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山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科数学



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济南外国语学校 2012—2013 学年度第一学期
高三质量检测数学试题(理科)2012.11
本试卷分第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选

择题
一、 只有一项是符合要求的)

共 60 分)

选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则 A∩(CUB)等于( A.{2} 2. 复数 A. 2 ? i B.{2,3} C.{3} D.{1,3}



5i =( 1 ? 2i

) B. 1 ? 2i ) C. ?2 ? i D. ?1 ? 2i

3. " x ? 1"是"| x |? 1" 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

?0( x ? 0) ? 4. 已知函数 f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ( f ( f (?1))) 的值等于( ?? 2 ? 1( x ? 0) ?
A. ? ? 1
2



B. ? ? 1
2

C. ?

D.0 ) D. y ? 2
?| x|

5.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1
3

C. y ? ? x ? 1
2

6. 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 的零点为( A.1,2 B. ± 1,-2
x

) D.± 2 1,

C.1,-2

7. 若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan B. ?

a? 的值为( 3



A.0

3 3

C.1

D. ? 3

8. 已知向量 a=(2,1) ,b=(-1,k) (2a-b)=0,则 k=( ) ,a· A. -12 B. -6 C. 6 D. 12 )

9. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an?1 ? 3sn (n ? 1) ,则 a6 =( A. 4
4

B.3 ×4 +1

4

C . 3×4

4

D. 4 +1
-1-

4

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10.若 a>0,b>0,且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值() A.2 B.3 C.6 D.9

11. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R, 其中 ? ? 0, ?? ? ? ? ? . 若 f ( x ) 的最小正周期为

6? ,且当 x ?

?
2

时, f ( x ) 取得最大值,则(

) B. f ( x ) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数 D. f ( x ) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数 )

A. f ( x ) 在区间 [?2? ,0] 上是增函数 C. f ( x ) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数

12. 函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2,对任意 x ? R ,f / ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为( A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) D.(-∞,+∞)

注意事项: 1.第Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题纸各题的答题区域内作答,不能写在试题卷 上; 如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修 正带,不按以上要求作答的答案无效。要求字体工整,笔迹清晰.在草稿纸上答题无 效. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

第Ⅱ 卷(非选择题
13. 设 m ? 系为

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分;共 16 分,将答案填在题中横线上.

? e dx, n ? ?
x 0

1

e

1

1 dx , m 与 n 的大小关 则 x



14. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几 何体的体积为

m3 .

15. 已 知 x 和 y 是 实 数 , 且 满 足 约 束 条 件

? x ? y ? 10 ? ? x ? y ? 2 , 则z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?2 x ? 7 ?
1 x

.

16. 具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的函数,我们称为满 足“倒负”交换的函数,下列函数:

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①y ? x ?

1 1 ; ②y ? x ? ; x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? ③ y ? ?0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是 ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
17. (本小题满分 12 分)

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ? 18. (本小题满分 12 分) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的 圆的方程. 19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥ AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥ AB。 Ⅰ 、求证:CE⊥ 平面 PAD; Ⅱ 、若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠ CDA=45° , 求四棱锥 P-ABCD 的体积. Ⅲ 、在满足(Ⅱ )的条件下求二面角 B-PC-D 的 余弦值的绝对值. 20. (本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了 甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表 示。

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

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(Ⅰ )如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数; (Ⅱ )如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的 分布列和数学期望. 21. (本小题满分 12 分)在数列 ?an ?中,已知 a1 ? (Ⅰ )求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ )求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ )设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn .
x 2 k 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e .

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(1)求 f (x) 的单调区间;

(2)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有

f ( x) ?

1 e ,求 k 的取值范围。

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(答案)高三质量检测数学试题(理科)2012.11
一、DCACB CDDCD AB 二、13、m>n 三、17、 14、4 15、

23 2

16、① ③

18【解析】 (I)由 ?

?y ? x ?b ?x ? 4 y
2

得 x ? 4 x ? 4b ? 0
2

(?)

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4) ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1 ………………4 分
2 2 (II)由(I)可知 b ? ?1 ,故方程( ? )即为 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x ? 4 y ,得 y=1,
2

故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于 圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4 ………..12 分
2 2

19、 【解析】(1)证明:因为 PA⊥ 平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥ CE, 因为 AB⊥ AD,CE∥ AB,所以 CE⊥ AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥ 平面 PAD…………….3 分 (2)解:由(1)可知 CE⊥ AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45 ? 1 ,CE=CD ? sin 45 ? 1 .
? ?

又因为 AB=CE=1,AB∥ CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以

1 1 5 平面 ABCD,PA=1, S ABCD ? S ABCE ? S?BCD = AB ? AE ? CE ? DE = 1? 2 ? ? 1? 1 ? ,又 PA⊥ 2 2 2

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所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S ABCD ? PA ?

1 3

1 5 5 ? ? 1 ? ……………7 分 3 2 6

(3) 建立以 A 为原点, AB,AD,AP 为 x,y,z 轴的空间坐标系, 取平面 PBC 的法向量为 n1=(1,01), 取平面 PCD 的法向量为 n2=(1,1,3), 所以二面角的余弦值的绝对值是

2 22 ………………………………………………….12 分 11

20、解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 x ?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; ……………………………………….4 分 4 4

(Ⅱ )当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同 学的植树棵数是:9, 9,10。 8, 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4× 4=16 种可能的结果, 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17, 19, 21 事件“Y=17” 18, 20, 等价于“甲组选出的同学植树 9 棵, 乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能 的结果,因此 P(Y=17)= 同理可得 P (Y ? 18) ?

2 1 ? . 16 8

1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8
18 19 20 21

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17

1 8 1 4 1 4 1 4

1 4 1 8

1 4

1 4

1 8

EY=17× P(Y=17)+18× P(Y=18)+19× P(Y=19)+20× P(Y=20)+21× P(Y=21) =17× +18× +19× +20× +21× =19…………………………………….12 分 18、21、解: )∵ (Ⅰ
a n ?1 1 ? an 4

1 8

∴ 数列{ an }是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

1 ∴an ? ( ) n (n ? N * ) .…………………………………………………………………………3 分 4

(Ⅱ )∵bn ? 3 log1 an ? 2 ………………………………………………………………… 4 分
4

∴bn ? 3 log1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .…………………………………………………………… 5 分
2

1 4

∴b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴ 数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.…………………………………………7 分
1 (Ⅲ )由(Ⅰ )知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4

1 ∴cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) .………………………………………………………………8 分 4 1 1 1 1 1 ∴S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4
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1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 ② 4 4 4 4 4 4 …………………………………………………………………………………………… 9 分 3 1 1 1 1 1 两式① 相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 -② 4 4 4 4 4 4 1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 .………………………………………………………………………11 分 2 4

∴ Sn ?

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) .………………………………………………………12 分. 3 3 4

f / ( x) ?
22、解:(1)

x 1 2 ( x ? k 2 )e k / k ,令 f ( x) ? 0 得 x ? ? k …………………………….3 分

当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ?k ) 和 (k , ??) 上递增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, k ) 和 (?k , ??) 上递减,在 (k , ? k ) 上递增…………………8 分

(2) 当 k ? 0 时,

f (k ? 1) ? e

k ?1 k

?

1 1 f ( x) ? ?x ? (0 , ? ?) 都有 e; e ;所以不可能对 f (?k ) ? 4k 2 e ,所以对 ?x ? (0 , ? ?) 都

当 k ? 0 时有(1)知 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最大值为

f ( x) ?


1 1 4k 2 1 1 f ( x) ? ? ?? ?k ?0 e即 e e 时, k 的取值范 e 2 ,故对 ?x ? (0 , ? ?) 都有

1 [? ,0) 围为 2 。…………………………………………………………………….14 分

-7-



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