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三角形外角的性质及证明


7.2.2 三角形外角的 性质及证明

一、 打好基础
(1)什么是三角形的内角? (2)三角形的内角和是多少?

1、画一个△ABC。 2、指出它所有的内角。 3、延长线段BC至D,给∠ACD取名。
A

B

C

D

1、外角的概念:三角形的一边与另 一边的延长线所组成的角叫做三角形 A 的外角。

B

C

D

思考:

1、

△ABC有多少个外角? 2、作出△ABC的所有外角,并说出来。

判断下列∠1是哪个三角形的外角:
A 1 D B A A
1

C

C
B
(1)

D
(2)

A

D
1

E
1

F
G

C B
(3)

B
(4)

C

二、新知探索 做一做: 如图,在△ABC中,∠A=80°、 ∠B=45°你能的得到∠ACD的度数吗? ∠ACD与∠ A,∠B有什么关系?若任意 三角形,看看会出现什么结果?
A

B

C

D

探索: (1)你能从理论上证明刚才的猜想吗?
A

B

C

D

∵∠ACD + ∠ACB=180 °, ∠A+ ∠B+ ∠ACB=180 ° ∴∠ACD= ∠A+ ∠B。

(2)如图:

过点C作C E∥A B 。 ∴∠1=∠ B,∠2=∠A。 ∴∠A CD=∠1+∠2=∠B+∠A。
A
E

E

2 1
B C D

三、归纳:

三角形外角的性质:
(1)三角形的一个外角等于

和它不相邻的两个内角的和;
(2)三角形的一个外角大于任

何一个和它不相邻的内角。

如图:D是△ABC边BC上一点, ∴∠ADC= ∠DAB + ∠B 。
∠DAB , ∠ADC> ∠B 。 ∴∠ADC>

问:

∠ ADB= ∠DAC _____。 _____+ ∠C
A

B

D

C

练习1:求下列各图中∠1的度数。
A
l

1

30° B

75° C

D C 1

25° A

95° B

D 1 A

E

55°

D 145° C 1 A

30° C

B

20° B

把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的 顺序排列

∠1 > ∠2 > ∠3

例1.已知,如图,AE∥CD, ∠C=80°,∠A=45°, B 求∠B的度数。

A
C

F
D

E

例2:已知D是△ABC的BC边上一 点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80° , ∠BAC=70 ° ,求∠B, ∠C的 度数。
A

B

D

C

我们知道三角形的内角和是180°, 那么三角形的外角和是多少? 注意:我们讲三角形的外角和时, 在三角形的每一个顶点处只取一个 外角。

例3.如图,已知∠1,∠2,∠3是△ABC 的外角,求证: ∠1+∠2+∠3=360°
A

1
3 B 2 C

证明:∵∠1,∠2,∠3是△ABC的外角, ∴ ∠1= ∠4+ ∠5,∠2= ∠4+ ∠6

∠3= ∠5+ ∠6 ∴∠1+∠2+∠3 =∠4+ ∠5+∠4+ ∠6+∠5+ ∠6 A =2(∠4+ ∠5 +∠6) 1 =360° B
2

3 C

(3)三角形三个外角和是 360°

练习2:在△ ABC中, ∠A+ ∠B=100°, ∠C=4∠A, 求∠A,∠B及与∠C相邻的外角。

练习3、△ABC中,点D在BC上,点F

在BA的延长线上,DF交AC于点E,
∠B=42° ,∠C=55° ,∠DEC=45, 求∠F

思考:同样还是△ABC,你能不能过A点或C 点作它们对边的平行线,来说明 ∠CBD=∠ACB+∠CAB吗?试一下吧!并试着 用语言或文字表述证明过程。
E

E

三角形外角性质的其它解法:

练一练(1)
B A

1
P

N

3
F

C

2 M E

D

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360° .

(2).已知图中∠A、∠B、∠C分别为80°, 20°,30°,求∠1的度数

(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
G

B

E
F

解:∵∠A+ ∠C= ∠EFA ∠B+ ∠D= ∠EGD D

C

∠EGD + ∠EFA + ∠E = 180°

∴ ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°

(4)如图,试计算∠BOC的度数.

A
90? D
110°

20?

B

O

30?

C

(5)如图,在直角△ABC中,CD是 斜边AB上的高,∠BCD=35°, 求∠A与∠EBC的度数.
B

E

D
35°

A

C

1、三角形外角的两条性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。 2、三角形的外角和是360°。

判断题: 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。(
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。( 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。( ) )



4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ( ) 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。( )

6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。 ( )

如图,计算∠BOC
A

51 ?

20 ?
B

O

30 ?
C

解:延长BO交AC于点F
A

∵∠1= ∠A+ ∠B

(三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和) 且∠A= 51° ∠B = 20°(已知) ∴ ∠1=∠A+∠B= 51 + 20°= 71°

51

?

F
1

20
B

?

O

(三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和) 又∵∠C= 30°

30

?

C

∴ ∠BOC=∠1+∠C= 71 + 30°= 101°

A

你能写出推理过程吗?
51 ?

20 ?
B

O

1

2

30 ?
C

A

A

51 ?

51 ?

20 ?

O

20 ?
B

30 ?
C

O

30 ?
CA

B

51 ?

20 ?
B

O

30 ?
C

A

如图,探究∠1与 ∠A. ∠B. ∠C的关 系?

1

C B

一个零件的形状如图所示,按规定 ∠BAC=90°, ∠B=21°, ∠C=20°,检验 工人量得∠BDC=130°,就断定这个零件 不合格,你能运用所学的知识说出其中的 道理吗?
C D A B

将一副三角板按如图方式放置,则两条
斜边所形成的钝角∠1=______

1


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