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数列的求和 (2)



数列的求和
一、知识总结
对于一般数列求和是很困难的,在推导等差、等比数列的和时出现了一些方 法可以迁移到一般数列的求和上,掌握数列求和的常见方法有: (1)公式法: ①等差数列的求和公式, S n ?
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? ②等比数列的求和公式,

S n ? ? a1 (1 ? q n ) (切记:公比含字母时一定要讨论) (q ? 1) ? ? 1? q

(2)分组求和法:在直接运用公式求和有困难时常,将“和式”中的“同类项” 先合并在一起,再运用公式法求和(如:通项中含(-1)n 因式,周期数列等 等) (3)倒序相加法:如果一个数列{a n } ,与首末两项等距的两项之和等于首末两 项之和, 则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到了一个常数 列的和,这一求和方法称为倒序相加法。特征:an+a1=an-1+a2 (4)错项相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应 项相乘所组成,此时求和可采用错位相减法。 (5)裂项相消法:把一个数列的各项拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵 消,于是前 n 项之和变成首尾若干少数项之和。

二、典型例题
S n ? 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 11 ? 1 ? ? ?
例 1.求和:①
n个

1 1 1 Sn ? (x ? )2 ? (x 2 ? 2 )2 ? ? ? (x n ? n )2 x x x ②
③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,?前 n 项和 思路分析:通过分组,直接用公式求和。

Sn

倒序相加法求和
0 1 2 n 例 2.求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2 n m n?m 思路分析:由 C n 可用倒序相加法求和。 ? Cn

错位相减法求和 例 3.已知数列 1,3a,5a 2 ,?, (2n ? 1)a n?1 (a ? 0) ,求前 n 项和。 思路分析: 已知数列各项是等差数列 1, 3, 5, ?2n-1 与等比数列 a 0 , a, a 2 ,?, a n?1 对应项积,可用错位相减法求和。

练习:求 S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

裂项相消法求和 例 4.求和 S n ?
22 42 ( 2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

三、同步练习
1. 已知数列 {a n } 的通项公式 an ? 2n ? 1(n ? N * ) , 其前 n 项和为 S n , 则数列 { 前 10 项的和为 。
n ?1

Sn }的 n

( n ? 2 k ?1) * 2 . 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 an ? {2 2 n ?1( n ? 2 k ) ( k ? N ) , 其 前 n 项 和 为 S n , 则

S9 ?



3 .已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 1 ,则数列 {a n } 的通项公式 为 。

4. 已知数列 {a n } 中,a1 ? 1, 且有 (2n ? 1)an ? (2n ? 3)an?1 (n ? N * , n ? 2) , 则数列 {a n } 的通项公式为 ,前 n 项和为 。

5. 数列{an}满足 a1=2, 对于任意的 n∈N*都有 an>0, 且(n+1)an2+an· an+1-nan+12=0,

又知数列{bn}的通项为 bn=2n-1+1. (1)求数列{an}的通项 an 及它的前 n 项和 Sn; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn;

6.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; (3) 设 bn=
1 (n ∈N*),Tn=b1+b2+ ?? +bn(n ∈N*), 是否存在最大的整数 n(12 ? a n )

m,使得对任意 n∈N*均有 Tn>
理由.

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明 32

7.求下列数列的前 n 项和 S n :
1 1 1 1 5 , , ,? , ,? ; (1) 5, 55, 555, 5555, ?, (10n ? 1) , ?;(2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n( n ? 2) 9

(3) an ?

1 n ? n ?1



(4) a, 2a 2 ,3a3 ,?, na n ,? ;

(5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),?;

(6) sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? .

?6n ? 5 ( n为奇数) 8.已知数列 {an } 的通项 an ? ? n ,求其前 n 项和 S n . (n为偶数) ?2

参考答案: 典型例题:
1 a k ? 11 ? 1 ? 1 ? 10 ? 10 2 ? ? ? 10 k ? (10 k ? 1) ? ? ? 9 k个

例 1.解:①

1 1 S n ? [(10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] ? [(10 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? n] 9 9

1 10(10 n ? 1) 10 n ?1 ? 9n ? 10 ? [ ? n] ? 9 9 81
Sn ? (x2 ? 1 1 1 ? 2) ? ( x 4 ? 4 ? 2) ? ? ? ( x 2 n ? 2 n ? 2) 2 x x x 1 1 1 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n 2 x x x



? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2n ) ? (
Sn ?

(1)当 x ? ?1时, (2)当 ③

x 2 ( x 2 n ? 1) x ?2 ( x ?2 n ? 1) ( x 2 n ? 1)( x 2 n ? 2 ? 1) ? ? 2 n ? ? 2n x2 ?1 x ?2 ? 1 x 2 n ( x 2 ? 1)

x ? ?1时, S n ? 4n

k[( 2k ? 1) ? (3k ? 2)] 5 2 3 ? k ? k 2 2 2 5 3 5 n(n ? 1)( 2n ? 1) 3 n(n ? 1) S n ? a1 ? a2 ? ? ? a n ? (12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ? ? 2 2 2 6 2 2 1 ? n(n ? 1)(5n ? 2) 6 a k ? (2k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? ? ? [( 2k ? 1) ? (k ? 1)] ?
总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1 讨论。
0 1 2 n 例 2.证:令 S n ? C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? (2n ? 1)C n n n ?1 2 1 0 则 S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? 5C n ? 3C n ? Cn

(1) (2)
m n?m ? Cn ? Cn

0 1 2 n ? (1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)C n ? (2n ? 2)C n ? (2n ? 2)C n ? ? ? (2n ? 2)C n 0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[C n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2 n

等式成立

例 3.解: S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n ?1 ?1?
aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)S n

? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a 3 ? ? ? 2a n ?1 ? (2n ? 1)a n

当 a ? 1时, (1 ? a) S n ? 1 ?

2a(1 ? a n ?1 ) ? (2n ? 1) n (1 ? a ) 2

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n ?1 (1 ? a) 2

当 a ? 1时, S n ? n 2
? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 Sn ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) 练习答案: ? (a ? 1) ? a n (a ? 1) 2 ?

例 4.解:
ak ? ( 2k ) 2 ( 2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)( 2k ? 1) (2k ? 1)( 2k ? 1) (2k ? 1)( 2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? an ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

同步练习:
3 1 1 3n 1.75; 2.377; 3. an ? ?2n?1 ; 4. an ? ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1 , 2n ? 1 ;

5. (2)Tn=2n+n-1.

解:(1)可解得

a n ?1 n ? 1 ? ,从而 an=2n,有 Sn=n2+n, an n

6. 解:(1)由 an+2=2an+1-an ? an+2-an+1=an+1-an 可知{an}成等差数列,?

d=

a4 ? a1 =-2,∴an=10-2n. 4 ?1

(2)由 an=10-2n≥0 可得 n≤5,当 n≤5 时,Sn=-n2+9n,当 n>5 时,Sn=n2 -9n+40, 故 Sn= ?
2 ? ?? n ? 9 n ?n 2 ? 9n ? 40 ?

1? n ? 5 n?5

(3)bn=

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) n(2n ? 2) 2 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ;要使 Tn> ?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 2 2 3 n n ?1 2(n ? 1)

m m 1 总成立,需 <T1= 成立,即 m<8 且 m∈Z,故适合条件的 m 的最大值为 7. 4 32 32
n个 n个 ? ? ? ? ? ? 5 7. 解: (1) Sn ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55?5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99? 9) 9

5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9

(2)∵

1 1 1 1 ? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ? ? ). 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

(3)∵ an ? ∴ Sn ?

1 n ? n ?1

?

n ?1 ? n ? n ?1 ? n ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )

1 1 1 ? ?? ? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? n ? 1 ? 1 .

(4) Sn ? a ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? na n , 当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ?n ?
n(n ? 1) , 2

当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? na n ,
aSn ? a 2 ? 2a3 ? 3a 4 ? ? ?na n?1 ,

两式相减得 (1 ? a) Sn ? a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? ∴ Sn ?
na n ? 2 ? (n ? 1)a n ?1 ? a . (1 ? a ) 2

a(1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

(5)∵ n(n ? 2) ? n2 ? 2n , ∴ 原式 ? (12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ?n) ? (6)设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? ,
n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

又∵ S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ? ?? ? sin 2 1? , ∴ 2S ? 89 , S ?
89 . 2

8. 解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有
n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3
? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? ? ? 2 3 所以, S n ? ? n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) ? 2 3 ? (n为奇数)


(n为偶数)



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