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福建省安溪八中2014届高中毕业班期末模拟测试数学(理)试题



安溪八中 2014 届高中毕业班期末考模拟测试

数学试题 (理科)
第Ⅰ卷(选择题

命题人:陈秋水 131228

8. 如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用) , 要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色 种数有( ) A.72 种 B.96 种 C

.108 种 D.120 种

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题意要求的. 1. 设集合 P ? ?3, log 2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q ? ?0? ,则 P ? Q ? ( A. ?3, 0,1, 2? 2.设 B. )

9.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, PB ? PC ? 2PA ? 0 ,现将一粒红豆 随机撒在 ?ABC 内,则红豆落在 ?PBC 内的概率是( ) A.

??? ? ??? ?
1 4

??? ?

?

第 8 题图

?3, 0, 2?

C. ?3, 0,1? (

D. ?3, 0? )

1 2

B.

1 3

C.

D.

2 3

10.已知椭圆 C1:

p : x 2 ? x ? 2 ? 0 , q :| x |? 1,则 ?p 是 ?q 的

x2 y 2 y2 2 ? ? 1 a ? b ? 0 ? 1 有公共的焦点,C2 的一条渐近 与双曲线 C 2: x ? ? ? a 2 b2 4


A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
开始 输入 p

线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( A. a ? 13
2

1 3 2 3. 等差数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 6 x ? 1 3
的极值点,则

B. a ?
2

C. b ? 2
2

log 2 a2013 ? (
B. 3



k ? 1, S ? 0

13 2 1 2 D. b ? 2

A. 2

C. 4

D. 5

3 n 4.在 ( x ? ) 的展开式中,各项系数之和为 A ,各项的二项式系数之和 x 为 B ,且 A ? B ? 72 ,则展开式中常数项为( )
A.6 值为( p 的最小 . A. 16 B.9 C.12 D.18 5. 执行如图所示的程序框图,若输出的 k ? 5 ,则输入的整数 ) B. 15 C. 8 D. 7

S?p


否 输出k 开始

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

S ? S ? 2k ?1

k ? k ?1

第 5 题图

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卷相应位置. 11.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到 二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学 生人数为 . 一年级 二年级 三年级 12 . 若 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 女生 男生 373 377

x
370

y

6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( ) A.72 cm
3

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z=x+2y 的最 ? ? 6? x? y ?9
小值为_______.

z

B.60 cm

3

C.48 cm

3

D.36 cm

3

13.已知复数 (1 ? 2i )i (其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点 M 在直线 y ? mx ? n 上,其中

7.将函数 y ?

3 sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移
( ) C. (

? 个单位,所得函数 6
D. (

mn ? 0 ,则

图像的一个对称中心是

1 1 ? 的最小值为 m n
2



2? A. (0,0) B. ( ,0 ) 3

?
3

, 0)

?

12

,0)

14.由曲线 y ? 2 x ,直线 y ? ?4 x ? 2 ,直线 x ? 1 围成的封闭图形的面积为_________. 第 6 题图
数学(理科)试题 第1页 共5页

安溪八中 2014 届高中毕业班期末考模拟测试

15. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程: 区间 (0,1) 中的实数 m 对应数轴上的点 M, 如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A、B 恰好重合,如图 2;再将这个圆放在平面直角 坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0,1) ,如图 3.图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点

19. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 两 点 F1 (? 2 , 0 , ) F2 (2, 0) , 曲 线 C 上 的 动 点 M 满 足

|MF |? | M F ? | 1 2

2 |F F | MF2 与曲线 C 交于另一点 P . ,直线 1 2

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 N (?4,0) ,若

N (n, 0),则 m 的象就是 n,记作 f (m) = n .

S ?MNF2 : S ?PNF2

? 3: 2 ,求直线 MN 的方程.

20 . (本小题满分 14 分)设 f ( x) ?

( x ? a) ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ?1

2 x ? y ? 1 ? 0 垂直. (Ⅰ)求 a 的值;
(Ⅱ) 若 ?x ?[1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的范围. (Ⅲ)求证: ln 4 2n ? 1 ?

下列说法中正确命题的序号是 ① f ? ? ?1; ③ f ? x ? 是奇函数;

.(填出所有正确命题的序号)

?1? ?4?

② f ? x ? 在定义域上单调函数;
1 ? ④ f ? x ? 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称. ?2 ?
2

? 4i
i ?1

n

i
2

?1

.(n ? N * ).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)已知数列 ?a n ? 的前 n 项和, S n ? n ? 2n 。 (I)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ;

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

(II)记 Tn ?

1 1 1 ? ? ?? ? ,求 Tn a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1

17. (本小题满分 13 分)已知向量 a ? (cos

?

3x 3x ? x ? x ? .sin ), b ? (cos( ? ), ? sin( ? )) ; 4 4 4 3 4 3

?1 1? ? ? , B ? ?1 2 ? . 已知矩阵 A ? ? ? ? 2 3? 2 3? ? ? ? ?1 (Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 A ; ?1 (Ⅱ)求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 A B 对应的线性变换作用下所得曲线的方程.
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程是 ?

令 f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x) 的解析式;(2) 求 f ( x) 的单调递增区间; (3)若 x ? [?

? 5?

, ] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值。 6 6

? x ? 2 ? 2 cos θ , ( ? 为参数). ? y ? 2sin θ

18. (本小题满分 13 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 BC ? 1, BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
2 θ?

(Ⅰ)将 C 1 的方程化为普通方程; ( Ⅱ ) 以 O 为 极 点 , x 轴的 正 半 轴 为 极 轴建 立 极坐 标 系 . 设 曲 线 C 2 的 极坐 标 方 程 是

AB ? 侧面 BB1C1C
(Ⅰ)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角正切值; (Ⅱ)在棱 CC1 (不包含端点 C , C1 ) 上确定一点 E 的位置, 使得 EA ? EB1 (要求说明理由). ( Ⅲ ) 在 ( 2 ) 的 条 件 下 , 若 AB ? 2 , 求 二 面 角

π . ( ρ ? R) , 求曲线 C 1 与 C 2 交点的极坐标 ... 3

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知正数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 6 .
2 2 2

(Ⅰ)求 x ? 2 y ? z 的最大值; (Ⅱ)若不等式 a ? 1 ? 2a ? x ? 2 y ? z 对满足条件的 x , y , z 恒成立,求实数 a 的取值范 围.
数学(理科)试题 第2页 共5页

A ? EB1 ? A1 的大小.
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数学试题 (理科) 参考答案
一、选择题:CBABC 二、填空题:11.16 CDBAD.
12. -6 13. 3 ? 2 2 14.

设 BC1与平面ABC所成角为? ,[来源:Z,xx,k.Com] 则 sin ? ? cos ? BB1 , BC1 ? ?

???? ???? ?

16 15.②④ 3 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(13 分)解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ,………1 分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1 , 又 a1 适合上式, ∴ a n ? 2n ? 1, n ? N
*

2 5 …………3 分 5

? tan ? ? 2 即直线 C1 B 与底面 ABC 所成角正切值为 2.… 4 分 ???? ??? ? (Ⅱ)设 E (1, y,0), A(0,0, z) ,则 EB1 ? (?1, 2 ? y, 0) , EA ? (?1, ? y, z )

………3 分 ………6 分

1 1 1 1 1 ? ? ( _ ) ,………9 分 (II)∵ a n ? a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ? ? ? ?? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ………13 分 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 6 2(2n ? 3) 3x x ? 3x x ? ? 17.解; (1) f ( x) ? cos cos( ? ) ? sin ……5 分 sin( ? ) ? cos(x ? ) 4 4 3 4 4 3 3 ? 4? ? (2)当 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z , 即 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 时, f ( x) 单调递增。 3 3 3 ? f ( x) 的单调递增区间为: [2k? ? 4? ,2k? ? ? ], k ? Z , ………9 分 3 3
? 5? ? ? 7? ? 3 x ? [? , ], x ? ? [ , ] ?1 ? cos( x ? ) ? 3 2 6 6 得 3 6 6 , (3)由
………11 分

[来源:学……8 分

??? ? ???? (Ⅲ)∵ A(0, 0, 2) ,则 AE ? (1,1, ? 2), B1 E ? (1, ?1, 0) ,
设平面 AEB1 的法向量 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??? ? ? ? x ? y ? 2 z1 ? 0 ? n ? AE ? 0 ? ?? 1 1 则 ? ???? ,取 n ? (1,1, 2) ………………10 分 x1 ? y1 ? 0 ? n ? B1 E ? 0 ? ? ??? ? ???? ??? ? ∵ BE ? (1,1, 0) , BE ? B1 E ? 1 ? 1 ? 0 ∴ BE ? B1E ,
又 BE ? A1 B1 ? BE ? 平面A1B1E ………………11 分

??? ?? ? ??? ? ??? ? BE ?n 2 ( 1,1,0) ∴平面 A1 B1 E 的法向量 BE ? ,∴ cos n, BE ? ??? ? ? ? 2 BE n
∴二面角 A ? EB1 ? A1 的大小为 45° ………………13 分

19. 解: (Ⅰ)因为 | F1 F2 | ? 4 , | MF1 | ? | MF2 | ? 2 | F1 F2 | ? 8 ? 4 , 所以曲线 C 是以 F1 , F2 为焦点,长轴长为 8 的椭圆. 曲线 C 的方程为

? 3 2? 当x ? ? 时,f ( x) max ? , 当x ? 时f ( x) min ? ?1 ………13 分 6 2 3
18. 解:∵

AB ? 侧面 BB1C1C

∴AB⊥BC, AB⊥ BB1 又 ?BCC1 ? 2 ∴BC⊥ BB1 则 B(0, 0, 0) , C1 (1, 2, 0) , B1 (0, 2, 0) ……1 分

?

x2 y2 ? ? 1. 16 12

……5 分

如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系,

(Ⅱ)显然直线 MN 不垂直于 x 轴,也不与 x 轴重合或平行. ……6 分 设 M ( xM , yM ), P( xP , yP ) ,直线 MN 方程为 y ? k ( x ? 4) ,其中 k ? 0 .

( Ⅰ ) 直 三 棱 柱 A B C? A 1 B 1 C 1中 , 平 面 ABC 的 法 向 量

???? ???? ? BB1 ? (0, 2, 0) ,又 BC1 ? (1, 2, 0) ,
安溪八中 2014 届高中毕业班期末考模拟测试 数学(理科)试题 第3页 共5页

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 2 由 ? 16 12 得 (3 ? 4k ) y ? 24ky ? 0 . ? y ? k ( x ? 4) ?
依题意 yM ?

24k 解得 y ? 0 或 y ? . 4k 2 ? 3

1 x ln x , ?x ? (1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 ln x ? m( x ? ) x ?1 x 1 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? (1,??), g ( x) ? 0 恒成立 x
(2) f ( x) ?

1 ?16k 2 ? 12 24k , . x ? y ? 4 ? M M k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

……8 分

g ?( x) ?

1 1 ?mx 2 ? x ? m ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

---6 分

因为 S?MNF2 : S?PNF2 ? 3 : 2 ,所以

???? ? 3 ???? ? | MF2 | 3 ? ,则 MF2 ? F2 P . | F2 P | 2 2

①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾. ②若 m ? 0 方程 ?mx ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m
2 2

-----------8 分

3 ? 2 ? x ? ( xP ? 2), M ? ? 2 于是 ? ?0 ? y ? 3 ( y ? 0), M P ? ? 2 ? 2 24k 2 ? 2 x ? (2 ? x ) ? 2 ? , M ? 2 ? P 3 4 k ? 3 所以 ? ? y ? ? 2 y ? ?16k . M ? P 3 4k 2 ? 3 ?

当 ? ? 0 ,即 m ?

1 时, g ?( x) ? 0 .? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,? g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式 2

成立.---------9 分;

1 ? 1 ? 4m 2 1 2 x ? ?0 , 当 0?m? 时 , 方 程 ?mx ? x ? m ? 0 , 其 两 根 x1 ? x2 ? 1 且 1 2m 2
……10 分

x2 ?

1 ? 1 ? 4m ? 1, 2m

24k 2 ? 2 2 ?16k 2 ) ? 4( 2 ) ? 48 . 因为点 P 在椭圆上,所以 3( 2 4k ? 3 4k ? 3
整理得 48k ? 8k ? 21 ? 0 ,
4 2

∴ x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0 , g ( x) 递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾.综上所述, m ? (3) 由(2)知,当 x ? 1 , m ?

1 ---10 分; 2

2k ? 1 1? 1? 1 时, ln x ? ? x ? ? 成立. 不妨令 x ? , k ? N* 2? x? 2 2k ? 1

21 7 3 2 解得 k ? 或 k ? ? (舍去) , 从而 k ? ? . 6 12 4
2

……12 分

[

所以 ln

2k ? 1 1 ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? 4k 1 k , [ln ? 2k ? 1? ? ln ? 2k ? 1?] ? ? ? ? , k ? N* ?? 2 2 2k ? 1 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k ? 1 4 4k ? 1
---------------------12 分

所以直线 MN 的方程为 y ? ?

21 ( x ? 4) . 6

……13 分

x?a ? ln x)( x ? 1) ? ( x ? a) ln x x 20.解:(1) f ?( x) ? ( x ? 1) 2 (
由题设 f ?(1) ?

1 1 ? ? ln 3 ? ln1? ? ? 4 4 ? 12 ? 1 ? 1 2 ? ? ln 5 ? ln 3? ? ? 4 4 ? 22 ? 1 ? ? ??????? ? 1 n ? ln ? 2 n ? 1? ? ln ? 2 n ? 1? ? ? , ?4 ? 4 ? n2 ? 1 ?
n 1 i ln(2n ? 1) ? ? 2 .(n ? N * ). 4 i ?1 4i ? 1 n

----------2 分 累加可得 ------------4 分 即

(1 ? a) 2 1 1 ? ,? 4 2 2

?1 ? a ? 1 ,? a ? 0 .

ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1

i 4i ? 1
2

.(n ? N * ). -----------14 分

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数学(理科)试题

第4页 共5页

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识,考查书写表达能力、运算求解能力。满分 7 分 解: (Ⅰ)? det A ?
1 1 2 3 ? 1 ? 0 ,?矩阵 A 可逆. -------------------1 分
? 1? ? ? ?? 2 1 ? ? ? ? ?3

即有 ( x ? 2 y ? z ) ? 36 , 又 x 、 y 、 z 是正数,? x ? 2 y ? z ? 6 即 x ? 2 y ? z 的最大值为 6, -------2 分
2

且 A ?1 ? ?

x y z ? ? ,即当 x ? z ? 1, y ? 2 时取得最大值。----------3 分 1 2 1 (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得, a ? 1 ? 2a ? ( x ? 2 y ? z ) max ? 6 -------------4 分
当且仅当

---------------------3 分

? 3 ? 1? ?1 2 ? ?1 3 ? ? -------------------4 分 ?? ?=? (Ⅱ) A ?1 B = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 ? 2 3 ? 0 1? ? ? ? ?? ?

?a ? ?1 ?a ? ?1 或? -------------6 分 ?a ? 1 ? 2 a ? 6 ?? a ? 1 ? 2 a ? 6 7 7 解得: a 无解 或 a ? ? 综上,实数 a 的取值范围为 a ? ? ------7 分 3 3
即: ?

设 直 线 x ? y ? 1 ? 0 上 任 意 一 点 P ( x, y ) 在 矩 阵 A B 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 得 到

?1

P' ( x' , y ' ) ,
?1 则? ? ?0 ?
即: ?

3? ? ? 1? ?

? x ? ? x? ? ? ? = ? ? ------------------------5 分 ? ? ? ? ? y ? ? y?? ? ? ? ?

? x? ? x ? 3 y ? x ? x? ? 3 y ? ,从而 ? ---------------------6 分 ? y? ? y ? y ? y? 代入 x ? y ? 1 ? 0 得 x? ? 2 y ? ? 1 ? 0 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 为所求的曲线方程。---------7 分
(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 y 本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础 知识,考查运算求解能力,数形结合思想。满分 7 分 解: (Ⅰ)C 1 的普通方程为: ( x ? 2) ? y ? 4 --------------3 分 (Ⅱ)法一:如图,设圆心为 A,?原点 O 在圆上, 设 C 1 与 C 2 相交于 O、B,取线段 OB 中点 C,
2 2

B C O A

? ?直线 OB 倾斜角为 ,OA=2,----------------4 分 3 ?OC=1 从而 OB=2,-----------------------5 分 ? ?O、B 的极坐标分别为 O(0,0), B(2, ). ----------7 分 3
3 x -----------------4 分
2 2

x

法二:C 2 的直角坐标方程为: y ?

代 入 圆 的 普 通 方 程 后 , 得 ( x ? 2) ? ( 3 x) ? 4 , 即 : x( x ? 1) ? 0 , 得 : x1 ? 0, x2 ? 1

?O、B 的直角坐标分别为 O(0,0), B(1, 3 ). --------------------------5 分 ? 从而 O、B 的极坐标分别为 O(0,0), B(2, ). --------------------7 分 3
(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识,考查运 算求解能力,分类讨论思想。满分 7 分 解: (Ⅰ)由柯西不等式, ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 1 ) ? ( x ? 2 y ? z )
2 2 2 2 2 2 2

---------1 分
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