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立体几何专项训练答案



立体几何专项答案

1.(本题满分 15 分)已知正方形 A B C D 的边长为 2, AC ? BD ? O .将正方形 A B C D 沿对 角线 B D 折起,使 A C ? a ,得到三棱锥 A ? B C D ,如图所示. (Ⅰ)当 a ? 2 时,求证: AO ? 平 面 BCD ; (Ⅱ)当二面角 A ? B D ? C 的大小为 120 ?

时,求二面角 A ? B C ? D 的正切值. A

B

O
2,

D

(I)证明:根据题意,在 ? A O C 中, AC ? a ? 2 , AO ? CO ?
2 2 2 所以 AC ? AO ? CO ,所以 AO ? CO

C

因为 A C 、 B D 是正方形 A B C D 的对角线, 所以 A O ? B D . 因为 BD ? CO ? O , 所以 AO ? 平 面 BCD (Ⅱ)解法 1:由(1)知, C O ? O D ,如图,以 O 为原点, O C , O D 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz , 则有 O ? 0, 0, 0 ? , D 0, 2 , 0 , C

?

?

?

2 , 0, 0 , B 0, ? 2 , 0 .

?

?

?

???? ??? ? 设 A ? x 0 , 0, z 0 ? ? x 0 ? 0 ? ,则 OA ? ? x 0 , 0, z 0 ? , O D ? 0, 2 , 0 .

?

?

又设面 A B D 的法向量为 n ? ? x1 , y1 , z1 ? ,
??? ? ? n ? O A ? 0, ? x 0 x1 ? z 0 z1 ? 0, ? ? 则 ? ???? 即? ? n ? O D ? 0 . ? 2 y1 ? 0. ? ?

所以 y1 ? 0 ,令 x1 ? z 0 ,则 z1 ? ? x 0 .

所以 n ? ? z 0 , 0, ? x 0 ? . z 因为平面 B C D 的一个法向量为 m ? (0, 0,1) , 且二面角 A ? B D ? C 的大小为 120 ? , 所以 co s m , n ? co s 1 2 0 ?
?

A

1 2

,得 z 0 ? 3 x 0 .
2

2

2

B

O

D y

因为 OA ?

2 ,所以

x0 ? z0

2

?

2 .

C
? 2 6? 2 6 解得 x 0 ? ? .所 以 A ? ? , 0, , z0 ? ?. ? 2 2 ? 2 2 ? ?

x







ABC











l ? ? x2 , y , z 2 ?

, 2





??? ? ? 2 BA ? ? ? , ? 2 ?

2,

? 6 ? ??? ? , BC ? 2 ? ?

?

2,

2,0 ,

?

??? ? ? 2 6 ? l ? B A ? 0, x2 ? 2 y2 ? z 2 ? 0, ? ?? 则 ? ???? ,即 ? 2 2 ? l ? B C ? 0. ? ? ? 2 x 2 ? 2 y 2 ? 0.

令 x 2 ? 1 ,则 y 2 ? ? 1, z 2 ? 所以 l ? (1, ? 1, 3 ) .

3.

设二面角 A ? B C ? D 的平面角为 ? , 所以 cos ? ? cos l , m
? 3 1?1? ( 3)
2

? ?

15 5

. A

所以 tan ? ?

6 3



所以二面角 A ? B C ? D 的正切值为

6 3

. B K C O

H D

解法 2:折叠后在△ A B D 中, B D ? A O , 在△ B C D 中, B D ? C O . 所以 ? A O C 是二面角 A ? B D ? C 的平面角, 即 ? AOC ? 120 ? . 在△ A O C 中, AO ? CO ? 所以 A C ?
6.

2,

如图,过点 A 作 C O 的垂线交 C O 延长线于点 H , 因为 B D ? C O , B D ? A O ,且 CO ? AO ? O , 所以 B D ? 平面 A O C . 因为 A H ? 平面 A O C ,所以 B D ? A H . 又 C O ? A H ,且 CO ? BD ? O ,所以 A H ? 平面 B C D . 过点作 A 作 A K ? B C ,垂足为 K ,连接 H K , 因为 B C ? A H , AK ? AH ? A ,所以 B C ? 平面 A H K . 因为 H K ? 平面 A H K ,所以 B C ? H K . 所以 ? A K H 为二面角 A ? B C ? D 的平面角.
? 在△ A O H 中, ? AOH ? 60 , A O ?

2 ,则 A H ?

6 2

,OH ?

2 2



所以 C H ? C O ? O H ?

2?

2 2

?

3 2 2



? 在 R t △ C H K 中, ? HCK ? 45 ,所以 HK ?

CH 2

?

3 2

6

在 R t △ A H K 中, tan ? A K H ?

AH KH

?

2 3 2

?

6 3





以二面角 A ? B C ? D 的正切值为

6 3



)

2
由 M , N 分别为 DE , PB 的中点, 有 ON // PA ,有 ON // 面 PAD 又四边形 ABED 为平行四边形, 有 OM // AD ,则 OM // 面 PAD 则面 MON // 面 PAD , 则 MN // 面 APD ; A (6 分) D

z

P

(Ⅱ) 建立空间直角坐标系如图, 则有 A ( 3, 0, 0), P (0, 0, 3 ), D (0, ? 1, 0) ,
B B ( 3 , 2 , 0 ), E ( 0 ,1, 0 )E

N
x

A C
3 2 ,1, 3 2 )

B

y

E

M

D

由 N 为 PB 中点,∴ N (
?

(8 分)

令平面 PNE 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,
? n ? EN ? 0 ? ? 由? ,令 x ? ? 1 ,则 n ? ( ? 1, 3, 1) . ? n ? EP ? 0 ? ?? ? 同理可知平面 DNE 的法向量可取 n 2 ? ( 3 , 0, ? 3 )

(11 分)

则 cos ? n , n 2 ??

n ? n2 | n | ? | n2 |
10 5

??

10 5

(14 分)

则所求二面角的余弦值为



3

(Ⅱ)由 AC ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2 [来源:Zxxk.Com]
? AC
2

? BC

2

? AB , AC
2

2

? CD

2

? AD , ? ? ACB ? ? ACD ? 90 ?
2

? AC ? BC , AC ? CD ,

又 BC ? CD ? C ? A C ? 平面 BCD .……………9 分

(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD 平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 C F ? A E 交 AE 于 F ,则 C F ? 平面 ABD ,
? CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角? sin ? C A F ? sin ? C A E ?
CE AE ? 3 3

.………14

分 方法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h , ∵ V C ? ABD ? V A ? BCD
?h ? 2 3 3
? 1 3 ? 1 2 ? 2 2 ? 2 2 sin 6 0 ? ? h ? 1 3 ? 1 2 ? 2? 2? 2

于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦为

sin ? ?

h AC

?

3 3



方法三:以 CB , CD , CA 所在直线分别为 x 轴, y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 A ( 0 ,0 , 2 ), B ( 2 ,0 , 0 ), C ( 0 , 0 , 0 ) D ( 0 , 2 ,0 ) . ? 设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? ? n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0 , 2 y ? 2 z ? 0 ? 取 x ? y ? z ? 1 ,则 n ? (1,1,1) , 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦即
sin ? ? | n ? CA | | n || CA | ? |0?0? 2| 3?2 ? 3 3



………… 14 分 4 解: (1)取 AC 中点 O,因为 AP=BP,所以 OP⊥OC 由已知易得三角形 ABC 为直角三角形, ∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB ∴OP⊥平面 ABC, ∵OP 在平面 PAC 中,∴平面 ABC ⊥平面 APC 4分 (2) 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.[来源:学*科*网] 由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 2 3 ), ∴ BC ? ( ? 2 , 2 , 0 ), PB ? ( 2 , 0 , ? 2 3 ), AP ? ( 0 , 2 , 2 3 ) 设平面 PBC 的法向量 n 1 ? ( x , y , z ) , 由 BC ? n 1 ? 0 , PB ? n 1 ? 0 得方程组
? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ,取 n 1 ? ( 3 , 3 ,1) ? ?2 x ? 2 3 z ? 0 ? ? ?

5分
z
P

A

O

C

y

7分

B

x



cos ? AP , n 1 ??

?

?

21 7 21 7

∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为
?



9分

(2)由题意平面 PAC 的法向量 n 2 ? OB ? ( 2 , 0 , 0 ) , 设平面 PAM 的法向量为 n 3 ? ( x , y , z ), M ( m , n , 0 ) ∵ AP ? ( 0 ,1,1), AM ? ( m , n ? 1, 0 ) 又因为 AP ? n 3 ? 0 , AM ? n 3 ? 0 ∴?
?y ? z ? 0 ? mx ? ( m ? 1) y ? 0
? ?

?

取 n3 ? (

n ?1 m

, ? 1,1)

10 分

2 ( n ? 1) ? cos ? n 2 , n 3 ?? 2 ( m n ?1 m ) ?2
2

?

2 2 3



(

n ?1 m

) ?16
2

∴ 2n ? 2 ? 4m ∴B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d ?
3 5 ? 3 5 5

12 分 。

5(本小题满分 14 分)
证明:(Ⅰ)连结 AC , BD 交于 O ,连 OF ,如图 1
? F 为 DE 中点, O 为 BD 中点,? OF // BE ,…………3 分
OF ? 平面 ACF , BE ? 平面 ACF ,

? BE // 平面 ACF .………………3 分

(Ⅱ)如图 2,过 E 作 EH ? AD 于 H ,过 H 作 MH ? BC 于 M ,连结 ME ,同理过 F 作 FG ? AD 于 G ,过 G 作 NG ? BC 于 N ,连结 NF ,
? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,

? AE ? CD ,? CD ? AD , AE ? AD ? A , AD , AE ? 平面 DAE ,

? CD ? 平面 DAE , EH ? 平面 DAE ,? CD ? EH , CD ? AD ? D , CD , AD ? 平面 ABCD , EH ? 平面 ABCD ,

………… ? HE ? BC , BC ? 平面 MHE , ? ? HME 为二面角 E ? BC ? D 的平面角, ? 4分 同理, ? GNF 为二面角 F ? BC ? D 的平面角,
? MH // AB ,? MH ? 3 2 ,又 HE ?
? tan ? HME ?
? tan ? GNF ?

3 2 2



1 2

,而 ? HME ? 2 ? GNF ,
5 ? 2 ,?

GF GN

?

5 ? 2 , GF ? 3 10 ? 6 2 ,又 GF // HE ,

?

DF DE

?

GF EH

, ? DF ? 6 5 ? 12 .

…………4

分 解法二: (Ⅱ)? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,
? AE ? CD ,? CD ? AD , AE ? AD ? A , AD , AE ? 平面 DAE ,

? CD ? 平面 DAE ,如图 3 建立坐标系,

则 E ( 3, 0 , 0 ) , F (a ,0 ,0 ) , C ( 0 ,3 2 , 0 ) , A ( 3, 0 ,3 ) , k D ( 0 , 0 , 0 ) 由 DC ? AB 得 B ( 3 ,3 2 ,3 ) ,ks**5u…………2 分 第 20 题图 3

? n ? DC ? 0 ?y ? 0 ? 1 设 n 1 ? 平面 ABCD ,且 n 1 ? ( x , y , z ) ,由 ? ? ? ? n 1 ? (1, 0 , ? 1) …1 ?x ? z ? 0 ? n 1 ? DA ? 0 ?



设 n 2 ? 平面 BCF ,且 n 2 ? ( x , y , z ) ,

? n ? BC ? 0 ?x ? z ? 0 ? 2 由? ? ? ? n 2 ? ( 3 2 , a , ? 3 2 ) …………1 分 ? n 2 ? CF ? 0 ? ax ? 3 2 y ? 0 ?

设 n 3 ? 平面 BCE ,且 n 3 ? ( x , y , z ) ,
? n ? BC ? 0 ?x ? z ? 0 ? 3 由? ? ? ? n 2 ? ( 2 ,1, ? 2 ) …………1 分 ? n 3 ? CE ? 0 ?x ? 2 y ? 0 ?

设二面角 E ? BC ? F 的大小为 ? ,二面角 D ? BC ? F 的大小为 ? ,

? ? ? , | cos ? n1 , n 2 ?|? | cos ? n 3 , n 2 ?| ,?
| 12 ? a | 5

| n1 ? n 2 | | n1 | ? | n 2 |

?

| n3 ? n2 | | n3 | ? | n2 |

? 6?

………………… ? a ? ? 12 ? 6 5 , ? 0 ? a ? 3, ? a ? 6 5 ? 12 .

3分

6(I)证明:在梯形 ABCD

中, ……………2

∵ A B // C D , A D ? D C ? C B ? 1 ,
? ∠ A B C = 60 ,∴ A B ? 2 分

∴ AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 60 o ? 3 2 2 2 ∴ AB ? AC ? BC ∴ BC ⊥ A C ………………… 4 分 ∵ 平面 A C F E ⊥平面 A B C D ,平面 A C F E ∩平面 A B C D ? A C , B C ? 平面 A B C D ∴ B C ⊥平面 A C F E …………… 6分 (II)解法一:由(I)可建立分别以直线 CA, CB , CF 为 x 轴, y 轴 , z 轴 的如图所示空间直 角 坐 标 系 , 令 FM ? ? ( 0 ? ? ?
B ?0 ,1,0 ?, M ?? ,0 ,1 ?
3 ) , 则 C ( 0 , 0 , 0 ), A ( 3 , 0 , 0 ) ,



AB ? ?

?

3 ,1,0 , BM ? ?? , ? 1,1 ?

?

…………8 分

设 n 1 ? ? x , y , z ? 为平面 MAB 的一个法向量, 由?
? n ? AB ? 0 1 ? n 1 ? BM ? 0

得?

??

3x ? y ? 0

?? x ? y ? z ? 0

取 x ? 1 ,则 n 1 ? 1, 3 , 3 ? ? ,

?

?

…………10 分



n 2 ? ?1, 0 , 0 ? 是平面 FCB 的一个法向量 ∴ ? ?? ?
| n1 ? n 2 | | n1 |? | n 2 |

co s ? ?

?? ?

?? ?
1? 3?

1

?

3??

?

?
2

1

?1

?? ?

3

?

………12 分
2

?4

∵ 当

0?? ?

3

∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值
c o s有 ?

7 7

, ∴

? ?

3

时 ,

最 大 值

1 2



? 7 1? cos ? ? ? , ? ? 7 2?

……………14 分

[来源:学_科_网] 解法二:①当 M 与 F 重合时,取 F B 中点为 G ,连结 A G 、 C G ∵ AF ? AC 2 ? CF 2 ? 2 , ∴ AB ? AF ∴ A G ⊥ FB ∵ CF ? CB ? 1 ∴ C G ⊥ FB ∴ ∠ A G C =? ∵
BC ⊥CF


2

FB ?
14
2 2

2

∴CG ? ∴ cos ? ?

2 2

, AG ?
2

CG ? AG ? AC

2C G ? A G 7 ②当 M 与 E 重合时,过 B 作 BN // CF , 且 使 BN ? CF , 连结 E N 、 F N ,则平面 M A B ∩平面 F C B = B N , ∵ B C ⊥ C F ,又∵ A C ⊥ C F ∴ C F ⊥平面 A B C ∴ B N ⊥平面 A B C ∴ ∠ A B C =?

?

7

…………8 分…

∴ ∴

? = 60 ? , 1 cos ? = 2
3)

……………10 分

③当 M 与 E 、 F 都不重合时,令 F M ? ? (0 ? ? ? 延长 A M 交 C F 的延长线于 N ,连结 B N ∴ N 在平面 M A B 与平面 F C B 的交线上 ∵ B 在平面 M A B 与平面 F C B 的交线上 ∴ 平面 M A B ∩平面 F C B = B N 过 C 作 CG⊥NB 交 NB 于 G ,连结 AG,

由(I)知, A C ⊥ B C , 又∵AC⊥CN,

∴ ∴ ∴ ∴

AC⊥平面 NCB AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB,AC∩CG=C, NB⊥平面 ACG ∴AG⊥NB ∠AGC= ?
3 3??

在 ? N A C 中,可求得 NC=

,从而,在 ? N C B 中,可求得 CG=

3

?? ?

3

?

2

?3

∵ ∠ACG= 9 0

o



AG=

AC ? CG
2

2

?

3

?? ? ?? ?
3

3

?

2

?4

?

2

?3



co? ? s

CG AG

?

1

?? ?

?

3

?

2

?4
? cos ? ? 1 2



0?? ?

3

7 7

…………13 分

综合①②③得, cos ? ? ?

7 1? , ? ? 7 2?

………

7 解: (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC.…………2 分 又 ? BCA ? 90 ? ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC.…………4 分 (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC, ∴ DE ?
1 2 BC ,

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,……6 分 ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?
1 2
? ∴在 Rt△ABC 中, ? ABC ? 60 ,∴ B C ?

AB ,[来源:学科网 ZXXK]
1 2

AB .

∴在 Rt△ADE 中, sin ? D A E ?

DE AD

?

BC 2 AD

?

2 4

,……9 分

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC,

又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? D E ? P 的平面角,…………11 分 ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ? PAC ? 90 ? . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ? AEP ? 90 ? , 故存在点 E 使得二面角 A ? D E ? P 是直二面角.…………14 分 【解法 2】如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,[来源:学.科.网] 设 P A ? a ,由已知可得
? 1 ? 3 A ? 0, 0, 0 ? , B ? ? a , a, 0 ? , C ? 2 ? 2 ? ? ? ? 3 a , 0 ? , P ? 0, 0, a ? .……2 分 ? 0, ? ? 2 ? ?

(Ⅰ)∵ A P ? ? 0, 0, a ? , B C ? ?
??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

?1

? a , 0, 0 ? , ?2 ?

∴ BC ? AP ? 0 ,∴BC⊥AP. 又∵ ? BCA ? 90 ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC.……4 分 (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴E 为 PC 的中点, ∴D??
? ? ? 1 4 a, 3 4 a, 1 ? a ?,E 2 ? ? ? 3 1 ? a, a ? , ? 0, ? 4 2 ? ? ?
?

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,…………6 分
? ? ??? a ? , AE ? 4 2 ? ? 4 ? ???? ??? ? AD ? AE 14 ∴ cos ? D A E ? ???? ??? ? ? 4 AD ? AE

∵ AD ? ? ? ?

????

?

1

a,

3

a,

1

? 3 1 ? a, a ? , ? 0, ? 4 2 ? ? ?

, sin ? DAE ?

2 4

∴ A D 与平面 P A C 所成的角的正弦为 (Ⅲ)同解法 1. . 14

2 4

.…………9 分

8. (本小题满分 15 分)

解: (Ⅰ)∵AD // BC,BC=

1 2

AD,Q 为 AD 的中点,

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. …………………………9 分 另证:AD // BC,BC=
1 2

AD,Q 为 AD 的中点,

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° . ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.

∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.………………………………9 分 (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.
? 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ;

z P

M D Q N B x y C

Q (0, 0, 0) , P (0, 0, 3 ) , B (0, 3 , 0 ) , C ( ? 1, 3 , 0) . ???? ? A 设 M ( x , y , z ) ,则 P M ? ( x , y , z ? 3 ) ,
???? ? M C ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) ,

???? ? ???? ? ∵ PM ? t M C ,
t ? ?x ? ?1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t ( ? z)

…………………12 分

在平面 MBQ 中, Q B ? (0, 3 , 0) , Q M ? ( ?
??

??? ?

???? ?

t

1? t 1? t 1? t

,

3t

,

3

),

∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3 , 0, t ) .………………………… 13 分 ∵二面角 M-BQ-C 为 30° ,
? ?? n?m ∴ co s 3 0 ? ? ?? ? n m
?

t 3?0?t
2

?

3 2



∴ t ? 3 .……………………………………………………………………15 分



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