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选修1-1教案3.3.3函数的最大(小)值与导数



课题: 3.3.3 函数的最大值和最小值

教学目的: ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 ?a, b? 上 所 有 点 ( 包 括 端 点 a , b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最

值 的 方 法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) >f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,如
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下图所示, x1 是极大值点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 )

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(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 二、讲解新课:
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1.函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函数

y

f ( x) 的图象.图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值,

f ( x2 ) 是极大值.函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值
是 f (b) ,最小值是 f ( x3 ) .

a

x1

O

x2

x3

b

x

一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 说明: ⑴在开区间 ( a ,b ) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值.如函数 f ( x) ?

1 在 x

(0,??) 内连续,但没有最大值与最小值;
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的; 函数的极值是比较极值点附近函数值得 出的. ⑶函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分条 件而非必要条件. (4) 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有一个
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⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进 行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步 骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 三、讲解范例: 例 1 求 函 数 y ? x ? 2x ? 5 在区间 ?? 2,2?上 的最大值与最小值
4 2

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y
12
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10 8

例 2 已知 x,y 为正实数,且满足 x ? 2 x ? 4 y ? 0 ,求 xy 的取值范围
2 2

6 4

2 3 2 3 例 3.设 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x ? ax ? b( ?1 ? x ? 1) 的 3 2
-4 -2

2

y=x4-2x2+5 O
2 4

6 最大值为 1,最小值为 ? ,求常数 a,b 2

x

x 2 ? ax ? b 例 4 已知 f ( x) ? log 3 , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满足下列 x

两个条件: (1) f ( x) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2) f ( x) 的最 小值是 1,若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由. 四、课堂练习: 1.下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0

)

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12

)

4.函数 y=

2x ? x 2 的最大值为( x ?1
B.1 C.

)

A.

3 3

1 2

D.

3 2

5.设 y=|x|3,那么 y 在区间[-3,-1]上的最小值是( ) A.27 B.-3 C.-1 D.1 3 2 6.设 f(x)=ax -6ax +b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a>b,则( A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-3 五、小结 :

)

⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区 间端点; ⑵函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件; ⑶闭 区 间 ?a, b? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ; 开 区 间 ( a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值 .



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