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江西省崇义中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题



崇义中学 2015 届高三上学期第一次月考 数学(理科)试题
一、选择题: (本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) ? x2 3y2 ? 1.设集合 A= ? x ? ) ? 1? ,B={y|y= x 2 },则 A∩B=( 4 4 ? ? A.[-2,2] B.[0,2] C.[0,+∞) D.{(-1,1),(1,1)} 2.对于命题 p 和 q,若

p 且 q 为真命题,则下列四个命题: ①p 或?q 是真命题;②p 且?q 是真命题;③?p 且?q 是假命题;④?p 或 q 是假命题. 其中真命题是( A.①② ( )条件 B.必要不充分 C.充要 D.非充分非必要 ) ) B.③④ C.①③
2

D.②④

3.命题 p:(x-1)(y-2)=0;命题 q:(x-1) +(y-2)2=0,则命题 p 是命题 q 的 A.充分不必要 4. 设函数 f ( x) ? ? A. [?1 ,2] 5.已知 a ? 5
log 2 3.4

?21? x , x ? 1 ?1 ? log 2 x, x ? 1

,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是( C.[1,+ ? )
log3 0.3

B.[0,2]

D.[0,+ ? )

,b ? 5

log 4 3.6

?1? ,c ? ? ? ?5?

, 则(

). D. c ? a ? b

A. a ? b ? c 6.函数 f ( x) ?

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b )

4x ? 1 的图象( 2x

A.关于原点对称

B.关于直线 y=x 对称

C.关于 x 轴对称 )

D.关于 y 轴对称

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是( 7.函数 y ? | x|

A.

B.

C.

D.

?y ? x ? 8.设变量 x,y 满足 : ? x ? 3 y ? 4,则z ?| x ? 3 y | 的最大值为( ? x ? ?2 ?
A.8 B.3 C.
13 4

)

D.

9 2
2

9.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(-x)+f(x)=0 恒成立.如果实 数 m、n 满足不等式 f(m -6m+21)+f(n -8n)<0,那么 m +n 的取值范围是( A.(9,49) B.(13,49) C.(9,25) D.(3,7)
2 2 2

A

)

10.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 ? 0, 2? 上是增函数,若 方程 f ( x) ? m(m ? 0) , 在区间 ? ?8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 = ( ) A.-12 B.-8 C.-4 D.4

二、填空题: (本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.对于 x ? R ,不等式 | 2 x ? 3 | ? x ? 3 的解集为 12.已知函数 f( x+2)=x+2 x,则函数 f(x)的值域为________. 13.已知点 A(m,n)在直线 x+2y-1=0 上,则 2 m ? 4 n 的最小值为________.

?x≤1, 14.已知不等式组?x+y+2≥0,表示的平面区域为Ω ,其中 k≥0,则当Ω 的面积最小 ?kx-y≥0
时的 k 为________. 15.设函数 f ( x) ? ln x ,有以下 4 个命题: ①对任意的 x1、x2 ? (0, ??) ,有 f (
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; )? 2 2

②对任意的 x1、x2 ? (1, ??) ,且 x1<x2,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1 ; ③对任意的 x1、x2 ? (e, ??) ,且 x1<x2 有 x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ; ④对任意的 0 ? x1 ? x2 ,总有 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得 f ( x0 ) ? 其中正确的是__________(填写序号).
f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2

三、解答题(共 75 分) 16.(12 分)函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2 x ? a( x ? 2) 的值域 为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (6 分) (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A

B ? B ,求实数 a 的取值范围. (12 分)

[]

17.(12 分)设命题 p:函数 f(x)=x3-ax-1 在区间[-1,1]上单调递减;命题 q: 函数 y=ln(x2+ax+1)的值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题, 求 a 的取值范围.

2 3 2 18.(12 分)已知两个函数 f ( x) ? 8 x ? 16 x ? k (k ? R), g ( x) ? 2 x ? 5 x ? 4 x

(1)若 ?x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围; (6 分) (2)若 ?x1 , x 2 ? [?3,3] 都有 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求 k 的取值范围。 (12 分)

19.(12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值;(4 分)

b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

(2)用定义证明 f ( x) 在 ?? ?,?? ? 上为减函数.(8 分) (3) 若对于任意 t ? R , 不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立 , 求实数 k 的取值范围。 (12 分)来

源 20.(13 分)定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,x∈(0,1)时, f ? x ? ? (1)求 f(x)在 ?? 1,1? 上的解析式; (4 分) (2)讨论 f(x)在(0,1)上的单调性。(8 分) (3)当λ 为何值时,方程 f(x)=λ 在 x∈[-1,1]上有实数解. (13 分)

2x 4x ?1

?1? 21.(14 分)已知函数 f(x)= ? ? ,x∈[-1,1],函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? 2af ( x) ? 3 的最小 ?3?

x

值为 h(a). (1)求 h(a)的解析式; (7 分) (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当 h(a)的定义域 为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. (14 分)网]

2015 高三数学理科月考一参考答案

17.解:p 为真命题?f′(x)=3x2-a≤0 在[-1,1]上恒成立 ?a≥3x2 在[-1,1]上恒成立?a≥3. ……………3 分 2 q 为真命题?Δ =a -4≥0 恒成立?a≤-2 或 a≥2. ……………6 分 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题. …………………………7 分 ?a≥3, p 真 q 假?? ?a∈?, ………………………9 分 ?-2<a<2 ?a<3, p 假 q 真?? ?a≤-2 或 2≤a<3. ………………………11 分 ?a≤-2或a≥2 综上可知:a∈(-∞,-2]∪[2,3).………………………12 分
3 2 18.解: (法一)∵ g ( x) ? 2 x ? 5 x ? 4 x 2 2 ∴ g ?( x) ? 6 x ? 10 x ? 4 ? 2(3 x ? 5 x ? 2) ? 2( x ? 1)(3 x ? 2)

令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 ,

x2 ? ?

2 3 ? 2 3 2 (? ,3) 3

x
y?

?3

(?3,?1)

?1

2 (?1,? ) 3

3
+

+

0



0
?

y ? 21

?

极大值 ? 1 ?

极小值

28 27 ?

111

f ( x) ? 8 x 2 ? 16 x ? k 在 (??,?1) 上 ? ,在 [1,??) 上 ?

(1)∵ ?x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? g ( x) 成立
? f (?3) ? g (?3) ?24 ? k ? ?21 ? ? 64 2 2 28 ? ? ?k ? ? ? k ? 45 ? f ( ? ) ? g ( ? ) ? ?? 3 3 27 ? ? 9 ? ? ? f (3) ? g ( x) ?120 ? k ? 111

∴ (法二)参变分离

……………6 分

(2)∵ ?x1 , x 2 ? [?3,3] 都有 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立 ∴ f ( x) max ? g ( x) min ,即 f (3) ? 120 ? k ? ?21 19.解(1)? f ( x)为R上的奇函数,? f (0) ? 0, b ? 1. ∴ k ? 141 ……………12 分

又f (?1) ? ? f (1), 得a ? 1.

经检验 a ? 1, b ? 1 符合题意.

……………4 分

20.解: (Ⅰ)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0, 设 x∈(-1,0) ,则-x∈(0,1) , ,∴ ,

。 (Ⅱ)设 ,

……………4 分

, ∵ ∴ ,∴ , ……………8 分 ,

∴f(x)在(0,1)上为减函数。 (Ⅲ)∵f(x)在(0,1)上为减函数,

∴ 同理,f(x)在(-1,0)上时, 又 f(0)=0, 当 时,

, ,

方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解。 ……………13 分 ?1? ?1 ? ?1 ? 21.解:(1)由 f(x)=? ?x,x∈[-1,1],知 f(x)∈? ,3?,令 t=f(x)∈? ,3? ?3? ?3 ? ?3 ? 记 g(x)=y=t2-2at+3,则 g(x)的对称轴为 t=a,故有: 1 28 2a ①当 a≤ 时,g(x)的最小值 h(a)= - , 3 9 3 ②当 a≥3 时,g(x)的最小值 h(a)=12-6a, 1 ③当 <a<3 时,g(x)的最小值 h(a)=3-a2 3 ……………2 分 ……………4 分 ……………6 分

- ,a≤ , ? 9 ? 3 3 1 综上所述,h(a)=? 3-a , <a<3, 3 ? ?12-6a,a≥3, 28 2a 1
2

……………7 分

(2)当 a≥3 时,h(a)=-6a+12,故 m>n>3 时,h(a)在[n,m]上为减函数, 所以 h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)]. ?h 由题意, 则有? ?h

m n

n2, m,
2

2 ?-6m+12=n , ?? 2 ?-6n+12=m ,

, 两式相减得 6n-6m=n2-m2,

又 m≠n,所以 m+n=6,这与

m>n>3 矛盾,故不存在满足题中条件的 m,n 的值.

……………14 分



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