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河南省新乡市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)



河南省新乡市2016-2017学年高二 (下)期末数学试卷(理科)
  一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则?U(AUB)=(   )   A. {1,3,4}   2.已知1+i= ,则在复平面内,复数z所对应的点在(  )   A. 第一象限   3.已知向量 =(1,2x),

=(4,﹣x),则“x= )   A. 充分不必要条件   C. 充要条件   4.已知﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列,则 等于(  ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ”是“ ⊥ ”的(   B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B. {3,4} C. {3} D. {4}

  A.  

B. ﹣

C.

D.

或﹣

5.由直线x﹣y+1=0,x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域(包括边界)用不 等式组可表示为(  )

1

  A.

B.

  C.

D.

  6.将函数y=sin2x的图象向右平移 图象对应的解析式为(  )   A. y=2sin2x y=﹣cos2x   7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一点,过P作y轴的垂线,垂足为M ,若|PF|=4,则△PFM的面积为(  )   A. 3   8.执行如图所示的程序框图,若输入的N是6,则输出P的值是(  ) B. 4 C. 6 D. 8 B. y=2cos2x C. y=sin(2x﹣ )+1 D. 个单位,再向上平移一个单位,所得函数

  A. 120  

B. 720

C. 1440

D. 5040

9.已知命题p:“?x∈R,ex>0”,命题q:“?x0∈R,x0﹣2>x02”,则(   )   A. 命题p∨q是假命题   C. 命题p∧(¬q)是真命题 2 B. 命题p∧q是真命题 D. 命题p∨(¬q)是假命题

  10.在△ABC中,AB=3,AC=2,   A. 垂心   11.正三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等,从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点 连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的2个三角形全等的概率 为(  )   A. 0   12.已知函数f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在 关于y轴对称的点,则a的取值范围是(  )   A. B. C. D. B. C. D. 1 B. 外心 = + ,则直线AD通过△ABC的(  ) C. 内心 D. 重心

    二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卷上) 13.等差数列{an}的前n项和为sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于      .   14. 的展开式中,常数项为      .(用数字作答)

  15.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm), 可得这个几何体的体积是      cm3. 3

  16.已知F1、F2分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,若双

曲线左支上存在一点P使得 .    

=8a,则双曲线的离心率的取值范围是      

三、解答题(本题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)(本题满分60分 17.在△ABC中,cosB= (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)若AB=2   18.如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1 ,AD= ,点F是PB的中点,点E在棱BC上移动. ,求△ABC的面积. ,sin( ﹣C)= .

(Ⅰ)当E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°?

4

  19.甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比 赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错不答都得0分,已知甲队3人每人 答对的概率分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否 相互之间没有影响,用ξ表示甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ); (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.   20.在平面直角坐标系xOy中,已知动圆过点(2,0),且被y轴所截得的弦长 为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C1的方程; (Ⅱ) 过点P(1,2)分别作斜率为k1,k2的两条直线l1,l2,交C1于A,B两点(点A, B异于点P),若k1+k2=0,且直线AB与圆C2:(x﹣2)2+y2= 相切,求△PAB的面 积.   21.设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当0<a<2时,求函数g(x)=f(x)﹣x2﹣ax﹣1在区间[0,3]的最小值 .   5

  请考生在22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分 ,作答时请写清题号。【选修4-1,几何证明选讲】 22.已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过 点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1. (Ⅰ)求证:AC平分∠BAD; (Ⅱ)求BC的长.

    【选修4-4,坐标系与参数方程】 23.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为

(t为参数),点A的极坐标为(



),设直线l与圆C交于点P

、Q. (1)写出圆C的直角坐标方程; (2)求|AP|?|AQ|的值.     【选修4-5:不等式选讲】 24.已知函数f(x)= (Ⅰ)求集合A; 的定义域为集合A.

6

(Ⅱ)设集合B={x|﹣1<x<2},当实数a,b∈B∩(?RA)时,求证:

<|

1+    

|.

7

河南省新乡市2016-2017学年高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析   一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则?U(AUB)=(   )   A. {1,3,4} B. {3,4} C. {3} D. {4}

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:求出集合A∪B,然后求出其补集. 解答: 解:∵全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},

∴AUB={1,2,3}, ∴?U(AUB)={4}, 故选:D. 点评:本题考查集合的交、并、补的混合运算,基本知识的考查.   2.已知1+i= ,则在复平面内,复数z所对应的点在(  )   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 解答: 解:∵1+i= ,

8

∴z=

=

=

在复平面内,复数z所对应的点

在第

一象限. 故选:A. 点评:本题考查了复数的运算法则和几何意义,属于基础题.   3.已知向量 =(1,2x), =(4,﹣x),则“x= )   A. 充分不必要条件   C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ”是“ ⊥ ”的(  

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:先求出 ⊥ 的充要条件是x=± 解答: 故x=± ,从而得到答案. ,

解: ⊥ ? ? =0?4﹣2x2=0?x=± 是 ⊥ 的充分不必要条件,

故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件的定义,考查了向量垂直的性质,是一道基础 题.   4.已知﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列,则 等于(  )

  A.

B. ﹣

C.

D.

或﹣

考点:等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 9

专题:等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列等比数列的通项公式可得a1,a2和b2,代入要求的式子 计算可得. 解答: ∴ 解:∵﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列, ,解得a1=﹣4,a2=﹣6,

∴﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列, ∴b22=(﹣2)(﹣8), ∴b2=4,或b2=﹣4, 由等比数列的隔项同号可得b2=﹣4, ∴ = =

故选:C. 点评:本题考查等差数列和等比数列的通项公式,属基础题.   5.由直线x﹣y+1=0,x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域(包括边界)用不 等式组可表示为(  )

  A.

B.

  C.

D.

考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出对应的三角形区域,判断区域和直线的位置关系即可得到结论. 10

解答:

解:作出对应的三角形区域,

则区域在直线x﹣1=0的右侧,满足x≥1, 在x﹣y+1=0的上方,满足x﹣y+1≤0, 则x+y﹣5=0的下方,满足x+y﹣5≤0,

故对应的不等式组为



故选:A.

点评:本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域,比较基础.   6.将函数y=sin2x的图象向右平移 图象对应的解析式为(  )   A. y=2sin2x y=﹣cos2x B. y=2cos2x C. y=sin(2x﹣ )+1 D. 个单位,再向上平移一个单位,所得函数

考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质.

11

分析: 由条件利用诱导公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结 论. 解答: 解:将函数y=sin2x的图象向右平移 )=﹣cos2x 的图象, 再向上平移一个单位,所得函数图象对应的解析式y=﹣cos2x+1=2sin2x, 故选:A. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律 ,属于基础题.   7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一点,过P作y轴的垂线,垂足为M ,若|PF|=4,则△PFM的面积为(  )   A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 个单位,可得函数y=sin2(x﹣

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出P的坐标,利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|+1,进而可求得y0,最后 利用三角性的面积公式求得答案. 解答: 解:由题意,设P( , ∴S△MPF= |PM||y0|= =3 . 12 ,y0),则|PF|=|PM|+1= +1=4,所以y0=±2

故选:A. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单应用.涉及抛物线的焦点问题时一般要考 虑到抛物线的定义,考查计算能力.   8.执行如图所示的程序框图,若输入的N是6,则输出P的值是(  )

  A. 120

B. 720

C. 1440

D. 5040

考点:程序框图. 专题:推理和证明. 分析:根据程序框图进行模拟计算即可. 解答: 解:P=1×1=1,1<N成立,循环K=2,

P=1×2=2,2<N成立,循环K=3, P=2×3=6,3<N成立,循环K=4, P=6×4=24,4<N成立,循环K=5, P=24×5=120,5<N成立,循环K=6, P=120×6=720,6<N不成立, 输出P=720, 故选:B 点评: 本题主要考查程序框图的应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关 键.   9.已知命题p:“?x∈R,ex>0”,命题q:“?x0∈R,x0﹣2>x02”,则(   ) 13

  A. 命题p∨q是假命题   C. 命题p∧(¬q)是真命题

B. 命题p∧q是真命题 D. 命题p∨(¬q)是假命题

考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:先判断出p,q的真假,再判断出复合命题的真假,从而得到答案. 解答: 解:命题p:“?x∈R,ex>0”,是真命题, ﹣x0+2<0,

命题q:“?x0∈R,x0﹣2>x02”,即 即:

+ <0,显然是假命题,

∴p∨q真,p∧q假,p∧(¬q)真,p∨(¬q)假, 故选:C. 点评: 本题考查了指数函数的性质,解不等式问题,考查复合命题的判断,是 一道基础题.   10.在△ABC中,AB=3,AC=2,   A. 垂心 B. 外心 = + ,则直线AD通过△ABC的(  ) C. 内心 D. 重心

考点:向量的线性运算性质及几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析: 计算出| |=| |= ,又因为 = ,设 = , = ,由

向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形,从而可确定直线AD通过△A BC的内心. 解答: 解:∵AB=3,AC=2 14

∴|

|= ,|

|= .

即|

|=|

|=

设 则| ∴

= |=| =



=



|, = + .

由向量加法的平行四边形法则可知,四边形AEDF为菱形. ∴AD为菱形的对角线, ∴AD平分∠EAF. ∴直线AD通过△ABC的内心. 故选:C.

点评: 本题考查三角形内心的判断,根据向量长度,结合向量加法的平行四边 形法则及其几何意义是解决本题的关键.   11.正三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等,从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点 连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的2个三角形全等的概率 为(  )

15

  A. 0

B.

C.

D. 1

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: 由题意利用正三棱锥并判断出三角形的形状和两个三角形的关系,得出 所求的事件为必然事件,故求出它的概率. 解答: 解:若任取三个点构成的是等腰直角三角形,剩下的三个点也一定构成 等腰直角三角形, 若任取三个点构成的是正三角形,剩下的三点也一定构成正三角形. 所以这是一个必然事件,因此概率为1, 故选:D. 点评: 本题考查立体几何中的概率问题,解决问题的关键是弄清空间中的点的 位置关系.属于基础题..   12.已知函数f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在 关于y轴对称的点,则a的取值范围是(  )   A. B. C. D.

考点:对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 16

分析: 把函数图象点的对称问题转化为a=e 最大值,即可得出a的范围. 解答: 解:设x>0,g(x)=x2+ln(x+a)图象上一点P(x,y), ﹣x有解即可,利用导数判出

则P′(﹣x,y)在函数f(x)=x2+ex﹣ (x<0)图象上,

∴(﹣x)2+e﹣x﹣ =x2+ln(x+a),

化简得:a=e

﹣x有解即可,

令m(x)=e 1<0,

﹣x,m′(x)=e

(﹣e﹣x)﹣1=﹣e



∴m(x)在(0,+∞)上单调递减, 即m(x)<m(0)= ∴要使a=e 只需a 故选:A 点评: 本题考察函数的性质在求解方程有解中的应用,知识综合大,属于难题 .   二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卷上) 13.等差数列{an}的前n项和为sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于 ﹣2 . 即可. ,

﹣x有解,

考点:等差数列的前n项和;等差数列. 17

专题:计算题. 分析:根据等差数列的求和公式,把a1代入S3=6即可求得d 解答: d=﹣2 故答案为﹣2 点评:本题主要考查了等差数列的求和公式.属基础题.   14. 的展开式中,常数项为 672 .(用数字作答) 解:依题意可知S3=3×4+3d=6

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析: 利用二项式定理的通项公式Tr+1=Cnran﹣rbr求出通项,进行指数幂运算后令 x的指数幂为0解出r=6,由组合数运算即可求出答案. 解答: 解:由通项公式得Tr+1=C9r(2x)9﹣r =(﹣1)r29﹣rC9rx9﹣r

=(﹣1)r29﹣rC9r

,令9﹣

=0得r=6,所以常数项为

(﹣1)623C96=8C93=8× 故答案为672 点评:

=672

本题主要考查二项式定理的通项公式的应用,并兼顾了对根式与指数幂 运算性质的考查,属基础题型.  

18

15.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm), 可得这个几何体的体积是   cm3.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析: 由三视图知几何体是一个三棱锥,三棱锥的底面是一个底边是2,高是2 的三角形,做出面积是 结果. 解答: 解:由三视图知几何体是一个三棱锥, ,三棱锥的高是2,根据三棱锥的体积公式得到

三棱锥的底面是一个底边是2,高是2的三角形, 面积是 =2

三棱锥的高是2, ∴三棱锥的体积是 =

故答案为:

19

点评: 本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度,本题解 题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高.本题是一个基础题.   16.已知F1、F2分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,若双

曲线左支上存在一点P使得 (1,3] .

=8a,则双曲线的离心率的取值范围是 

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析: 依题意,双曲线左支上存在一点P使得 =8a,|PF1|﹣|PF2|=﹣2a,

可求得,|PF1|=2a,|PF2|=4a,再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求 得双曲线的离心率的取值范围. 解答: 解:∵P为双曲线左支上一点,

∴|PF1|﹣|PF2|=﹣2a, ∴|PF2|=|PF1|+2a,① 又 =8a,②

∴由①②可得,|PF1|=2a,|PF2|=4a. ∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即2a+4a≥2c, ∴ ≤3,③ 又|PF1|+|F1F2|>|PF2|, ∴2a+2c>4a, 20

∴ >1.④

由③④可得1< ≤3. 故答案为:(1,3]. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,依题意求得|PF1|=4a,|PF2|=2a是基础,利 用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a,c的不等式组是关键,也是 难点,考查分析问题、解决问题的能力,属于中档题.   三、解答题(本题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)(本题满分60分 17.在△ABC中,cosB= (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)若AB=2 ,求△ABC的面积. ,sin( ﹣C)= .

考点:两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值;正弦定理. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)根据同角三角函数间的基本关系由cosB求出sinB,利用诱导公式 先把sin( ﹣C)变为cosC,然后利用同角三角函数间的基本关系求出sinC,

把A变为π﹣(B+C),所以sinA=sin[π﹣(B+C)],利用两角和的正弦函数公 式化简后代入即可求出值; (Ⅱ)根据正弦定理求出AC的长度,然后利用三角形的面积公式求出即可.

21

解答:

解:(Ⅰ)在△ABC中,因为

,求得

,由sin(

﹣C)=

,求得



所以sinA=sin[π﹣(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = .

(Ⅱ)根据正弦定理得:



所以



所以 点评:



本题主要考查三角函数的基本公式,考查运算能力.做题时应注意三角 形内角和定理的运用.   18.如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1 ,AD= ,点F是PB的中点,点E在棱BC上移动.

(Ⅰ)当E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°?

考点:直线与平面所成的角. 22

专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.由线面平行的判定定理 可以证出结论.用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全. (Ⅱ)建立空间坐标系设点E(x,1,0),求出用E的坐标表示的平面PDE的法 向量,由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标. 解答: 解:(Ⅰ)当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.

∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点, ∴EF∥PC. 又EF?平面PAC,而PC?平面PAC, ∴EF∥平面PAC.

(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),D( ,0,0), 设BE=x(0≤x≤ ),则E(x,1,0),

设平面PDE的法向量为 =(p,q,1), 由 ,得 ﹣x, ). ,

令p=1,则 =(1, 而

=(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°, = = ,

所以sin45°=

解得BE=x= 故BE=

或BE=x=



(舍).

时,PA与平面PDE所成角为45°. 23

点评: 考查用向量证明立体几何中的问题,此类题的做题步骤一般是先建立坐 标系,设出坐标,用线的方向向量的内积为0证线线垂直,线面垂直,用线的方 向向量与面的法向量的垂直证面面平行,两者的共线证明线面垂直.此处为一 规律性较强的题,要注意梳理清楚思路.   19.甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比 赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错不答都得0分,已知甲队3人每人 答对的概率分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否 相互之间没有影响,用ξ表示甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ); (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.

考点:条件概率与独立事件;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题设知ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出P(ξ=0),P( ξ=1),P(ξ=2),P(ξ=3),由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ). (Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B ,分别求出P(A),P(AB),再由P(B/A)= 解答: ,能求出结果.

解:(Ⅰ)由题设知ξ的可能取值为0,1,2,3, ,

P(ξ=0)=(1﹣ )(1﹣ )(1﹣ )=

24

P(ξ=1)= (1﹣ )(1﹣ )+(1﹣ )× ×(1﹣ )+(1﹣ )(1﹣ )

× = ,

P(ξ=2)=

+

+

=



P(ξ=3)=

= ,

∴随机变量ξ的分布列为: ξ P 0 1 2 3

数学期望E(ξ)=0×

+1× +2×

+3× =



(Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B , 则P(A)= + +

= ,

P(AB)=

=



P(B|A)=

=

= .

点评: 本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望,考查条件概率的求法 ,是历年高考的必考题型之一,解题时要注意排列组合知识的合理运用. 25

  20.在平面直角坐标系xOy中,已知动圆过点(2,0),且被y轴所截得的弦长 为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C1的方程; (Ⅱ) 过点P(1,2)分别作斜率为k1,k2的两条直线l1,l2,交C1于A,B两点(点A, B异于点P),若k1+k2=0,且直线AB与圆C2:(x﹣2)2+y2= 相切,求△PAB的面 积.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设动圆圆心坐标为(x,y),半径为r,利用点(2,0)在圆上及 被y轴所截得的弦长为4,计算即可; (Ⅱ)设直线l1的斜率为k,通过将点P(1,2)代入抛物线y2=4x并与直线l1联 立,计算可得直线AB的斜率,不妨设lAB:y=﹣x+b,利用直线AB与圆C相切可得 b=3或1,分b=3、b=1两种情况讨论即可. 解答: 由题可知 解:(Ⅰ)设动圆圆心坐标为(x,y),半径为r, ,

∴动圆圆心的轨迹方程为:y2=4x; (Ⅱ)设直线l1的斜率为k,则l1:y﹣2=k(x﹣1),l2:y﹣2=﹣k(x﹣1), 点P(1,2)在抛物线y2=4x上, 联立 ,消去x得:ky2﹣4y+8﹣4k=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),△>0恒成立,即(k﹣1)2>0,有k≠1,

26

∴y1yP=

,∵yP=2,∴y1=



代入直线方程可得:

,同理可得:x2=





kAB=

=

=﹣1,

不妨设lAB:y=﹣x+b, ∵直线AB与圆C相切,∴ = ,解得b=3或1,

当b=3时,直线AB过点P,舍去, 当b=1时,由 此时△=32,∴|AB|= ∴P到直线AB的距离d= △PAB的面积为 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分类讨 论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.   21.设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当0<a<2时,求函数g(x)=f(x)﹣x2﹣ax﹣1在区间[0,3]的最小值 . , =4 . ,可得x2﹣6x+1=0, =8,

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

27

分析: (Ⅰ)首先求出函数的导数,然后令f′(x)=0,解出函数的极值点, 最后根据导数判断函数的单调性,从而求函数f(x)的单调区间. (Ⅱ)因为函数g(x)=f(x)﹣x2﹣ax﹣1,求出g(x)的导数,求出函数的 单调区间,然后只需讨论 与3的大小,从而分类讨论求出函数g(x)=f(x

)﹣x2﹣ax﹣1在区间[0,3]的最小值. 解答: 解:(Ⅰ)∵ 本小题满分(14分) .(2分)

由f'(x)>0,得﹣2<x<﹣1或x>0;由f'(x)<0,得x<﹣2或﹣1<x<0 . 又∵f(x)定义域为(﹣1,+∞), ∴所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(﹣1,0) (5分) (Ⅱ)由g(x)=f(x)﹣x2﹣ax﹣1 即g(x)=2x﹣ax﹣2ln(1+x), (7分)

令g'(x)=0由0<a<2及x>﹣1,得

且当

时f(x)取得极小值.(8分)

∵求f(x)在区间[0,3]上最小值 ∴只需讨论 与3的大小

①当



<3

28

所以函数g(x)在[0,3]上最小值为

(10分)

②当



=3

所以函数g(x)在[0,3]上最小值为

(11分)

③当



>3

所以函数g(x)在[0,3]上最小值为g(3)=6﹣3a﹣2ln4,(13分) 所以,综上可知当 时,函数g(x)在[0,3]上最小值为 ;

当 点评:

时,函数g(x)在[0,3]上最小值为6﹣3a﹣4ln4分)

此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系,掌握并会熟练运用导 数判断函数的单调性,要学会分类讨论,难度较大.   请考生在22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分 ,作答时请写清题号。【选修4-1,几何证明选讲】 22.已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过 点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1. (Ⅰ)求证:AC平分∠BAD; (Ⅱ)求BC的长.

29

考点:圆的切线的性质定理的证明;圆內接多边形的性质与判定. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,再证明OC∥AD,即可证 得AC平分∠BAD. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 从而有 解答: ,从而BC=CE,利用ABCE四点共圆,可得∠B=∠CED,

,故可求BC的长. (Ⅰ)证明:连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,(2分)

因为CD为半圆的切线,所以OC⊥CD, 又因为AD⊥CD,所以OC∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD.(4分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 ,∴BC=CE,(6分)

连接CE,因为ABCE四点共圆,∠B=∠CED,所以cosB=cos∠CED,(8分) 所以 ,所以BC=0分)

点评: 本题考查圆的切线,考查圆内接四边形,解题的关键是正确运用圆的切 线性质及圆内接四边形的性质.   【选修4-4,坐标系与参数方程】

30

23.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为

(t为参数),点A的极坐标为(



),设直线l与圆C交于点P

、Q. (1)写出圆C的直角坐标方程; (2)求|AP|?|AQ|的值.

考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)由题意可得点A在直线

(t为参数)上,把直线的参数方程代入曲线C的方程可得

t2+

t﹣ =0.由韦达定理可得t1?t2=﹣ ,根据参数的几何意义可得|AP|?

|AQ|=|t1?t2|的值. 解答: 解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ=2ρcosθ,即

(x﹣1)2+y2=1,表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的圆. (2)∵点A的直角坐标为( , ),∴点A在直线

(t为参数)上.

31

把直线的参数方程代入曲线C的方程可得 t2+ 由韦达定理可得

t﹣ =0.

t1?t2=﹣ <0,根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|= . 点评: 本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法,参数 的几何意义,属于基础题.   【选修4-5:不等式选讲】 24.已知函数f(x)= (Ⅰ)求集合A; (Ⅱ)设集合B={x|﹣1<x<2},当实数a,b∈B∩(?RA)时,求证: <| 的定义域为集合A.

1+

|.

考点: 交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法;绝对值不等式的解 法. 专题:函数的性质及应用;集合. 分析: (Ⅰ)由于|x+1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到﹣1和﹣2

的距离之和,而﹣4和 1对应点到﹣1和﹣2 的距离之和正好等于5,由此求得所求不等式的解集,继而得到集合A; (Ⅱ)由A、B求出B∩CRA,即得a、b的取值范围,由此证明. 解答: 解:(Ⅰ)由|x+1|+|x+2|﹣5≥0,

∴|x+1|+|x+2|≥5, 由于|x+1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到﹣1和﹣2 的距离之和, 32

而﹣4和 1对应点到﹣1和﹣2 的距离之和正好等于5, 故不等式|x+1|+|x+2|≥5的解集为 (﹣∞,﹣4]∪[1,+∞), ∴A=(﹣∞,﹣4]∪[1,+∞); (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(?RA)=(﹣4,1),B={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2), ∴B∩(?RA)=(﹣1,1), ∵ <|1+ |?2|a+b|<|4+ab|,

∵4(a+b)2﹣(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)﹣(16+8ab+a2b2)=4a2+4b2﹣a2b2﹣16 =a2(4﹣b2)+4(b2﹣4)=(b2﹣4)(4﹣a2), 又∵a,b∈(﹣1,1), ∴(b2﹣4)(4﹣a2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴ 点评: 本题考查了求函数的定义域以及集合的运算和不等式的解法与证明问题 ,是综合题,解题时应把含绝对值的不等式分类讨论,不等式证明时常用作差 法,是中档题   <|1+ |.

33



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