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2015年高一数学精品优秀教案:2.2.2《对数函数及其性质》(新人教A版必修一)



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三维目标定向 〖知识与技能〗 (1)掌握对数函数的概念、图象和性质; (2)能够运用对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 〖过程与方法〗 通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 体会对数是一类重要的函数 模型, 借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探索并了解对数函数的单调性与特殊 点。

〖情感、态度与价值观〗 注意对比思想的应用,体验用联系的观点分析问题,认识事物之间的相互转化。 教学重难点 〖重点〗对数函数的概念、图象和性质。 〖难点〗底数 a 对对数函数的影响,在解决有关问题时定义域对函数的影响。 教学过程设计 一、引例 复利是计算利息的一种方式,现假设有本金 1 元,每期利率为 2.25%,本利和为 y,试 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数解析式。 ( y ? 1.0225 )
x

1、根据对数的定义,这个函数写成对数式的形式是什么?( x ? log1.0225 y ) 2、若要本利和翻一番,至少要存多少期?翻两番呢? 3、存期 x 是否也是本利和 y 的函数呢?(是) 4、用 y 表示函数,x 表示自变量,这个函数的解析式是什么?( y ? log1.0225 x ) 二、核心内容整合 1、对数函数的概念: 函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为

x ? (0,??) 。
2、对数函数模型

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(1) 火箭的最大速度 v 和燃料质量 M、 火箭质量 m 的函数关系是: v ? 2000 ln(1 ?

M ); m

( 2 )生物学家研究发现:洄游鱼类的游速 v 和鱼的耗氧量 O 之间的函数关系:

v?

1 O ; log 3 2 100
(3)溶液的酸碱度是通过 PH 值来刻画的,PH 值的计算公式为: PH ? ? lg[ H ] 。 3、对数函数的图象和性质 (1)用列表法画出函数 y ? log 2 x 和 y ? log 1 x 的图象;
2

?

(2) 几何画板演示对数函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的图象, 并引导学生观察获得如 下结论: 0 < a < 1 a > 1

图 象

定义域 值域

(0 , +∞) R (1)过定点(1,0) ,即 x = 1 时,y = 0 (2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数

性 质

(3)同正异负,即 0 < a < 1 , 0 < x < 1 或 a > 1 , x > 1 时,log a x > 0; 0 < a < 1 , x > 1 或 a > 1 , 0 < x < 1 时,log a x < 0。 y

练一练:比较 a、b、c、d、1 的大小: 答:b > a > 1 > d > c。 0 1

y=log a x y=log b x x y=log c x y=log d x

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三、例题分析示例 例 1、求下列函数的定义域: (1) y ? log a x 2 ; (2) y ? log a (4 ? x) 。

分析: (1) {x | x ? 0} ; (2) {x | x ? 4} 。 例 2、比较下列各组数中两个值的大小:1og 2 3.4 和 log 2 8.5。 分析:考察对数函数 y ? log 2 x ,因为它的底数 2 > 1,所以它 (0, ??) 在上是增函数, 于是 log 2 3.4 ? log 2 8.5 。 拓展 1: (1) log 0.3 3.4, log 0.3 8.5 ; (2) log a 3.4, log a 8.5( a ? 0且a ? 1) 。 小结:注意函数思想和分类讨论思想的应用。 练习:已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log a m ? log a n(0 ? a ? 1) ; (2) log a m ? log a n(a ? 1) 。 拓展 2: (1) log 0.3 3.4, log 0.5 3.4 ; (2) log 2 3.4, log 3.4 2 ; (3) log 3.4 2, log 2 0.8 。 小结:体现了数形结合思想的应用; “介值法”体现了问题的转化思想。 练习:已知 0 < a < 1,0 < b < 1,若 a
logb ( x ?3)

? 1 ,求 x 的取值范围。

四、学习水平反馈:P73,练习。 思考题:若函数 y ? log a x 在 [2, ??) 上恒有 | y |? 1 ,求 a 的取值范围。

五、三维体系构建 1、自主探究新知识的方法:从特殊到一般,具体到抽象的归纳;知识之间的类比。 2、本课知识点——对数函数的概念、图象和性质。 3、实现知识内涵到外延应用的途径。

六、课后作业:P74,习题 2.2, (A 组)7、8; (B 组)2。 教学反思:
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对数函数性质的应用 三维目标定向 〖知识与技能〗 进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质,设计对数型函数的定义域、值域、单调 性等问题。 对于反函数, 只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数, 不要求学生讨论 形式化的反函数的定义,也不要求学生求已知函数的反函数。 〖过程与方法〗 通过问题的探究研讨,体会函数与方程的思想、体会类比的方法解题、体会数形结合的 思想、体会对数函数的模型功能。 〖情感、态度与价值观〗 进一步增强函数与方程意识,培养运用联系发展、变化的观点认识事物的本质,提高数 学思维品质。 教学重难点:对数函数性质的应用。 教学过程设计 一、复习引入 对数函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的图象与性质。 二、例题分析示例 例 1、已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1), g ( x) ? log a (1 ? x)(a ? 0且a ? 1) , (1)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)探究 f ( x) ? g ( x) 在其定义域内的单调性。

例 2、已知函数 f ( x) ? log 4 (2 x ? 3 ? x ) ,
2

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)求 f ( x) 的最大值,并求取得最大值时的 x 的值。
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例 3、溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的,pH 的计算公式为 pH = – lg [H ],其中[H ]表示溶液 中氢离子的浓度,单位是摩尔 / 升。 (1) 根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式, 说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度 之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [ H ] ? 10 摩尔 / 升,计算纯净水的 pH。
? ?7
+ +

三、反函数 对数函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 与指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 互为反函数,它
x

们的图象关于直线 y = x 对称。 (以具体的函数如 y = log 2 x 与 y = 2 加以说明,几何画 板展示。 ) 注: 只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数, 不要求学生讨论形式化的 反函数的定义,也不要求学生求已知函数的反函数。 四、学习水平反馈 1、已知函数 f ( x) ? lg (A)b

x

1? x ,若 f (a ) ? b ,则 f (? a ) 等于( 1? x 1 1 (B)– b (C) (D) ? b b



2、在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v(m / s)和燃料的质量 M(kg) 、火 箭(除燃料外)的质量 m(kg)的函数关系是 v ? 2000 ln(1 ? 的多少倍时,火箭的最大速度可达 12 km / s? 3、求函数 y ? log 5 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调区间。 4、已知函数 f ( x) ? log a (1)求 m 的值; (2)判断 f ( x) 在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明。 5、求函数 y ? log 2

M ) 。当燃料质量是火箭质量 m

1 ? mx (a ? 0且a ? 1) 的图象关于原点对称, x ?1

x x ? log 2 ( x ? [1,8]) 的最大值和最小值。 2 4

五、课后作业:P74,A 组:9、12。 教学反思:

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对数函数小结 学情分析: 本节要解决的主要问题是: 能熟练地进行简单的对数运算, 能运用对数函数的图象与性 质解决与之有关的问题。 解决上述问题的关键是: 熟练掌握对数式与指数式之间的互化, 掌握对数的各种运算法 则及适用条件。要有数形结合意识,能结合对数函数的图象记忆并运用对数函数的性质。有 分类讨论意识,在底数不确定时,要分 a > 1 和 0 < a < 1 讨论。 一、对数的定义与运算性质的应用 例 1:求下列各式中 x 的值。 (1) log 3 (lg x) ? 1 ; (2) log x 27 ?

3 ; (3) x ? log 8 4 。 4

例 2:求值: (1)

2 lg 2 ? lg 3 ; 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg 8 2 3
1 ? lg 0.06 。 6

(2) lg 5(lg 8 ? lg1000) ? (lg 2 3 ) 2 ? lg

二、对数函数图象的应用 例 3:已知 y = lg x 的图象,作出 y = | lg x | 和 y = lg | x | 的图象,并解答以 下问题: 函数 y = lg | x |( )

(A)是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增 (B)是偶函数,在区间(0, +∞)上单调递减 (C)是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 (D)是奇函数,在区间上(0,+∞)单调递减

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练习:将 y = 2 的图象( (A)先向左平移 1 个单位 (C)先向上平移 1 个单位

x

) (B)先向右平移 1 个单位 (D)先向下平移 1 个单位

再作关于直线 y = x 的对称图象,可得到 y = log 2 (x + 1) 的图象。

三、对数函数的值域及单调性的问题 例 4:已知 log 0.7 (2m) ? log 0.7 ( m ? 1) ,求 m 的取值范围。

练习:求函数 y ? log 0.1 (2 x 2 ? 5 x ? 3) 的递减区间。

四、对数函数性质的综合应用 例 5:已知函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) ,其中 a ∈R。
2

(1)若函数 f (x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f (x) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围。

练习:设函数 y = | lg x |,若 0 < a < b,且 f (a) > f (b),证明:ab < 1。

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