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河北省成安县第一中学2015-2016学年高二1月月考数学(文)试题



高二年级元月份考试数学试卷(文科) 考试时间 120 分钟,满分 150 分

一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1、已知条件 p:| x + 1| > 2,条件 q: 5 x ? 6 ? x 2 , ?p 则是 ?q 的( A、充分必要条件 C、必要非充分条件 2、下 列 结 论 错 .误 .的 .是 A、 命 题 “ 若 B、充

分非必要条件 D、既非充分又非必要条件 ( ) )

p , 则 q ” 与 命 题 “ 若 ?q, 则 ?p ” 互 为 逆 否 命 题 ;
x

, , ?, 1命 题 q : ? x ? R, x ? x?1 ?0则 B 、 命 题 p : ? x ?[ 0 , 1]e
2

p?q为 真 ;

C 、 “ 若 am ? bm , 则 a ? b ” 的 逆 命 题 为 真 命 题 ;
2 2

D、 若

p ? q 为假命题,则 p 、 q 均 为假命题.
( )

3、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? a3 ? ?5, S 5 ? ?20, 则a10 等于 A、-90 B、-27 C、-25 ( D、0 ) D、 45? ,

4、在 ?ABC 中,若 a ? 6 3 , A ? 60? , b ? 6 ,则角 B 的度数为 A、 30? 或 150? B、 30? C、 150?

5、在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边为 a,b,c,A=60°,b=1,S△ABC= 则 c 等于( A、1 ) B、2 C、3

D、4

6、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 1 10 2 26 4 35 5 49

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b约等于 9,据此模型预报广告费用为 6 万元时,销售额 为( ) A、54 万元 B、55 万元 C、56 万元 ) D、57 万元

7、若 b ? a ? 0 ,则下列不等式中一定成立的是( A、 a ? a ? b ? ab ? b
2

B、 b ? ab ? a ? b ? a 2

C、 b ? a ? b ? ab ? a
2

D、 b ? a ? a ? b ? ab
2

8、曲线 y ?

ln x ? 1 在点(1,0)处的切线方程是 ( x
B、 2 x ? y ? 1 ? 0 D、 x ? 2 y ? 2 ? 0

)

A、 x ? y ? 1 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0

9、 双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的两个焦点 F1、F2 , P 是双曲线上的一点,满足 PF ,则 ?F1 PF2 的面积 1 ? PF 2 为 ( ) A、 1 B、
5 2

C、 2

D、 5

2 10、一动圆的圆心在抛物线 y ? 8x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则此动圆必过的定

点 (

) B、 ?0,?2 ? C、 ?4,0? D、 ?2,0?

A、 ?0,2?

11、设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能 的是( )

12、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F2 作倾斜角为 120? 的直线 a 2 b2
(
12 ? 2 3 11

与椭圆的一个交点为 M ,若 MF1 垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为 A、 2 ? 3 B、 2(2 ? 3) C、
3 3

)

D、

二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分)

?x ? 2 ? 13、若线性约束条件为 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的取值范围是 ?x ? y ? 6 ?
14、已知正数 x、y,满足



8 1 ? ? 1 ,则 x+2y 的最小值为 x y


2

15、已知 m, n, m ? n 成等差数列,

m 1 16 、 设 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 5 , 当 x ? [0,2] 时 , f ( x) ? m 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 2

m, n, mn成等比数列,则椭圆 x

?

y2 ? 1 的离心率为______. n



.

三 、解答题 (共 70 分) 17、(满分 10 分)在△ ABC 中,已知 a、b、c 分别是三内角 A 、 B 、 C 所对应的边长, 且b
2

? c2 ? a 2 ? bc.

(Ⅰ)求角

A 的大小;

2 2 2 (Ⅱ)若 sin A ? sin B ? sin C ,试判断△ABC 的形状并求角 B 的大小.

2 18、(满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? x ? mx ? 1有两个零点,命题 q: ?x ? R ,

4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 .
(Ⅰ)写出命题 q 的否定 ? q; (Ⅱ)若

p ? ? q 为真命题,则实数 m 的取值范围为。

19、(满分 12 分)已知等差数列{

a n }和正项等比数列{ bn }, a1 ? b1 =1, a3 ? a5 ? a7 =9,

a 7 是 b3 和 b7 等比中项.
(Ⅰ)求数列{ a n }、{ bn }的通项公式; (Ⅱ)若 cn

?

1 ,求数列{ c n }的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

20、 (满分 12 分)学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的餐椅经常有损坏,学习雷锋精神时全 修好;单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅损坏情况作了一个大致统计,具体数据如下: 损坏餐椅数 学习雷锋精神前 学习雷锋精神后 总 计 50 30 80 未损坏餐椅数 150 170 320 总 计 200 200 400

(Ⅰ)求:学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少?并初步判断损毁餐椅数量与 学习雷锋精神是否有关? (Ⅱ)请说明是否有 97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关? 参考公式: K 2 ? P(K ≥k0) k0
2

n(ad ? bc)2 , (n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

21、(满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ?

a ex

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 点(1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 的极值。

22、(满分 12 分)已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ?2 2 ,0)、F2( 2 2 ,0),长轴长为 6,设直 线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)求 ?OAB 的面积.

高二元月份考试数学(文)答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 D 6 D 7 C 8 C 9 A 10 D 11 C 12 A 二、填空题 (每 小题 5 分,共 20 分) 11. ?8,14?. 12. 18 . 13.
2 2



14.

?7,??? .

17、(本题满分 10 分)解:(Ⅰ)在△ABC 中,由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
? cos A ? b2 ? c2 ? a 2 , 2bc

?????????????????????2

分 又∵ b2 ? c 2 ? a 2 ? bc. 分 ∵ 5分 (Ⅱ)∵ sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,由正弦定理得 故△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形 又
A?

? cos A ?

1 , 2

?????????????????????4

0? A??

∴A??

3

???????????????????

a2 b2 c2 ? ? 2 2 4R 4R 4R2

即: a 2 ? b2 ? c 2 ????7 分

?
3

,? B ?

?
6

??????????????

????????10 分 18、(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 命题 q 的否定 ? q 为:?x ? R,4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 ????????? 4分 (Ⅱ) 当 q 为真命题时,即 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 恒成立,
2 ? ? ? 16 (m ? 2) ? 16 ? 0 ,即 m2 ? 4m ? 3 ? 0 ,解得: 1 ? m ? 3

? ? q 为真命题的条件为: m ? 1或m ? 3
分 对于命题 p:? 函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 有两个零点

????????7

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ,即 m ? ?2或m ? 2

? p ? ?q 为真命题,? 命题 p 和? q 都是真命题

m ? 1或m ? 3 ?? ?

????????10

?m ? ?2或m ? 2

解得: m ? ?2或m ? 3

??????12

分 19(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设数列{ an }公差为 d ,数列{ bn }的公比为 q

? a3 ? a5 ? a7 ? 9

?3a5 ? 9 即 a5 ? 3

?d ?

a5 ? a1 1 ? 5 ?1 2

? 数列?an ? 的通项公式 an ? 1 ?

1 ?n ? 1? ? n ? 1 ????????????????3 分 2 2

? a7 ? 4 且 a 7 是 b3 和 b7 等比中项
2 2 ?a7 ? b3b7 ? b5 即 b5 ? a7 ? 4

?q4 ?

a5 ? 4即q ? ? 2 a1
? bn ?

又 ? 数列{ bn }为正项等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
cn ?

?q ? 2

? 2?

n ?1

??????????6 分

1 1 4 1 ? ? 1 ? ? ? 4? ? ? an an ?1 n ? 1 ? n ? 2 ?n ? 1??n ? 2 ? ? n ? 1 n ? 2 ? 2 2

?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 1 ? 2n ??????12 分 ? 1 cn ? 4?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 4? ? ?? 2 3 3 4 4 5 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2? n?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 20、 (本题满分 12 分)解: (Ⅰ) 学习雷锋精神前座椅的损坏的百分比是: 50 ? 25% ??2 200

分 学习雷锋精神后座椅的损坏的百分比是: 30 ? 15% ??4 分
200

因为二者有明显的差异,所以初步判断损毁座椅减少与学习雷锋精神是否有关. ??5 分

(Ⅱ)根据题中的数据计算:

k?

400? (50 ? 170 ? 30 ? 150) 2 ? 6.25 80 ? 320? 200? 200

??9 分

因为 6 .25>5.024 所以有 97.5%的把我认为损毁座椅数减少与学习雷锋精神有关。??12 分 21、(本题满分 12 分)解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x ? 1 ? ax ,得 f ?? x ? ? 1 ? ax e e 2分 由 函 数 f ( x) 在 点(1, f (1)) 处 的 切 线平 行 于 ??????

x 轴,得

f ??1? ? 1 ?

a ? 0 ,解得 e

a =

e

????4 分

(Ⅱ) f ?? x ? ? 1 ? ax e ?当 a ? 0 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 在 R 上为增函数, f ( x) 无极值 ?当 a ? 0 时,令 f ??x ? ? 0 ,得 ??????6 分

e x ? a, x ? ln a

所以 x ? (??, ln a), f ?( x) ? 0; x ? (ln a,??), f ?( x) ? 0;

? ?) 上单调递增。 ? f ( x)在(??, ln a) 上单调递减;在 (ln a,

??????9 分

? f ( x)在x ? ln a处取得极小值, 且极小值为 f (ln a) ? ln a,无极大值 ? ? ? ? ? ? 11
分 综 上 , 当

a?0









f ?x ?











a?0





? f ( x)在x ? ln a处取得极小值ln a,无极大值 ??12 分
2 2 22、解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 x 2 ? y2 ? 1

a

b

?????? 1 分
2

由题意 a ? 3, c ? 2 2 ,于是 b ? 1 , (Ⅱ)由 ? ? x2
? y ? x?2 ? ? y ?1 ?9
2

所以椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1
9

? 4分

, 得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0

?????? 6 分

由于该二次方程的 ? ? 0 ,所以点 A、B 不同。设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?
?18 27 , x1 x2 ? 5 10
2

?????? 7 分

点 O 到直线 y ? x ? 2 的距离 d ? | 0 ? 0 ? 2 | ? 2 所以 | AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 2 (?18/ 5)2 ? 4 ? 27 /10 ? 6 3 / 5 ??? 10 分 所以 S? AOB ? 1 ? 2 ? 6 3 ? 3 6
2 5 5

?????? 12 分



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