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2009~2010学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习



2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第7讲
一. 【课标要求】

函数模型及其应用

1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义; 2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、

幂函数、分段函 数等)的实例,了解函数模型的广泛应用。

二. 【命题走向】
函数应用问题是高考的热点, 高考对应用题的考察即考小题又考大题, 而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创 设情景的需要,函数试题设置问题的角度和方式也不断创新,重视函数思想的考察,加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度,从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测 2010 年的高考,将再现其独特的考察作用,而函数类应用题,是考察的重点,因 而要认真准备应用题型、 探索型和综合题型, 加大训练力度, 重视关于函数的数学建模问题, 学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 (1)题型多以大题出现,以实际问题为背景,通过解决数学问题的过程,解释问题; (2)题目涉及的函数多以基本初等函数为载体,通过它们的性质(单调性、极值和最 值等)来解释生活现象,主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象

三. 【要点精讲】
1.解决实际问题的解题过程 (1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的 主、被动关系,并用 x、y 分别表示问题中的变量; (2)建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型 一般都是函数的解析式; (3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函 数知识求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示: 实际问题 抽象概括 函数模型
运 用 函 数 性 质

实际问题的解

还原说明

函数模型的解

2.解决函数应用问题应着重培养下面一些能力: (1)阅读理解、整理数据的能力:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数 据之间的关系,数据的单位等等; (2)建立函数模型的能力:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函 数, 建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式, 注意不要忘记考

察函数的定义域; (3)求解函数模型的能力:主要是研究函数的单调性,求函数的值域、最大(小)值, 计算函数的特殊值等,注意发挥函数图象的作用

四. 【典例解析】
题型 1:正比例、反比例和一次函数型 例(1)(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造

垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影 响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂 对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到 城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平 方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为

厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在, 求出该点到城 A 的距离;若不存在, 说明理由。 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

C x

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? (2) y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

A

B

4 9 8 9 ? (?2 x) 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ? , y' ? ? 3 ? , 令 y' ? 0 得 ? x 2 400 ? x 2 x (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 所 以 x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到
城 A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 解法二: (1)同上. (2)设 m ? x , n ? 400 ? x ,
2 2

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

则 m ? n ? 400 , y ?

4 9 ? ,所以 m n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 y? ? ?( ? ) ? [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? 当 且 仅 当 m n m n 400 400 m n 400 16

4 n 9 m ? n ? 240 ? 即? 时取”=”. m n ?m ? 160
下面证明函数 y ?

4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

?(

4 ( 2 ? m1 ) m 9 m1 m2 ) (? 4 4 9 9 ? ) ?( ? ? ) ? m1 m2 4 0 0 m1 4 0 0 m2 ? ? m1 m2 ( 4 0 ? m1 ) ( 4 0 0 2 0 ? m 4 9 ? ] m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

)

? (m2 ? m1 )[

? (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 , m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1)(400 ? m2) ? 9 m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所 以 (m2 ? m1 )

4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m 1m 2 在 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

(0,160)上为减函数. 同 理 , 函 数 y?

4 9 ? 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 160<m1<m2<400, 则 m 400 ? m

y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

? (m2 ? m1 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )
4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m 1m 2 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? 在 m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所 以 (m2 ? m1 )

(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值,

所以弧

上存在一点, x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度 当

最小. 【命题立意】 :本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. (2) .某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行 了连续 5 年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测: (1)如果不采取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如果从 2000 年底后采取植树造林等措施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年 底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷?

观测时间

1996 底



1997 底 0.4000



1998 底 0.6001



1999 底 0.7999



2000 底 1.0001



该地区沙漠比原有面积增 加数(万公顷)

0.2000

解析: (1)由表观察知,沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次 函数 y=kx+b 的图象 将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b, 求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(x∈N) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98(万公顷) 。 (2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得 x=20(年) 。 故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 点评:初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质,我们要 牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”“成反比例”等条件要应用好 、 例 2.(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素,记余下工程的费用为 y 万元。

(Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256 x ? m x ? 2m ? 256. x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3

256m x
2

1 3 m 3 ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

题型 2:二次函数型 例 3.一辆中型客车的营运总利润 y(单位:万元)与营运年数 x(x∈N)的变化关系 如表所示,则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大 (A)4 (B)5 (C)6 x年 (D)7 4 6 11 8 7 ? ?

y ? ax2 ? bx ? c(万元) 7
解析:表中已给出了二次函数模型

y ? ax2 ? bx ? c ,
由表中数据知,二次函数的图象上存在三点(4,7)(6,11)(8,7) , , ,则

?7 ? a ? 4 2 ? b ? 4 ? c, ? 2 ?11 ? a ? 6 ? b ? 6 ? c, ?7 ? a ? 8 2 ? b ? 8 ? c. ?



解得 a=-1,b=12,c=-25, 即 y ? ? x ? 12x ? 25。
2

而取“=”的条件为

x?

25 x ,

即 x=5,故选(B) 。 点评:一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型,解决此类问题要充分利用 二次函数的结论和性质,解决好实际问题。 例 4. (2009 福州八中)某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x -10x (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元) ,又
2 3

在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 (Ⅰ)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (Ⅲ)求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际 意义是什么? 解 ( Ⅰ ) P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3240x-5000,(x ? N , 且 1 ≤ x ≤ 20);
3 2 *

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3275,(x ? N ,且 1≤x≤19)
2 *

(Ⅱ) P?( x) ? ?30 x 2 ? 90 x ? 3240 ? ?30( x ? 12)(x ? 9) . ∴当 0<x<12 时 P?(x) >0,当 x<12 时, P?(x) <0. ∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (Ⅲ)∵MP(x)=-30x +60x+3275=-30(x-1) +3305, 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,x 的取值范围为[1,19],且 x ? N
* 2 2

MP( x) 是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.

例 5. (2008 湖南理 21. )

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点 4 2 (I)证明: ?27 ? c ? 5 ;
已知函数 f ( x) ?

(II)若存在实数 c,使函数 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减,求 a 的取值范围。 解: (I)因为函数 f ( x) ?

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点, 4 2

所以 f ?( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c ? 0 有三个互异的实根. 设 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c, 则 g?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1), 当 x ? ?3 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (??, ?3) 上为增函数; 当 ?3 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (?3,1) 上为减函数; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数; 所以函数 g ( x) 在 x ? ?3 时取极大值,在 x ? 1 时取极小值. 当 g (?3) ? 0 或 g (1) ? 0 时, g ( x) ? 0 最多只有两个不同实根. 因为 g ( x) ? 0 有三个不同实根, 所以 g (?3) ? 0 且 g (1) ? 0 . 即 ?27 ? 27 ? 27 ? c ? 0 ,且 1 ? 3 ? 9 ? c ? 0 , 解得 c ? ?27, 且 c ? 5, 故 ?27 ? c ? 5 . (II)由(I)的证明可知,当 ?27 ? c ? 5 时, f ( x ) 有三个极值点. 不妨设为 x1,x2,x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,则 f ?( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ). 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,x1 ] , [ x2 , x3 ] 若 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减, 则 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] , 或 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] , 若 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] ,则 a ? 2 ? x1 .由(I)知, x1 ? ?3 ,于是 a ? ?5. 若 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] ,则 a ? x2 且 a ? 2 ? x3 .由(I)知, ?3 ? x2 ? 1. 又 f ?( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c, 当 c ? ?27 时, f ?( x) ? ( x ? 3)( x ? 3) ;
3 2 2 2 当 c ? 5 时, f ?( x) ? ( x ? 5)( x ?1) .

因此, 当 ?27 ? c ? 5 时, 1 ? x3 ? 3. 所以 a ? ?3, 且 a ? 2 ? 3. 即 ?3 ? a ? 1. 故 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1. 反之, 当 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1 时,

总可找到 c ? (?27,5), 使函数 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减.

? 综上所述, a 的取值范围是 (??, 5) ? (?3,1) .

题型 3:分段函数型 例 6. (2009 福建省)已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应 对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出 一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给 每位待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留 岗员工每人每年可为企业多创利润(1-

81 )万元; 当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时, 100 x

留岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待 岗? 解 设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵2000×1%=20,∴当 0<x≤20 且 x∈N 时, y=(2000-x)(3.5+1∵x≤2000×5%

81 324 )-0.5x=-5(x+ )+9000.81. 100 x x

∴x≤100,∴当 20<x≤100 且 x∈N 时,

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. ∴y??
324 ? ) ? 9000.81, (0 ? x ? 20且x ? N), ?? 5( x ? x ?? 4.9595 x ? 8919, (20 ? x ? 100且x ? N). ?

当 0<x≤20 时,有

324 )+9000.81≤-5×2 324 +9000.81=8820.81, x 324 当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x
y=-5(x+ 当 20<x≤100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数, 所以 y<-4.9595×20+8919=8819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗.

例 7. (2008 广东,17) (本小题满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平 方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 5 6 0 4x8 ? ? ? f ? ? x ? ? 48 ?

2 1 6? 1 0 0 0 0 0 10800 ? ? 5? 0 x ? 8 6 4 ? x ? 1 0 ,x? Z ? 2000 x x

10800 x ? 15 , 令 f ? ? x? ? 0 得 x2 当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 点评:本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问 题.考查运用所学知识解决实际问题的能力. 题型 4:三角函数型 例 8.某港口水的深度 y(m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记 作 y=f(t)。下面是某日水深的数据:

t/h y/m

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asinω t+b 的图象。 (1)试根据以上数 据求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可) 。某船吃水深度(船底 离水面的距离)为 6.5m,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它最多能在港内停 留多少时间(忽进出港所需的时间)? 解析:题中直接给出了具体的数学模型,因此可直接采用表中的数据进行解答

(1)由表中数据易得

A?

13 ? 7 2? ? ?3 ?? ? 2 12 6 ,b=10, ,周期 T=12,

所以

y ? 3siin

?
6

t ? 10



(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5(m) ,

所以

3 sin

?
6

t ? 10 ? 11 .5



化为

sin

?
6

t?

1 2,
?

应有

2k? ?

?
6

?
6

t ? 2k? ?

5? 6 ,

解得 12k+1≤t≤12k+5 (k∈Z) 。 在同一天内取 k=0 或 1, 所以 1≤t≤5 或 13≤t≤17, 所以该船最早能在凌晨 1 时进港, 最晚在下午 17 时出港, 在港口内最多停留 16 个小时。 点评:三角型函数解决实际问题要以三角函数的性质为先,通过其单调性、周期性等性 质解决实际问题。 特别是与物理知识中的电压、 电流、 简谐振动等知识结合到到一块来出题, 为此我们要对这些物理模型做到深入了解 题型 5:不等式型

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , ( x ? 6) ? 例 9. (2009 年上海卷理)有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) f ( x ) ,
*

表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1)证明 当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为

(115,121] , (121,127] , (121,133] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相
应的学科。 证明 (1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0……..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减

? 当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降……………..6 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.85……………….9 分 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分

例 10. (2008 湖北,文、理 19) (本不题满分 12 分) 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分) ,这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度 为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b



≥18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ? 24500 ab . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, >20,y>25

y ? 25 , 其中 x 2

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 ? 25 )= ? 25 x, 广告的面积 S=xy=x( x ? 20 x ? 20 360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . 整理得 S= x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2 当且仅当

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20

360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, x ? 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

18000 +25,得 y=175, x ? 20

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 点评:本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性 质和不等式证明的基本方法。 题型 6:指数、对数型函数 例 11.有一个湖泊受污染,其湖水的容量为 V 立方米,每天流入湖的水量等于流出湖 的水量。现假设下雨和蒸发平衡,且污染物和湖水均匀混合 用 g (t ) ?

p p ?t 表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数 (我 ? [ g (0) ? ]e v ( p ? 0) , r r

r

们称其湖水污染质量分数) g (0) 表示湖水污染初始质量分数。 , (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质量分数; (2)分析 g (0) ?

p 时,湖水的污染程度如何。 r

解析: (1)设 0 ? t1 ? t 2 , 因为 g (t ) 为常数, g (t1 ) ? g (t 2 ) ,即 [ g (0) ? 则 g (0) ?
? t2 p ? v t1 ][e ?e v ]? 0, r r r

p ; r

(2)设 0 ? t1 ? t 2 ,
? t2 p ? t1 g (t1 ) ? g (t 2 ) ? [ g (0) ? ][e v ? e v ] r r r

r

p ev ? ev = [ g (0) ? ] ? r t1 ? t 2 r v e
因为 g (0) ?

t2

r

t1

p ? 0 , 0 ? t1 ? t 2 , g (t1 ) ? g (t 2 ) 。污染越来越严重。 r

点评:通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数 0 ? a ? 1, a ? 1两种基 本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别, 它能帮我们解释具体问题。 譬如向题目中 出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻” 例 12.现有某种细胞 100 个,其中有占总数

1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞 2
10

分裂成 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 10 个?(参考 数据: lg 3 ? 0.477,lg 2 ? 0.301 ). 解析:现有细胞 100 个,先考虑经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数, 1 小时后,细胞总数为

1 1 3 ?100 ? ?100 ? 2 ? ?100 ; 2 2 2 1 3 1 3 9 2 小时后,细胞总数为 ? ?100 ? ? ? 100 ? 2 ? ? 100 ; 2 2 2 2 4 1 9 1 9 27 ?100 ; 3 小时后,细胞总数为 ? ?100 ? ? ?100 ? 2 ? 2 4 2 4 8 1 27 1 27 81 ?100 ? ? ?100 ? 2 ? ? 100 ; 4 小时后,细胞总数为 ? 2 8 2 8 16
x

?3? ? 可见,细胞总数 y 与时间 x (小时)之间的函数关系为: y ? 100 ? ? ? , x ? N ?2? x x 3 ?3? ?3? 由 100 ? ? ? ? 1010 ,得 ? ? ? 108 ,两边取以 10 为底的对数,得 x lg ? 8 , 2 ?2? ?2? 8 ∴x? , lg 3 ? lg 2 8 8 ? ? 45.45 , ∵ lg 3 ? lg 2 0.477 ? 0.301 ∴ x ? 45.45 .
答:经过 46 小时,细胞总数超过 10 个。 点评: 对于指数函数、 对数函数要熟练应用近似计算的知识, 来对事件进行合理的解析。 (2008 广东文 17) (本小题满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平 方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? 购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积
10

【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 5 6 0 4x8 ? ? ? f ? ? x ? ? 48 ?

2 1 6? 1 0 0 0 0 0 10800 ? ? 5? 0 x ? 8 6 4 ? x ? 1 0 ,x? Z ? 2000 x x

10800 x ? 15 , 令 f ? ? x? ? 0 得 x2 当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。

五. 【思维总结】
1.将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、 对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等 不同函数类型增长的含义。 2.怎样选择数学模型分析解决实际问题 数学应用问题形式多样,解法灵活。在应用题的各种题型中,有这样一类题型:信息 由表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理,建立数学模型,解答有关的实 际问题。解答此类题型主要有如下三种方法: (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用 的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解; (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式, 然后进行比较; (3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数 据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用 的数学模型,问题即可顺利解决。下面举例进行说



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