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必修一二综合测试含答案



安徽高中数学

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必修一二综合测试
考生注意:本卷共三大题,20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟.不准使用计算器. 参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3

, Sh (其中 S 为底面面积,h 为高)
2

球的

表面积公式 S ? 4 ? R

, 球的体积公式 V ?

4 3

? R (其中 R 为球的半径).
3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 每小题各有四个选择支,仅有一个选择支 正确. 请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. ) 1. 下列函数中,是偶函数的是 A. f ( x ) ? x
2

B. f ( x ) ? x

C. f ( x ) ?

1 x

D. f ( x ) ? x ? x

3

2.下列各式正确的是 A. 4 ? 3
3 3

B.
1 2 )
3

log

0 .5

4 ? log

0 .5

6

C.

(

1 2

)

?3

? (

D.

lg 1 . 6 ? lg 1 . 4

3.直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 在 y 轴上的截距是 ( A. 4 B. -4 C. 3

) D. -3

4.如图为几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为 A.圆锥 C.三棱柱
x

B.三棱锥 D.三棱台
(第 4 题图)

5. 函数 f ( x ) ? e ? x 的零点所在一个区间是 A.(-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) D (1,2)

6.下列四组函数,表示同一函数的是 A. f ( x ) ?
x ,
2 2

g (x) ? x

B. f ( x ) ? log

2

2 ,

x

g (x) ?
x
2

3

x

3

C. f ( x ) ? ( x ) , g ( x ) ? x

D. f ( x ) ? x , g ( x ) ?

x

7.与直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程为 A. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0

8. 已知 ? 是平面, a , b 是直线,且 a / / b , a ? 平面 ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是 A. b ? 平面 ? C. b // 平面 ? B. b ? 平面 ? D. b 与平面 ? 相交但不垂直

x 9.已知 f ( x ) ? a , g ( x ) ? lo g a x ( a > 0 且 a ? 1) ,若 f (1 ) ? g ( 2 ) ? 0 ,那么 f ( x ) 与 g ( x ) 在同一坐

标系内的图像可能是
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10.已知偶函数 y ? f ( x ) 在区间 ( ? ? , 0 ] 上是增函数,下列不等式一定成立的是 A. f (3 ) ? f ( ? 2 ) C. f (1) ? f ( a ? 2 a ? 3 )
2

B. f ( ? ? ) ? f (3) D. f ( a ? 2 ) ? f ( a ? 1)
2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置上. ) 11. 直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是
? x ? 1,
2

.

12. 已知 f ( x ) ? ?

x ? 0 x ? 0

?? 2 x,

,则 f ( f (1 )) ? .

.

13. 正方体的表面积与其内切球表面积的比为

14. 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 并且当 x ? ? 0 , ? ? ? 时,f ( x ) ? 2 , 那么,f ( ? 1) =
x

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x x ? 2 ? 0 ? ,集合 B ? ?x x ? 3 ? . (1) 求 A ? B ; (2) 求 A ? B ; (3) 求 ( C R A ) ? ( C R B )

16. (本小题满分 14 分) 求经过直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 的交点 M,且分别满足下列条件的直线方程: (1)与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 平行; (2)与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 垂直.

17.(本小题满分 14 分)
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如图,正方形 ABCD 的边长为 1,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 互相垂直, G , H 是
DF , FC 的中点.

(1)求证: GH // 平面 CDE ; (2)求证: B C ? 平 面 C D E ; (3)求三棱锥 G ? ABC 的体积.

(第 17 题图)

18.(本小题满分 12 分) 如图:A、B 两城相距 100 km,某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站 D 给 A、B 两城供 气. 已知 D 地距 A 城 x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不得少于 10km . 已 知建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天燃气站 D 距 A 城的距 离为 40km 时, 建设费用为 1300 万元.(供气距离指天燃气站距到城市的距离) (1)把建设费用 y(万元)表示成供气距离 x (km)的函数,并求定义域; (2)天燃气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气费用最小.,最小费用是多少?

A

D
(第 18 题图)

B

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19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (1) 求 c 的值; (2) 证明函数 f ( x ) 在[0,2]上是单调递增函数; (3) 已知函数 g ( x ) ? f ( e ) ?
x

x ? c x ?1

, 其中 c 为常数,且函数 f ( x ) 图像过原点.

1 3

, 求函数 g ( x ) 的零点.

20. (本小题满分 14 分) 若函数 f ( x ) 满足:对定义域内任意两个不相等的实数 x 1 , x 2 ,都有 称函数 f ( x ) 为 H 函数.已知 f ( x ) ? x ? cx ,且 f ( x ) 为偶函数.
2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

? f (

x1 ? x 2 2

) ,则

(1) 求 c 的值; (2) 求证: f ( x ) 为 H 函数; (3) 试举出一个不为 H 函数的函数 g ( x ) ,并说明理由.

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答案
一、选择题

ACACB

BABCC

16. (本小题满分 14 分) 解:由 ?
?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0

得?

?x ? 2 ?y ?1

,所以 M ( 2 ,1 ) .

…………………2 分

(1)依题意,可设所求直线为: 2 x ? y ? c ? 0 ( c ? 0 ) . 因为点 M 在直线上,所以 2 ? 2 ? 1 ? c ? 0 ,解得: c ? ? 5 . 所以所求直线方程为: 2 x ? y ? 5 ? 0 . (2)依题意,设所求直线为: x ? 2 y ? c ? 0 . 因为点 M 在直线上,所以 2 ? 2 ? 1 ? c ? 0 ,解得: c ? 0 所以所求直线方程为: x ? 2 y ? 0 .

…………………4 分 ………………7 分

…………………9 分 …………………10 分 …………12 分

…………………14 分

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(3)解:依题意: 点 G 到平面 ABCD 的距离 h 等于点 F 到平面 ABCD 的一半, 即: h ?
1 2

………11 分

.
1 3 ? 1 2 ?1 ?1 ? 1 2 ? 1 12

…………………12 分 . ………………14 分

∴ V C ? ABC ?

(求底面积对的有 1 分) 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)设比例系数为 k ,则 y ? k [ x ? (100 ? x ) ] (10 ? x ? 90 ) .
2 2

……………3 分

(不写定义域扣 1 分) 又 x ? 40 , y ? 1300 , 所以 1300 ? k ( 40 所以 y ? (2)由于 y ?
1 4 1 2 (x
2
2

? 60

2

) ,即 k ?

1 4

,

……………5 分 ………7 分

[x

2

? (100 ? x ) ] ?
2

1 2

(x 1 2

2

? 100 x ? 5000 ) (10 ? x ? 90 ) .
2

? 100 x ? 5000 ) ?

( x ? 50 )

? 2500 ,

………………10 分

所以当 x=50 时,y 有最小值为 1250 万元. …………………11 分 所以当供气站建在距 A 城 50km, 电费用最小值 1250 万元. ……12 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1) ? 函数 f ( x ) 图像过原点,

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?

f ( 0 ) ? 0 ,即 c ? 0 .

…………………3 分

(3) 令 g ( x ) ? f ( e ) ?
x

1 3

? e

e
x

x

?1

?

1 3

? 0,

…………………12 分

? e

x

?

1 2

,

…………………13 分 …………………14 分

即 x ? ? ln 2 . 20. (本小题满分 14 分) 解:(1)因为 f ( x ) 为偶函数,所以 c ? 0 .
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? f ( x1 ? x 2 2 ) ? x1 ? x 2
2 2

?(

x1 ? x 2 2

)

2

…………………4 分

2

=
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? f ( x1 ? x 2 2

1 4

( x1 ? x 2 ) ? 0 ,
2

…………………5 分 …………………6 分 ……………8 分

) ,即 f ( x ) 为 H 函数.

(3) 例: g ( x ) ? lo g 2 x . (说明:底数大于 1 的对数函数或 ? x 都可以) .
2

理由:当 x 1 ? 1, x 2 ? 2 时,
g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2 g( x1 ? x 2 2 ? 1 2 ) ? lo g 2 (lo g 2 1 ? lo g 2 2 ) ? ? lo g 2 ? g( 3 2 1 2 2 ? 1 2

, ,

…………………10 分 …………………12 分

1? 2 2

? lo g 2 ),

显然不满足

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2

x1 ? x 2 2

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所以该函数 g ( x ) ? lo g 2 x 不为 H 函数.

…………………14 分

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