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