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全国高中数学联合竞赛



全国高中数学联合竞赛
解析几何试题分类汇编(00 ~ 05) 一、选择题
?ABC 1. (00, 3) 已知点 A 为双曲线 x2 ? y2 ? 1 的左顶点, 点 B 和点 C 在双曲线的右支上, 是等边三角形,则 ?ABC 的面积是
(A)

3 3

(B)

3 3 2


(C) 3 3

(D) 6 3

2. (00,5)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y ? 值是 (A)

5 4 x ? 的距离中的最小 3 5

3. (02,2)若实数 x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142,则 x2+y2 的最小值为 (A) 2 4. (02,4)直线 (B) 1
2 2

34 170

(B)

34 85

(C)

1 20

(D)

1 30

(C)

3

(D)

2

x y x y ? ? 1 椭圆 ? ? 1 相交于 A,B 两点,该圆上点 P,使得⊿PAB 4 3 16 9

面积等于 3,这样的点 P 共有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 2 5. (03,2)设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay2=ab 的图形是 y y y

y x

x

x

x

A B C D 6. (03,3)过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60o 的直线,若此直线与抛物线交 于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 A.

16 3

B.

8 3

C.

16 3 3

D. 8 3

7. (05,5)方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线是 sin 2 ? sin 3 cos 2 ? cos 3
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线

A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆

二、填空题
8. (00,10)在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方

的端点为 B。若该椭圆的离心率是 9.(01,7)椭圆 ? ?

5 ?1 ,则 ? ABF = 2




1 的短轴长等于 2 ? cos ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1| 9 4 =2 : 1,则三角形 ? PF1F2 的面积等于______________.
10. (03,8)设 F1,F2 是椭圆

:

|PF2|

11. (04,12)在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 ? MPN X 轴上移动,当 取最大值时,点 P 的横坐标为___________________。 12. (05,11)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线

y ? x 2 上.则该正方形面积的最小值为
三、解答题

.

13. (00,15)已知 C0 : x2 ? y2 ? 1 和 C1 : ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 。试问:当且仅 2

x2

y2

a

b

当 a,b 满足什么条件时,对 C1 任意一点 P,均存在以 P 为顶点、与 C0 外切、与 C1 内接的 平行四边形?并证明你的结论。 14. (01,14) 设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公 2 a

共点 P。 (1)实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 大值(用 a 表示) 。
2 15. (02,13)已知点 A(0,2) 和抛物线 y ? x ? 4 上两点 B, C 使得 AB ? BC ,求点 C

1 时,试求⊿OAP 的面积的最 2

的纵坐标的取值范围. 16. (03,15)一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A,且 OA=a. 拆叠纸片, 使圆周上某一点 A/ 刚好与 A 点重合,这样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当 A/取 遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合. 17. (04,14)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B(?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直 线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L

4 3

的斜率 k 的取值范围。 18.过抛物线 y ? x 2 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B. 点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

且 ?1 ? ?2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

AE BF ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 ? ?2 , EC FC

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1.C 2.B 3.B 4.B

解析几何试题分类汇编(00 ~ 05) 2 3 5.B 6.A 7.C 8.90? 9. 3

10.设椭圆的长轴、 短轴的长及焦矩分别为 2a、 2b、 2c, 则由其方程知 a=3, b=2, c= 5 , 故,|PF1|+|PF2|=2a=6,又已知[PF1|:|PF2|=2:1,故可得|PFl|=4,|PF2|=2.在△PFlF2 中,三边之长分别为 2,4,2 5 ,而 22+42=(2 5 )2,可见△PFlF2 是直角三角形,且两 直角边的长为 2 和 4,故△PFlF2 的面积=4. 11. 解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a,3-a) ,则圆 S 的方程为: ( x ? a)2 ? ( y ? 3 ? a)2 ? 2(1 ? a2 ) 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 ?MPN 取最大值时,经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中 的 a 值必须满足 2(1 ? a2 ) ? (a ? 3)2 , 解得 a=1 或 a=-7。 即对应的切点分别为 P(1,0)和P' (?7,0) ,而过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点 M, N,P 的圆的半径,所以 ?MPN ? ?MP ' N ,故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标 为 1。 12. 解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 CD 所在直线 l 的方程 y ? 2 x ? b, 将直线 l 的方程与抛物线方
程联立,得 x 2 ? 2 x ? b ? x1, 2 ? 1 ? b ? 1. 令正方形边长为 a, 则 a ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 5( x1 ? x2 ) ? 20(b ? 1). ①
2 2 2 2

在 y ? 2 x ? 17 上任取一点(6,,5) ,它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a,? a ? ②. ①、②联立解得 b1 ? 3, b2 ? 63. ?a ? 80, 或 a ? 1280 . ? amin ? 80.
2 2 2

| 17 ? b | 5

13.利用极坐标解决:以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程 为

1

?2

?

cos 2 ? a2

?

sin 2 ? b2

------(1)

显知此平行四边形 ABCD 必为菱形,设 A ( ?1,? ) ,则 B ( ? 2 ,90? ? ? ) 代入(1)式相加:

1

?12

?

1

?2

2

?

1 a
2

?

1 b2

由于该菱形必与单位圆相切,故原点到 AB 的距离为 1, ∴ ?1?1 ? 1 ?

?12 ? ? 22 ,从而

1

?12

?

1

?22

? 1,∴

1 a
2

?

1 b2

?1

? x2 ? y2 ?1 ? 14. 解:(1)由 ? a 2 ? y 2 ? 2( x ? m ) ?

消去 y 得: x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ? 0



设 f ( x) ? x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等 根. 只需讨论以下三种情况: 1°△=0 得: m ? 合; 2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 3°f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a,即 0<a<1 时适 合. f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. 综上可知,当 0<a<1 时, m ?

a2 ?1 ,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适 2

a2 ?1 或-a<m≤a; 2 当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………… 10

分 (2)△OAP 的面积 S ? ∵0<a<

1 ay p 2

1 ,故-a<m≤a 时,0< ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m <a, 2
x p ? ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m

由唯一性得

显然当 m = a 时, xp 取值最小.由于 xp > 0 ,从而 yp = 1 ?

x2 p a2

取值最大,此时

y p ? 2 a ? a 2 ,∴ S ? a a ? a 2 .

a2 ?1 1 时,xp=-a2,yp= 1 ? a 2 ,此时 S ? a 1 ? a 2 . 2 2 1 下面比较 a a ? a 2 与 a 1 ? a 2 的大小: 2 1 1 令 a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 ,得 a ? 2 3 1 1 1 故当 0<a≤ 时, a a ? a 2 ≤ a 1 ? a 2 ,此时 S max ? a 1 ? a 2 . 2 3 2 1 1 1 当 ? a ? 时, a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 ,此时 Smax ? a a ? a 2 .……… 20 分 2 3 2
当m ?
2 15.解:设 B 点坐标为 ( y1 ? 4, y1 ) , C 点坐标为 ( y 2 ? 4, y) .

2 显然 y1 ? 4 ? 0 ,故 k AB ?

y1 ? 2 1 ? 2 y1 ? 4 y1 ? 2

由于 AB ? BC ,所以 k BC ? ?( y1 ? 2)
2 ? ? y ? y1 ? ?( y1 ? 2)[x ? ( y1 ? 4)] 从而 ? ,消去 x ,注意到 y ? y1 得: 2 ? ?y ? x ? 4

(2 ? y1 )( y ? y1 ) ? 1 ? 0 ? y12 ? 2(2 ? y) y1 ? (2 y ? 1) ? 0
由 ? ? 0 解得: y ? 0 或 y ? 4 . 当 y ? 0 时,点 B 的坐标为 (?3,?1) ;当 y ? 4 时,点 B 的坐标为 (5,?3) ,均满足是 题意.故点 C 的纵坐标的取值范围是 y ? 0 或 y ? 4 . 16.解:如图,以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则有 A(a,0).设折叠 时,⊙O 上点 A/( R cos ? , R sin? )与点 A 重合,而折痕为直线 MN,则 MN 为线段 AA/的 中垂线.设 P(x,y)为 MN 上任一点,则|PA/|=|PA| 5分 ∴ (x ? R cos? )2 ? ( y ? R sin )2 ? (x ? a)2 ? y2 即 2R(x cos? ? y sin? ) ? R2 ? a2 ? 2ax ∴ 10 分

x cos? ? y sin? x2 ? y 2

?

R2 ? a2 ? 2ax 2R x 2 ? y 2
2 2

可得: sin(? ? ? ) ?

R2 ? a2 ? 2ax 2R x ? y

(sin? ?

x x ?y
2 2

, cos? ?

y x ? y2
2

)



R 2 ? a 2 ? 2ax 2R x 2 ? y 2

≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到)

15 分

a 2 ) y2 2 ? 平方后可化为 ≥1, R R a ( )2 ( )2 ? ( )2 2 2 2 a ( x ? )2 y2 2 ? 即所求点的集合为椭圆圆 =1 外(含边界)的部分. R 2 R 2 a 2 ( ) ( ) ?( ) 2 2 2 20 分 (x ?
17. 解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y ?

4 4 ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 。点 3 3 1 1 P( x, y) 到 AB、 AC、 BC 的距离依次为 d1 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d3 ?| y | 。 5 5

2 依设, d1d2 ? d3 , 得 |16x2 ? (3 y ? 4)2 |? 25 y2 ,即

16x2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0, 或16 x2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0 ,化简得点 P 的轨迹方程为
圆 S: 2x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x ?17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

......5 分

(Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0
2 2

① ②

与双曲线 T: 8x ?17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2

因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上, 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。

1 ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1 ? d2 ? d3 ,解得 D(0, ) ,且知它在圆 S 2
上。直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程为

y ? kx ?

1 2



(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y ?

1 平行于 x 轴,表明 2

L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。......10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只 能有两种情况: 情况 1: 直线 L 经过点 B 或点 C, 此时 L 的斜率 k ? ?

1 , 直线 L 的方程为 x ? ?(2 y ? 1) 。 2

代入方程②得 y(3 y ? 4) ? 0 ,解得 E ( , )或F(- , )。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个 交点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 故当 k ? ?

5 4 3 3

5 4 3 3

1 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 ......15 分 2 1 情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ? ? ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 2

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ? L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 ? 有且只有一组实 1 y ? kx ? ? ? 2
数解,消去 y 并化简得 (8 ? 17 k ) x ? 5kx ?
2 2

25 ?0 4
④ ⑤

该方程有唯一实数解的充要条件是 8 ? 17k ? 0
2

或 (?5k ) ? 4(8 ? 17 k )
2 2

25 ?0 4

解方程④得 k ? ?

2 2 34 ,解方程⑤得 k ? ? 。 2 17 1 2 34 2 ,? ,? }。 2 17 2
......20 分

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ?

18. 解 一 : 过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为 : y? ? 2 x | x?1 ? 2,? 切 线 AB 的 方 程 为

1 y ? 2 x ? 1. ? B、D 的坐标为 B (0,?1), D ( ,0),? D 是线段 AB 的中点. ………………5 2

2 设 P( x, y) 、 C( x0 , x0 ) 、 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,则由
2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 , y1 ? ; 1 ? ?1 1 ? ?1 2 ? 2 x0 ? 1 ? ? 2 x0 , y2 ? . 1 ? ?2 1 ? ?2

AE ? ?1 知, EC


x1 ? x2 ?

BE ? ?2 , FC



EF







线









2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 x? 1 ? ?1 1 ? ?1 ? , 2 2 ? 1 ? ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?1 1 ? ?2 1 ? ?1

y?

2 2 化简得 [(?2 ? ?1 ) x0 ? (1 ? ?2 )]y ? [(?2 ? ?1 ) x0 ? 3]x ? 1 ? x0 ? ?2 x0 . …①…………10 分
2 2 2 x0 x ? x0 1 当 x 0 ? 时,直线 CD 的方程为: y ? …② 2 2 x0 ? 1

x ?1 ? x? 0 ? 1 ? 3 2 联立①、②解得 ? ,消去 x0 ,得 P 点轨迹方程为: y ? (3 x ? 1) . ……… 2 3 ? y ? x0 ? 3 ?
15 分 当 x0 ?

1 3 1 1 3 1 1 ? y ? ( ? 2 ? ?1 ? 3) x ? ? ? 2 , CD 方程为: x? , 时, EF 方程为: 2 2 4 4 2 4 2

1 ? ? x? , ? ? 2 ? 2 ? 联立解得 ? ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ x0 ? 1,? x ? . 3 ? y ? 1 .? ? ? 12 ? ?
∴所求轨迹方程为 y ? 20 分 解二: 由解一知, AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中点. …… 5分 令? ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ……………………………………………… 3 3 1 2

CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ? 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, CP CE CF

? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD .


S S t ?t 1 CE ? CF S ?CEF 1 1 1 3 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? )? 1 2 ? ,?? ? , t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1? t 2? 2t1t 2? 2t1t 2? 2
? P 是 ?ABC 的重心. ……………………………………………………………………… 10


2 设 P( x, y),C( x0 , x0 ), 因点 C 异于 A,则 x0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 x2 1 2 ? , ( x ? ), y ? ? 0 , 消去 x0 , 得 y ? (3 x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3

x?

故所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ………………………………………………20 分 3 3



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