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高中数学人教版必修5课后习题答案[电子档]


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高中数学必修 5 课后习题答案

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第二章 2.1 数列的概念与简单表示法

数列

练习(P31) 1、 n
an

1 21

2 33

? ?

5 69

? ?

12 153

? ?

n
3(3 ? 4n)

2、前 5 项分别是: 1,0, ?1,0, ?1 . ? 1 ? (n ? 2m, m ? N * ) ? ?2(n ? 2m, m ? N * ) ? n ? 3、例 1(1) an ? ? ; (2) an ? ? * ? ? 1 (n ? 2m ? 1, m ? N * ) ?0(n ? 2m ? 1, m ? N ) ? ?n 说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举出其他可 能的通项公式表达形式不唯一的例子. 4、 (1) an ?
( ?1) n 1 1 ( n ? Z ? ) ; (3) an ? n?1 (n ? Z ? ) (n ? Z ? ) ; (2) an ? 2n 2n ?1 22

习题 2.1

A 组(P33)

1、 (1)2,3,5,7,11,13,17,19; (2) 2, 6,2 2,3, 10,2 3, 14, 15,4,3 2 ; (3)1,1.7,1.73,1.732,?1.732050; 2,1.8,1.74,1.733,?,1.732051. 1 1 1 1 2、 (1) 1, , , , ; (2) 2, ?5,10, ?17, 26 . 4 9 16 25 3、 (1) (1) , ?4 ,9, ( ?16 ) ,25, ( ?36 ) ,49; (2)1, 2 , ( 3) ,2, 5 , ( 6) , 7;
1 4、 (1) ,3,13,53,213 ; 2 1 4 1 (2) ? ,5, , ? ,5 . 4 5 4
an ? (?1)n?1 n2 ;

an ? n .

5、 对应的答案分别是: (1) 16,21;an ? 5n ? 4 ; (2) 10,13;an ? 3n ? 2 ; (3) 24,35;an ? n2 ? 2n . 6、15,21,28;
习题 2.1

an ? an?1 ? n .

B 组(P34)

1、前 5 项是 1,9,73,585,4681.

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该数列的递推公式是: an?1 ? 1 ? 8an , a1 ? 1 .通项公式是: an ?
) ? 10.072 ; 2、 a1 ? 10 ? (1 ? 0.72﹪
3 a3 ? 1 0 ? ( 1 ? 0﹪ .7 2? )

8n ? 1 . 7

a2 ? 1 0 ? ( 1 ? 0﹪ . 72 2 ? )

; 10.1 44518

; . ) 10.2 175 an5? 91 0 ? ( 1 ? 0﹪ . 7n 2

3、 (1)1,2,3,5,8;

3 5 8 13 (2) 2, , , , . 2 3 5 8

2.2

等差数列

练习(P39) 1、表格第一行依次应填:0.5,15.5,3.75;表格第二行依次应填:15, ?11, ?24 . 2、 an ? 15 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 13 , a10 ? 33 . 3、 cn ? 4n

4、 (1)是,首项是 am?1 ? a1 ? md ,公差不变,仍为 d ; (2)是,首项是 a1 ,公差 2 d ; (3)仍然是等差数列;首项是 a7 ? a1 ? 6d ;公差为 7 d . 5、 (1)因为 a5 ? a3 ? a7 ? a5 ,所以 2a5 ? a3 ? a7 . 同理有 2a5 ? a1 ? a9 也成立; (2) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) 成立; 2an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0) 也成立.
习题 2.2 A 组(P40)

1、 (1) an ? 29 ; 3、 60 ? .
习题 2.2

(2) n ? 10 ; (3) d ? 3 ;

(4) a1 ? 10 .

2、略.

4、 2℃ ; ?11℃ ; ?37℃ .
B 组(P40)

5、 (1) s ? 9.8t ; (2)588 cm,5 s.

1、 (1) 从表中的数据看, 基本上是一个等差数列, 公差约为 2000,a2010 ? a2002 ? 8d ? 0.26 ?105 再加上原有的沙化面积 9 ?105 ,答案为 9.26 ? 105 ; (2)2021 年底,沙化面积开始小于 8 ?105 hm2 . 2、略.

2.3

等差数列的前 n 项和

练习(P45) 1、 (1) ?88 ; (2)604.5. ? 59 ,n ?1 ? ?12 2、 an ? ? ? 6n ? 5 , n ? 1 ? ? 12
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3、元素个数是 30,元素和为 900.
习题 2.3 A 组(P46)

1、 (1) n(n ? 1) ; (2) n2 ; (3)180 个,和为 98550; (4)900 个,和为 494550. 2、 (1)将 a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999 代入 Sn ?
n(a1 ? an ) ,并解得 n ? 27 ; 2 17 将 a1 ? 20, an ? 54, n ? 27 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,并解得 d ? . 13 1 n(a1 ? an ) (2)将 d ? , n ? 37, Sn ? 629 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d , Sn ? , 3 2
? an ? a1 ? 12 ? 得 ? 37( a1 ? an ) ;解这个方程组,得 a1 ? 11, an ? 23 . ? 629 ? 2 ?

5 1 n(n ?1) (3)将 a1 ? , d ? ? , Sn ? ?5 代入 Sn ? na1 ? d ,并解得 n ? 15 ; 6 6 2 5 1 3 将 a1 ? , d ? ? , n ? 15 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,得 an ? ? . 6 6 2

(4)将 d ? 2, n ? 15, an ? ?10 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,并解得 a1 ? ?38 ; 将 a1 ? ?38, an ? ?10, n ? 15 代入 Sn ? 3、 4.55 ? 104 m. 4、4. 6、1472.
n(a1 ? an ) ,得 Sn ? ?360 . 2

5、这些数的通项公式: 7(n ? 1) ? 2 ,项数是 14,和为 665.
习题 2.3 B 组(P46)

1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前 n 项和公式,求出 5 年内的总 共的维修费,即再加上购买费,除以天数即可. 答案:292 元. 2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐. 现提供 2 个证明方法供参考. (1)由 S6 ? 6a1 ? 15d , S12 ? 12a1 ? 66d , S18 ? 18a1 ? 153d 可得 S6 ? (S18 ? S12 ) ? 2(S12 ? S6 ) . (2) S12 ? S6 ? (a1 ? a2 ? ? ? a12 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a6 )
? a7 ? a8 ? ? ?a1 2 ? (a1 ? 6d ) ? ( a d ? )? 2 ? 6 ? (a1 ? a2 ? ? ?a6) ? 3 6d ?6 a ( ? d 6 )

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? S6 ? 36d

同样可得: S18 ? S12 ? S6 ? 72d ,因此 S6 ? (S18 ? S12 ) ? 2(S12 ? S6 ) . 3、 (1)首先求出最后一辆车出发的时间 4 时 20 分; 所以到下午 6 时,最后一辆车行驶了 1 小时 40 分. (2)先求出 15 辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶 4 小时,以后车辆行驶时间依次 递减,最后一辆行驶 1 小时 40 分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布,代入前 n 项和公式,这 个车队所有车的行驶时间为 S ?
4 ?1 2 3 ? 15 ? 85 h. 2 2

乘以车速 60 km/h,得行驶总路程为 2550 km.
? 1 ? 1 1 1 ? ? 4、数列 ? ? 的通项公式为 an ? n(n ? 1) n n ? 1 ? n(n ? 1) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

类似地,我们可以求出通项公式为 an ?

1 1 1 1 ? ( ? ) 的数列的前 n 项和. n( n ? k ) k n n ? k

2.4

等比数列

练习(P52) 1、

a1

a3

a5

a7

q
2 或? 2

2 50

4 2

8 0.08

16 0.0032

0.2

2、由题意可知,每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为 a1 ? 80 ,公比为 q ? 20 的等比 数列,则第 5 轮被感染的计算机台数 a 5 为 . a5 ? a1q4 ? 80 ? 20 4 ? 1.28 ?10 7

3、 (1)将数列 ?an ? 中的前 k 项去掉,剩余的数列为 ak ?1 , ak ?2 ,? . 令 b ? ak ?i , i ? 1, 2,? ,则数列
ak ?1 , ak ? 2 ,? 可视为 b1 , b2 ,? .

因为

bi ?1 ak ?i ?1 ? ? q(i ≥ 1) ,所以, ?bn ? 是等比数列,即 ak ?1 , ak ? 2 ,? 是等比数列. bi ak ?i a3 a5 a ? ? ? ? 2 k ?1 ? ? ? q 2 (k ≥ 1) . a1 a3 a2 k ?1

(2) ?an ? 中的所有奇数列是 a1 , a3 , a5 ,? ,则

所以,数列 a1 , a3 , a5 ,? 是以 a1 为首项, q2 为公比的等比数列.
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(3) ?an ? 中每隔 10 项取出一项组成的数列是 a1 , a12 , a23 ,? , 则
a12 a23 a ? ? ? ? 11k ?1 ? ? ? q11 (k ≥ 1) a1 a12 a11k ?10

所以,数列 a1 , a12 , a23 ,? 是以 a1 为首项, q11 为公比的等比数列. 猜想:在数列 ?an ? 中每隔 m ( m 是一个正整数)取出一项,组成一个新的数列,这个数列 是以 a1 为首项, qm?1 为公比的等比数列.
2 4、 (1)设 ?an ? 的公比为 q ,则 a5 ? (a1q 4 )2 ? a12q8 ,而 a3 ? a7 ? a1q 2 ? a1q6 ? a12q8

2 2 所以 a5 ? a3 ? a7 ,同理 a5 ? a1 ? a9 2 (2)用上面的方法不难证明 an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) . 由此得出, an 是 an ?1 和 an ?1 的等比中项. 2 同理:可证明, an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0) . 由此得出,an 是 an ? k 和 an ? k 的等比中项 (n ? k ? 0) .

5、 (1)设 n 年后这辆车的价值为 an ,则 an ? 13.5(1 ? 10﹪ )n . (2) a4 ? 13.5(1 ? 10﹪ )4 ? 88573 (元). 用满 4 年后卖掉这辆车,能得到约 88573 元.
习题 2.4 A 组(P53)

1、 (1)可由 a4 ? a1q3 ,得 a1 ? ?1 , a7 ? a1q6 ? (?1) ? (?3)6 ? ?729 . 也可由 a7 ? a1q6 , a4 ? a1q3 ,得 a7 ? a4q3 ? 27 ? (?3)3 ? ?729
?a1 ? 27 ? a1 ? ?27 ? ? ? ?a1q ? 18 (2)由 ? 3 ,解得 ? 2 ,或 ? 2 q? q?? ? ? ? ?a1q ? 8 3 3 ? ?
4 ? 3 ?a1q ? 4 (3)由 ? 6 ,解得 q 2 ? , 2 ? ?a1q ? 6

3 6 2 2 a9 ? a 1 q8 ? a q ?9 1 ? q ? a q7 ? 6 ? 2
2 还可由 a5 , a7 , a9 也成等比数列,即 a7 ? a5a9 ,得 a9 ?
2 a7 62 ? ?9. a5 4

?a q 4 ? a ? 15??① ? (4)由 ? 1 3 1 ? ?a1q ? a1q ? 6??②

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①的两边分别除以②的两边,得 当q ?

q2 ? 1 5 1 ? ,由此解得 q ? 或 q ? 2 . q 2 2

1 时, a1 ? ?16 . 此时 a3 ? a1q2 ? ?4 . 2

当 q ? 2 时, a1 ? 1 . 此时 a3 ? a1q2 ? 4 .

2、设 n 年后,需退耕 an ,则 ?an ? 是一个等比数列,其中 a1 ? 8(1 ? 10﹪ ), q ? 0.1 . 那么 2005 年需退耕 a5 ? a1 (1 ? q)5 ? 8(1 ? 10﹪ )5 ? 13 (万公顷) 3、若 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,则首项 a1 和公比 q 都是正数. 由 an ? a1qn?1 ,得 an ? a1 q n?1 ? a1 q
1

n?1 2

? a1 (q 2 )( n?1) .

1

那么数列 ?an ? 是以 a1 为首项, q 2 为公比的等比数列. 4、这张报纸的厚度为 0.05 mm,对折一次后厚度为 0.05×2 mm,再对折后厚度为 0.05× 22 mm,再对折后厚度为 0.05× 23 mm. 设 a0 ? 0.05 ,对折 n 次后报纸的厚度为 an ,则 ?an ? 是一个 等比数列,公比 q ? 2 . 对折 50 次后,报纸的厚度为
5 0 1 3 a5 0 ? a ? 25 0 ? 5.6 ?3 1 0 0 q ?0 . 0 5 0 ? mm ? 5 . 613 10

m

这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约 3.84 ?108 m ) ,所以能够在地球和月 球之间建一座桥. 5、设年平均增长率为 q, a1 ? 105 ,n 年后空气质量为良的天数为 an ,则 ?an ? 是一个等比数列. 由 a3 ? 240 ,得 a3 ? a1 (1 ? q)2 ? 105(1 ? q)2 ? 240 ,解得 q ? 6、由已知条件知, A ?
240 ? 1 ? 0.51 105

a ?b a ? b ? 2 ab ( a ? b ) 2 a?b ? ab ? ? ≥0 , G ? ab ,且 A ? G ? 2 2 2 2 所以有 A ≥ G ,等号成立的条件是 a ? b . 而 a , b 是互异正数,所以一定有 A > G .

7、 (1) ?2 ;
习题 2.4

(2) ?ab(a 2 ? b2 ) .

8、 (1)27,81;

(2)80,40,20,10.

B 组(P54)

1、证明:由等比数列通项公式,得 am ? a1q m?1 , an ? a1qn?1 ,其中 a1, q ? 0 所以
am a1q m?1 ? ? q m?n an a1q n?1

2、 (1)设生物体死亡时,体内每克组织中的碳 14 的原子核数为 1 个单位,年衰变率为 q ,
n 年后的残留量为 an ,则 ?an ? 是一个等比数列. 由碳 14 的半衰期为 5730

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则 an ? a1q

5730

?q

5730

1 1 5730 1 q ? ( ) ? 0.999879 ? ,解得 2 2

(2)设动物约在距今 n 年前死亡,由 an ? 0.6 ,得 an ? a1q ? 0.999879n ? 0.6 . 解得 n ? 4221 ,所以动物约在距今 4221 年前死亡. an 3、在等差数列 1,2,3,?中, 有 a7 ? a10 ? 17 ? a8 ? a9 , a10 ? a40 ? 50 ? a20 ? a30 由此可以猜想,在等差数列 ?an ? 中 若 k ? s ? p ? q(k , s, p, q ? N * ) ,则 ak ? as ? a p ? aq . 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个 问题:由等差数列 ?an ? 的图象,可以看出
ak k a s ? , s ? ap p aq q

as ak O k p ap q aq s n

(第 3 题)

根据等式的性质,有

ak ? as k ? s ? ,所以 ak ? as ? a p ? aq . a p ? aq p ? q

猜想对于等比数列 ?an ? ,类似的性质为:若 k ? s ? p ? q(k , s, p, q ? N * ) ,则 ak ? as ? ap ? aq .

2.5

等比数列的前 n 项和

练习(P58)
a (1 ? q 6 ) 3(1 ? 26 ) ? ? 189 . 1、 (1) S6 ? 1 1? q 1? 2

a ?a q (2) Sn ? 1 n ? 1? q

?2.7 ?

1 1 (? ) 90 3 ? ? 91 . 1 45 1 ? (? ) 3

2、设这个等比数列的公比为 q 所以 S10 ? (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? (a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ? S5 ? q5 S5 ? (1 ? q5 ) S5 ? 50 同理 S15 ? S10 ? q10 S5 . 因为 S5 ? 10 ,所以由①得 q 5 ?
S10 ? 1 ? 4 ? q10 ? 16 S5

代入②,得 S15 ? S10 ? q10 S5 ? 50 ? 16 ?10 ? 210 . 3、该市近 10 年每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项 a1 ? 2000 ,公比 q ? 1.1 设近 10 年的国内生产总值是 S10 ,则 S10 ?
习题 2.5 A 组(P61)
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2000(1 ? 1.110 ) ? 31874.8 (亿元) 1 ? 1.1

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1、 (1)由 q 3 ?

a ? a q ?1 ? 64 ? (?4) a4 64 ? 51 . ? ? ?64 ,解得 q ? ?4 ,所以 S4 ? 1 4 ? 1? q 1 ? (?4) a1 ?1

(2)因为 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 (q?2 ? q?1 ? 1) ,所以 q ?2 ? q ?1 ? 1 ? 3 ,即 2q2 ? q ? 1 ? 0
1 解这个方程,得 q ? 1 或 q ? ? . 2

当 q ? 1 时, a1 ?

3 1 ;当 q ? ? 时, a1 ? 6 . 2 2

2、这 5 年的产值是一个以 a1 ? 138 ?1.1 ? 151.8 为首项, q ? 1.1 为公比的等比数列 所以 S5 ?
a1 (1 ? q 5 ) 151.8 ? (1 ? 1.15 ) ? ? 926.754 (万元) 1? q 1 ? 1.1

3、 (1)第 1 个正方形的面积为 4 cm 2 ,第 2 个正方形的面积为 2 cm 2 ,?, 1 这是一个以 a1 ? 4 为首项, q ? 为公比的等比数列 2 1 所以第 10 个正方形的面积为 a10 ? a1q9 ? 4 ? ( )9 ? 2?7 ( cm 2 ) 2 (2)这 10 个正方形的面积和为 S10 ?
a1 ? a10 q ? 1? q 4 ? 2?7 ? 1? 1 2 1 2 ? 8 ? 2?7 ( cm 2 )

4、 (1)当 a ? 1 时, (a ?1) ? (a2 ? 2) ? ? ? (an ? n) ? ?1 ? 2 ? ? ? (n ?1) ? ?

(n ? 1)n 2

当 a ? 1 时, (a ? 1) ? (a2 ? 2) ? ? ? (an ? n) ? (a ? a2 ? ? ? an ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)
? a (1 ? a n ) n( n ? 1) ? 1? a 2

(2) (2 ? 3 ? 5?1 ) ? (4 ? 3 ? 5?2 ) ? (n ? 3 ? 5?n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ? 3(5?1 ? 5?2 ? ? ? 5? n )
2?
?1 n( n ? 1 ) 5 ? ( 1? n 5 ) 3 ?n ? 3? ?n n (? 1 ?) ?( 1 5 ?1 2 1? 5 4

)

(3)设 Sn ? 1 ? 2 x ? 3x2 ? ? ? nxn?1 ??① 则 xSn ? x ? 2x2 ? ? ? (n ? 1) xn?1 ? nxn ??② ①-②得, (1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 ? ? ? xn?1 ? nxn ??③ 当 x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
1 ? xn nx n n(n ? 1) ? ;当 x ? 1 时,由③得, Sn ? (1 ? x)2 1 ? x 2

5、 (1)第 10 次着地时,经过的路程为 100 ? 2(50 ? 25 ? ? ? 100 ? 2?9 )
9 ? 100 ? 2 ? 100(2 ?1 ? 2 ? 2? ? ? 2 ? )

? 100 ? 200 ?

2?1 (1 ? 2?9 ) ? 299.61 (m) 1 ? 2?1

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(2)设第 n 次着地时,经过的路程为 293.75 m, 则 100 ? 2 ? 100(2?1 ? 2?2 ? ? ? 2? ( n?1) ) ? 100 ? 200 ? 所以 300 ? 200 ? 21?n ? 293.75 ,解得 21?n
2?1 (1 ? 2? ( n ?1) ) ? 293.75 1 ? 2?1 ? 0.03125 ,所以 1 ? n ? ?5 ,则 n ? 6

6、证明:因为 S3 , S9 , S6 成等差数列,所以公比 q ? 1 ,且 2S9 ? S3 ? S6 即, 2 ?
a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

于是, 2q9 ? q3 ? q6 ,即 2q6 ? 1 ? q3 上式两边同乘以 a1q ,得 2a1q7 ? a1q ? a1q 4 即, 2a8 ? a2 ? a5 ,故 a2 , a8 , a5 成等差数列
习题 2.5 B 组(P62)

b 1 ? ( )n?1 b b a n?1 ? b n?1 a 1、证明: a n ? a n?1b ? ? ? b n ? a n (1 ? ? ? ? ( )n ) ? a n ? b a a a ?b 1? a

2、证明:因为 S14 ? S7 ? a8 ? a9 ? ? ? a14 ? q7 (a1 ? a2 ? ? ? a7 ) ? q7 S7
1 4 4 S2 1? S 1 ? ?? (a ? a ? a )?q 1 S 4 a ? 1a 5 1 6 ? a ? q2 1 1 ? ?2 7 7

所以 S7 , S14?7 , S21?14 成等比数列 3、 (1) 环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列, 首项为 a1 ? 100 , 公比为 q ? 1.2 . 所以,2010 年能回收的废旧物资为 a9 ? 100 ?1.28 ? 430 (t) (2)从 2002 年到 2010 年底,能回收的废旧物资为 S9 ?
a1 (1 ? q9 ) 100(1 ? 1.29 ) ? ? 2080 (t) 1? q 1 ? 1.2

可节约的土地为 1650 ? 4 ? 8320 ( m 2 ) 4、 (1)依教育储蓄的方式,应按照整存争取定期储蓄存款利率计息,免征利息税,且若每 (a ? na)n 月固定存入 a 元,连续存 n 个月,计算利息的公式为 ? 月利率. 2 因为整存整取定期储蓄存款年利率为 2.52 ﹪ ,月利率为 0.21﹪ (50 ? 50 ? 36) ? 36 故到期 3 年时一次可支取本息共 ? 0.21﹪ ? 1800 ? 1869.93 (元) 2 若连续存 6 年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略. (2)略. (3)每月存 50 元,连续存 3 年 按照“零存整取”的方式,年利率为 1.89 ﹪ ,且需支付 20﹪ 的利息税 所以到期 3 年时一次可支取本息共 1841.96 元,比教育储蓄的方式少收益 27.97 元.
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36( x ? 36 x) ? 0.21﹪ ? 36 x ? 10000 2 解得 x ? 267.39 (元) ,即每月应存入 267.39 (元) (5) (6) (7) (8)略

(4)设每月应存入 x 元,由教育储蓄的计算公式得

5、设每年应存入 x 万元,则 2004 年初存入的钱到 2010 年底利和为 x(1 ? 2﹪ )7 ,2005 年初存
). 入的钱到 2010 年底利和为 x(1 ? 2﹪ )6 ,??,2010 年初存入的钱到 2010 年底利和为 x(1 ? 2﹪

根据题意, x(1 ? 2﹪ )7 ? x(1 ? 2﹪ )6 ? ? ? x(1 ? 2﹪ ) ? 40 根据等比数列前 n 项和公式,得 故,每年大约应存入 52498 元
x(1 ? 2﹪ )(1 ? 1.027 ) ? 40 ,解得 x ? 52498 (元) 1 ? 1.02

第二章

复习参考题 A 组(P67)
(2) B ; (3) B ;
2n ? 1 ; 2n

1、 (1) B ; 2、 (1) an ?

(4) A .
(?1) n?1 (2n ? 1) ; (2n) 2

(2) an ? 1 ?

7 (3) an ? (10n ? 1) ; 9 3、

(4) an ? 1 ? (?1)n 或 an ? 1 ? cos n? .

4、如果 a , b, c 成等差数列,则 b ? 5 ;如果 a , b, c 成等比数列,则 b ? 1 ,或 ?1. 5、 an 按顺序输出的值为:12,36,108,324,972. sum ? 86093436 . 6、 1381.9 ? (1 ? 0.13﹪ )8 ? 1396.3 (万) 7、从 12 月 20 日到次年的 1 月 1 日,共 13 天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布. n(n ?1) 13 ?12 d ? 10, a1 ? 100 . 由 Sn ? a1n ? d 得: S13 ? 100 ?13 ? ?10 ? 2080 ? 2000 . 2 2 所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为 a2 ? a8 ? a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? 2a5
5 所以 a3 ? a4 ? a5 ? ?a6 ? a7 ? 450 ? (a2 ? a8 ) ,则 a2 ? a8 ? 180 . 2 10 ? 10n 9、容易得到 an ? 10n, Sn ? ?10 ? 1200 ,得 n ? 15 . 2

10、 S2 ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ? (a1 ? nd ) ? (a2 ? nd ) ? ? ? (an ? nd )
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2 ? (a1 ? a 2? ? ? an ) ? n ? nd ? S ? 1 n d

S3 ? a2 an ? ? an ? ? a2 n? ? 1 ? 2 ?2 3( 1

n ? ) d ( ? a2 2 ?n ? ) d?

? ( a 2 n

n )d

2 ? (a1 ? a2 ? ? ?n a ) ?n 2 ? nd ? ? n d 1 S 2

容易验证 2S2 ? S1 ? S3 . 所以, S1 , S2 , S3 也是等差数列,公差为 n 2 d . 11、 a1 ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 ? x2 ? 2 x ? 1
a3 ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 ? x2 ? 6 x ? 7

因为 ?an ? 是等差数列,所以 a1, a2 , a3 也是等差数列. 所以, 2a2 ? a1 ? a3 . 即, 0 ? 2 x 2 ? 8 x ? 6 . 解得 x ? 1 或 x ? 3 . 当 x ? 1 时, a1 ? ?2, a2 ? 0, a3 ? 2 . 由此可求出 an ? 2n ? 4 . 当 x ? 3 时, a1 ? 2, a2 ? 0, a3 ? ?2 . 由此可求出 an ? 4 ? 2n .

第二章

复习参考题 B 组(P68)
(2) D .

1、 (1) B ;

2、 (1)不成等差数列. 可以从图象上解释. a , b, c 成等差,则通项公式为 y ? pn ? q 的形式,
1 1 1 1 1 1 1 且 a , b, c 位于同一直线上,而 , , 的通项公式却是 y ? 的形式, , , 不可能在同一直 pn ? q a b c a b c 线上,因此肯定不是等差数列.

(2)成等比数列. 因为 a , b, c 成等比,有 b 2 ? ac . 又由于 a , b, c 非零,两边同时取倒数,则有
1 1 1 所以, , , 也成等比数列. a b c
)6 ? 0.126 ,质量分数: 0.05 ? (1 ? 25﹪ )6 ? 0.191 . 3、体积分数: 0.033 ? (1 ? 25﹪

1 1 1 1 ? ? ? . 2 b ac a c

4、设工作时间为 n ,三种付费方式的前 n 项和分别为 An , Bn , Cn . 第一种付费方式为常数列; 第二种付费方式为首项是 4,公差也为 4 的等差数列;第三种付费方式为首项是 0.4,公比为 2 0.4(1 ? 2 n ) n(n ?1) ? 0.4(2 n ? 1) . 的等比数列. 则 An ? 38n , Bn ? 4n ? ? 4 ? 2n2 ? 2n , Cn ? 1 ? 2 2 下面考察 An , Bn , Cn 看出 n ? 10 时, 38n ? 0.4(2n ?1) . 因此,当工作时间小于 10 天时,选用第一种付费方式.

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n ≥ 10 时, An ≤ Cn , Bn ≤ Cn

因此,当工作时间大于 10 天时,选用第三种付费方式. 5、第一星期选择 A 种菜的人数为 n ,即 a1 ? n ,选择 B 种菜的人数为 500 ? a . 所以有以下关系式: a2 ? a1 ? 80﹪ ? b1 ? 30﹪
a3 ? a2 ? 80﹪ ? b2 ? 30﹪

??
an ? an?1 ? 80﹪ ? bb?1 ? 30﹪ an ? bn ? 500

1 1 所以 an ? 150 ? an?1 , bn ? 500 ? an ? 350 ? an?1 2 2

如果 a1 ? 300 ,则 a2 ? 300 , a3 ? 300 ,?, a10 ? 300 6、解:由 an ? 2an?1 ? 3an?2 得 an ? an?1 ? 3(an?1 ? an?2 ) 以及 an ? 3an?1 ? ?(an?1 ? 3an?2 ) 所以 an ? an?1 ? 3n?2 (a2 ? a1 ) ? 3n?2 ? 7 , an ? 3an?1 ? (?1)n?2 (a2 ? 3a1 ) ? (?1)n?2 ?13 . 由以上两式得, 4an ? 3n?1 ? 7 ? (?1)n?1 ?13
1 n?1 所以,数列的通项公式是 an ? ? 3 ? 7 ? (?1)n?1 ?13? ? 4? 7、设这家牛奶厂每年应扣除 x 万元消费基金
)?x 2002 年底剩余资金是 1000(1 ? 50﹪

2003 年底剩余资金是 [1000(1 ? 50﹪ ) ? x](1 ? 50﹪ ) ? x ? 1000(1 ? 50﹪ )2 ? (1 ? 50﹪ )x ? x ?? 5 年后达到资金 1000(1 ? 50﹪ )5 ? (1 ? 50﹪ )4 x ? (1 ? 50﹪ )3 x ? (1 ? 50﹪ )2 x ? (1 ? 50﹪ ) x ? 2000 解得 x ? 459 (万元)

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第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式

练习(P74) 1、 (1) a ? b ≥ 0 ; 2、这给两位数是 57.
习题 3.1 A 组(P75)

(2) h ≤ 4 ; 3、 (1) ? ;

(3) ? (2 ) ? ;

?( L ? 10)(W ? 10) ? 350 . ? L ? 4W

(3) ? ;

(4) ? ;

1、略.

2、 (1) 2 ? 3 7 ? 4 ;

(2) 7 ? 10 ? 3 ? 14 .

3、证明:因为 x ? 0,

x2 x2 ? 0 ,所以 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 0 4 4 x x 因为 (1 ? )2 ? ( 1 ? x )2 ? 0 ,所以 1 ? ? 1 ? x 2 2

?x ? 0 ?x ? 5 ? 0 ? ?4 x ? 48 ? 4、设 A 型号帐篷有 x 个,则 B 型号帐篷有 ( x ? 5) 个, ? ?0 ? 5 x ? 48 ? 5 ?3( x ? 5) ? 48 ? ? ?4( x ? 4) ≥ 48

5、设方案的期限为 n 年时,方案 B 的投入不少于方案 A 的投入. n(n ?1) 所以, 5n ? 即, n2 ≥ 100 . ?10 ≥ 500 2
习题 3.1 B 组(P75)

1、 (1)因为 2 x2 ? 5x ? 9 ? ( x2 ? 5x ? 6) ? x2 ? 3 ? 0 ,所以 2 x 2 ? 5 x ? 9 ? x 2 ? 5 x ? 6 (2)因为 ( x ? 3)2 ? ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x2 ? 6x ? 9) ? ( x2 ? 6x ? 8) ? 1 ? 0 所以 ( x ? 3)2 ? ( x ? 2)( x ? 4) (3)因为 x3 ? ( x2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,所以 x3 ? x 2 ? x ? 1 (4)因为 x2 ? y 2 ? 1 ? 2( x ? y ? 1) ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2x ? 2 y ? 2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ? 0 所以 x2 ? y 2 ? 1 ? 2( x ? y ? 1) 2、证明:因为 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,所以 ac ? bd ? 0 1 又因为 cd ? 0 ,所以 ? 0 cd
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于是

a b a b ? ? ? 0 ,所以 d c d c

3、设安排甲种货箱 x 节,乙种货箱 y 节,总运费为 z .
?35 x ? 25 y ≥ 1530 ? 所以 ?15 x ? 35 y ≥ 1150 ? x ? y ? 50 ?

所以 x ≥ 28 ,且 x ≤ 30

所以 ?

? x ? 28 ? x ? 29 ? x ? 30 ,或 ? ,或 ? ? y ? 22 ? y ? 21 ? y ? 20

所以共有三种方案,方案一安排甲种货箱 28 节,乙种货箱 22 节;方案二安排甲种货箱 29 节,乙种货箱 21 节;方案三安排甲种货箱 30 节,乙种货箱 20 节. 当?
? x ? 30 时,总运费 z ? 0.5 ? 30 ? 0.8 ? 20 ? 31 (万元) ,此时运费较少. ? y ? 20

3.2

一元二次不等式及其解法

练习(P80) 1、 (1) ? x ?1 ≤ x ≤
? ? ? ? 10 ? ?; 3? 3? 2?

(2)R; (3) ?x x ? 2? ;
? ? 5 4 4? 3?

(4) ? x x ? ? ;
? ? ? 5 3 ? ?

?

1? 2?

(5) ? x x ? ?1, 或x ? ? ; (6) ? x x ? , 或x ? ? ; (7) ? x ? ? x ? 0 ? .
? 3 3? ? ? 2、 (1)使 y ? 3x2 ? 6x ? 2 的值等于 0 的 x 的集合是 ?1 ? ,1 ? ?; 3 3 ? ? ? ?

? 3 3? ? ? 使 y ? 3x2 ? 6x ? 2 的值大于 0 的 x 的集合为 ? x x ? 1 ? , 或x ? 1 ? ?; 3 3 ? ? ? ? ? ? 3 3? ? 使 y ? 3x2 ? 6x ? 2 的值小于 0 的 x 的集合是 ? x 1 ? ? x ? 1? ?. 3 3 ? ? ? ?

(2)使 y ? 25 ? x2 的值等于 0 的 x 的集合 ??5,5? ; 使 y ? 25 ? x2 的值大于 0 的 x 的集合为 ?x ?5 ? x ? 5? ; 使 y ? 25 ? x2 的值小于 0 的 x 的集合是 ?x x ? ?5, 或x ? 5? . (3)因为抛物线 y ? x2 +6x ? 10 的开口方向向上,且与 x 轴无交点 所以使 y ? x2 +6x ? 10 的等于 0 的集合为 ? ;

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使 y ? x2 +6x ? 10 的小于 0 的集合为 ? ; 使 y ? x2 +6x ? 10 的大于 0 的集合为 R. (4)使 y ? ?3x2 ? 12 x ? 12 的值等于 0 的 x 的集合为 ?2? ; 使 y ? ?3x2 ? 12 x ? 12 的值大于 0 的 x 的集合为 ? ; 使 y ? ?3x2 ? 12 x ? 12 的值小于 0 的 x 的集合为 ?x x ? 2? .
习题 3.2 A 组(P80)

1、 (1) ? x x ? ? , 或x ? ? ;
?

?

3 2

5? 2?

? ? 13 13 ? ? (2) ? x ? ?x? ?; 2 2 ? ? ? ?

(3) ?x x ? ?2, 或x ? 5? ;

(4) ?x 0 ? x ? 9? .

2、 (1)解 x 2 ? 4 x ? 9 ≥ 0 ,因为 ? ? ?20 ? 0 ,方程 x 2 ? 4 x ? 9 = 0 无实数根 所以不等式的解集是 R,所以 y ? x2 ? 4x ? 9 的定义域是 R. (2)解 ?2 x2 ? 12 x ? 18 ≥ 0 ,即 ( x ? 3)2 ≤ 0 ,所以 x ? 3 所以 y ? ?2x2 ? 12x ?18 的定义域是 ?x x ? 3? 3、 m m ? ?3 ? 2 2, 或m ? ?3 ? 2 2 ;

?

?

4、R.

5、设能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留 t 秒. 1 依题意, v0t ? gt 2 ? 2 ,即 12t ? 4.9t 2 ? 2 . 这里 t ? 0 . 所以 t 最大为 2(精确到秒) 2 答:能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留 2 秒. 6、 设每盏台灯售价 x 元, 则?
? x ≥15 . 即 15 ≤ x ? 20 .所以售价 x ??x 15 ≤ x ? 20? ? x[30 ? 2( x ? 15)] ? 400

习题 3.2

B 组(P81)

1、 (1) ? x

? 5?5 2 ? ? 5?5 2 ? ? 1 ? ?x? ? ; (2) ?x 3 ? x ? 7? ; (3) ? ; (4) ? x ? x ? 1? . 2 2 ? ? 3 ? ? ? ?

2、由 ? ? (1 ? m)2 ? 4m2 ? 0 ,整理,得 3m2 ? 2m ? 1 ? 0 ,因为方程 3m2 ? 2m ? 1 ? 0 有两个实数
1 1 ? 1? 根 ?1和 ,所以 m1 ? ?1 ,或 m2 ? , m 的取值范围是 ?m m ? ?1, 或m ? ? . 3? 3 3 ?

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? 42 42 ? 1 3 ? ? 3、使函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? 的值大于 0 的解集为 ? x x ? 3 ? , 或x ? 3 ? ?. 2 2 2 4 ? ? ? ?

4、设风暴中心坐标为 (a, b) ,则 a ? 300 2 ,所以 (300 2)2 ? b2 ? 450 ,即 ?150 ? b ? 150 而
300 2 ? 150 15 300 ? (2 2 ? 1) ? 13.7 (h) , ? 15 . 20 2 20

所以,经过约 13.7 小时码头将受到风暴的影响,影响时间为 15 小时.

3.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

练习(P86) 1、 B . 2、 D . 3、 B . 4、分析:把已知条件用下表表示: 工序所需时间/分钟 打磨 着色 上漆 10 6 6 桌子 A 5 12 9 桌子 B 450 480 450 工作最长时间 解:设家具厂每天生产 A 类桌子 x 张, B 类桌子 y 张.

收益/元 40 30

对于 A 类桌子, x 张桌子需要打磨 10 x min,着色 6 x min,上漆 6 x min 对于 B 类桌子, y 张桌子需要打磨 5 y min,着色 12 y min,上漆 9 y min 而打磨工人每天最长工作时间是 450 min,所以有 10 x ? 5 y ≤ 450 . 类似地, 6 x ? 12 y ≤ 480 , 6 x ? 9 y ≤ 450 在实际问题中, x ≥ 0, y ≥ 0 ;
?10 x ? 5 y ≤ 450 ?6 x ? 12 y ≤ 480 ? ? 所以,题目中包含的限制条件为 ?6 x ? 9 y ≤ 450 ?x ≥ 0 ? ? ?y≥0

练习(P91) 1、 (1)目标函数为 z ? 2 x ? y ,可行域如图所示,作出直线 y ? ?2 x ? z ,可知 z 要取最大值, 即直线经过点 C 时,解方程组 ?
?x ? y ? 1 得 C (2, ?1) ,所以, zmax ? 2 x ? y ? 2 ? 2 ? (?1) ? 3 . ? y ? ?1

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高中数学必修 5 课后习题答案[人教版]y

y
x+y=1 y=x A O B
-1 1

5

y=x+1 B

x
C
A

1

x-5y=3 O
3

x 5x+3y=15

(1) (第 1 题)

(2)

(2)目标函数为 z ? 3x ? 5 y ,可行域如图所示,作出直线 z ? 3x ? 5 y 可知,直线经过点 B 时, Z 取得最大值. 直线经过点 A 时, Z 取得最小值. 解方程组 ?
? y ? x ?1 ? y ? x ?1 ,和 ? ?5 x ? 3 y ? 15 ?x ? 5y ? 3

可得点 A(?2, ?1) 和点 B(1.5, 2.5) . 所以 zmax ? 3 ?1.5 ? 5 ? 2.5 ? 17 , zmin ? 3 ? (?2) ? 5 ? (?1) ? ?11

2、 设每月生产甲产品 x 件, 生产乙产品 y 件, 每月收入为 z 元, 目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y ,
? x ? 2 y ≤ 400 ?2 x ? y ≤ 500 ? 需要满足的条件是 ? ,作直线 z ? 3000 x ? 2000 y , ?x ≥ 0 ? ?y≥0
y
500

当直线经过点 A 时, z 取得最大值. 解方程组 ?
? x ? 2 y ? 400 ?2 x ? y ? 500

200

A O
250 400

x

可得点 A(200,100) , z 的最大值为 800000 元.
习题 3.3 A 组(P93)

(第 2 题)

1、画图求解二元一次不等式: (1) x ? y ≤ 2 ;
y
2
1

(2) 2 x ? y ? 2 ;
y y=2x-2

( 3) y ≤ ? 2 ;
y O

(4) x ≥ 3
y
x

1

O
-1

x

O

2

x
-2

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O
y≤-2

1

2

3

x

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2、
y=4-x
4

y=x+2 x y= +1 3
1 4 5

2

-1

O
-1

(第 2 题)

3、分析:将所给信息下表表示: 每次播放时间/分 80 连续剧甲 40 连续剧乙 320 播放最长时间 最少广告时间

广告时间/分 1 1 6

收视观众/万 60 20

解:设每周播放连续剧甲 x 次,播放连续剧乙 y 次,收视率为 z . 目标函数为 z ? 60 x ? 20 y ,
?80 x ? 40 y ≤ 320 ?x ? y ≥ 6 ? 所以,题目中包含的限制条件为 ? ?x ≥ 0 ? ?y≥0
8

y

6

可行域如图. 解方程组 ?

?80 x ? 40 y = 320 ?x ? y = 6

O
得点 M 的坐标为 (2, 4) ,所以 zmax ? 60 x ? 20 y ? 200 (万)

1

5

x

(第 3 题)

答:电视台每周应播放连续剧甲 2 次,播放连续剧乙 4 次,才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器 x 台,彩电 y 台,则生产冰箱 120 ? x ? y 台,产值为 z . 则,目标函数为 z ? 4 x ? 3 y ? 2(120 ? x ? y) ? 2 x ? y ? 240 所以,题目中包含的限制条件为
1 1 ?1 ?3x ? y ≤ 120 ? 2 x ? 3 y ? 4 (120 ? x ? y ) ≤ 40 ? x ? y ≤ 100 ? ?120 ? x ? y ≥ 20 ? 即, ? ? ?x ≥ 0 ?x ≥ 0 ? ? ?y≥0 ? ?y≥0
120 100

y

M y=100-x

可行域如图,解方程组 ?

?3x ? y = 120 ? x ? y = 100

y=120-3 x O
40 100

x

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得点 M 的坐标为 (10,90) ,所以 zmax ? 2 x ? y ? 240 ? 350 (千元) 答:每周应生产空调器 10 台,彩电 90 台,冰箱 20 台,才能使产值最高,最高产值是 350 千元.
习题 3.3 B 组(P93)

?2 x ? 3 y ≤ 12 ?2 x ? 3 y ? ?6 ? 1、画出二元一次不等式组 ? , ?x ≥ 0 ? ?y≥0

y 2 y=4- x 3
2 4

所表示的区域如右图
-3

O
-2

1

5

6

x

2 y=-2- x 3

(第 1 题)

2、画出 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 3) ? 0 表示的区域.
y y=x+3

1 x y= 2 2

3

-3

O
-2

1

x

(第 2 题)

3、设甲粮库要向 A 镇运送大米 x 吨、向 B 镇运送大米 y 吨,总运费为 z . 则乙粮库要向 A 镇 运送大米 (70 ? x) 吨、向 B 镇运送大米 (110 ? y ) 吨,目标函数(总运费)为
z ? 1 2 ? 2 0?x ? 2 5? 1 0 ? y ? 15 ? 1? 2 x (7 ?0 ? ) ? 2 0? 8y (? 1 1x 0? ) y ? 6 0. ? 9 0 30200

? x ? y ≤ 100 ?(70 ? x) ? (110 ? y ) ≤ 80 ? 所以,题目中包含的限制条件为 ? . ?0 ≤ x ≤ 70 ? ?y≥0

所以当 x ? 70, y ? 30 时,总运费最省 zmin ? 37100 (元)
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所以当 x ? 0, y ? 100 时,总运费最不合理 zmax ? 39200 (元) 使国家造成不该有的损失 2100 元. 答:甲粮库要向 A 镇运送大米 70 吨,向 B 镇运送大米 30 吨,乙粮库要向 A 镇运送大米 0 吨,向 B 镇运送大米 80 吨,此时总运费最省,为 37100 元. 最不合理的调运方案是要向 A 镇 运送大米 0 吨,向 B 镇运送大米 100 吨,乙粮库要向 A 镇运送大米 70 吨,向 B 镇运送大米 10 吨,此时总运费为 39200 元,使国家造成损失 2100 元.

3.4

基本不等式 ab ≤

a?b 2

练习(P100)
1 1 1、因为 x ? 0 ,所以 x ? ≥ 2 x ? ? 2 x x

1 1 时,即 x ? 1 时取等号,所以当 x ? 1 时,即 x ? 的值最小,最小值是 2. x x 2、设两条直角边的长分别为 a , b , a ? 0, 且 b ? 0 ,因为直角三角形的面积等于 50. 1 即 ab ? 50 ,所以 a ? b ≥ 2 ab ? 2 100 ? 20 ,当且仅当 a ? b ? 10 时取等号. 2 答:当两条直角边的长均为 10 时,两条直角边的和最小,最小值是 20. 3、设矩形的长与宽分别为 a cm, b cm. a ? 0 , b ? 0 因为周长等于 20,所以 a ? b ? 10 a ? b 2 10 2 所以 S ? ab ≤ ( ) ? ( ) ? 25 ,当且仅当 a ? b ? 5 时取等号. 2 2 答:当矩形的长与宽均为 5 时,面积最大. 4、设底面的长与宽分别为 a m, b m. a ? 0 , b ? 0 因为体积等于 32 m 3 ,高 2 m ,所以底面积为 16 m 2 ,即 ab ? 16

当且仅当 x ?

所以用纸面积是 S ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 32 ? 4(a ? b) ≥ 32 ? 42 ab ? 32 ? 32 ? 64 当且仅当 a ? b ? 4 时取等号 答:当底面的长与宽均为 4 米时,用纸最少.
习题 3.4 A 组(P100)

1、 (1)设两个正数为 a , b ,则 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 36 所以 a ? b ≥ 2 ab ? 2 36 ? 12 ,当且仅当 a ? b ? 6 时取等号. 答:当这两个正数均为 6 时,它们的和最小. (2)设两个正数为 a , b ,依题意 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 18 a ? b 2 18 2 所以 ab ≤ ( ) ? ( ) ? 81,当且仅当 a ? b ? 9 时取等号. 2 2 答:当这两个正数均为 9 时,它们的积最大. 2、设矩形的长为 x m,宽为 y m,菜园的面积为 S m 2 . 则 x ? 2 y ? 30 , S ? x ? y

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高中数学必修 5 课后习题答案[人教版]

1 1 x ? 2 y 2 1 900 225 由基本不等式与不等式的性质,可得 S ? ? x ? 2 y ≤ ( . ) ? ? ? 2 2 2 2 4 2 15 225 2 m . 当 x ? 2 y ,即 x ? 15, y ? 时,菜园的面积最大,最大面积是 2 2

3、设矩形的长和宽分别为 x 和 y ,圆柱的侧面积为 z ,因为 2( x ? y) ? 36 ,即 x ? y ? 18 . 所以 z ? 2? ? x ? y ≤ 2? ? (
x? y 2 ) ? 162? , 2

当 x ? y 时,即长和宽均为 9 时,圆柱的侧面积最大. 4、设房屋底面长为 x m,宽为 y m,总造价为 z 元,则 xy ? 12 , y ?
z ? 3 y ?1200 ? 6x ? 800 ? 5800 ? 12 x

12 ? 3600 ? 4800 x ? 5800 ≥ 2 3600 ?12 ? 4800 ? 5800 ? 34600 x

当且仅当
习题 3.4

12 ? 3600 ? 4800 x 时,即 x ? 3 时, z 有最小值,最低总造价为 34600 元. x

B 组(P101)

1、设矩形的长 AB 为 x ,由矩形 ABCD( AB ? AD) 的周长为 24,可知,宽 AB ? 12 ? x . 设 PC ? a ,则 DP ? x ? a
x 2 ? 12 x ? 72 12x ? 72 , DP ? x ? a ? . x x 1 12 x ? 72 ? x 2 ? 18 x ? 72 72 ? 6? ? 6 ? [?( x ? ) ? 18] 所以 ?ADP 的面积 S ? (12 ? x) 2 x x x

所以 (12 ? x)2 ? ( x ? a)2 ? a2 ,可得 a ?

由基本不等式与不等式的性质 S ≤ 6 ?[?2 72 ? 18] ? 6 ? (18 ?12 2) ? 108 ? 72 2
72 ,即 x ? 6 2 m 时, ?ADP 的面积最大,最大面积是 (108 ? 72 2) m 2 . x 2、过点 C 作 CD ? AB ,交 AB 延长线于点 D .

当x?

设 ?BCD ? ? , ?ACB ? ? , CD ? x . 在 ?BCD 中, tan ? ?
b?c . x

在 ?ACD 中, tan(? ? ? ) ?

a?c x

则 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ?

tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ?

a? c b ? c ? a ?b x x ? ? a?c b?c (a ? c ) b (?c ) 1? ? x? x x x

a? b a ? b ? (a ? c) (b ? c) 2 ? ( a c? )( b c) 2 x? x (a ? c)(b ? c) 当且仅当 x ? ,即 x ? (a ? c)(b ? c) 时, tan ? 取得最大,从而视角也最大. x ≤

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第三章
1、

复习参考题 A 组(P103)
5 1 1 2 ? ? ? . 12 5 3 7

2、化简得 A ? ?x ?2 ? x ? 3? , B ? ?x x ? ?4, 或x ? 2? ,所以 A ? B ? ?x 2 ? x ? 3?
3 3、当 k ? 0 时,一元二次不等式 2kx2 ? kx ? ? 0 对一切实数 x 都成立, 8 3 即二次函数 y ? 2kx2 ? kx ? 在 x 轴下方, 8 3 ? ? k 2 ? 4(2k )(? ) ? 0 ,解之得: ?3 ? k ? 0 . 8 3 当 k ? 0 时,二次函数 y ? 2kx2 ? kx ? 开口朝上 8 3 一元二次不等式 2kx2 ? kx ? ? 0 不可能对一切实数 x 都成立, 8 所以, ?3 ? k ? 0 .
?4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? 4、不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域的整点坐标是 (?1, ?1) . ?y ? 0 ?

5、设每天派出 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,成本为 z .
?0 ≤ x ≤ 7 ?0 ≤ y ≤ 4 ? 所以 ? ,目标函数为 z ? 160 x ? 252 y x ? y ≤ 9 ? ? ?48 x ? 60 y ≥ 360

把 z ? 160 x ? 252 y 变形为 y ? ?

40 1 40 1 x? z ,得到斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 z ,随 63 252 252 63

z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中,点 M (5, 2) 使得 z 取得最小值. 所以每天派出 A 型

车 5 辆, B 型车 2 辆,成本最小,最低成本为 1304 元.
1 6、设扇形的半径是 x ,扇形的弧长为 y ,因为 S ? xy 2

扇形的周长为 Z ? 2x ? y ≥ 2 2xy ? 4 S 当 2 x ? y ,即 x ? S , y ? 2 S 时, Z 可以取得最小值,最小值为 4 S . 7、设扇形的半径是 x ,扇形的弧长为 y ,因为 P ? 2 x ? y 扇形的面积为 Z ? xy ? (2 x) y ≤ ( 当 2 x ? y ,即 x ?
1 2 1 4 1 2x ? y 2 P2 ) ? 4 2 16

P2 P P P , y ? 时, Z 可以取得最大值,半径为 时扇形面积最大值为 . 16 4 2 4

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s sa 8、设汽车的运输成本为 y , y ? (bv2 ? a) ? ? sbv ? v v

当 sbv ?

a a sa ≤ c 时, y 有最小值. 时,即 v ? 且 b b v sa sa ≥ 2 sbv ? ? 2s ab ,最小值为 2s ab . v v

y ? sbv ?



a sa sa > c 时,由函数 y ? sbv ? 的单调性可知, v ? c 时 y 有最小值,最小值为 sbc ? . b v c

第三章
1、 D

复习参考题 B 组(P103)
2、 (1) ? x x ? ?2或 ? 2 ? x ? 或x ? 6? (2) ? x x ≤ ?1或 ≤ x ? 或x ? 3?
? ? ? ?
y
10

?

3 4

?

?

2 3

3 4

?

3、 m ? 1 4、设生产裤子 x 条,裙子 y 条,收益为 z .
? x ? y ≤ 10 ? 2 x ? y ≤ 10 ? ? 则目标函数为 z ? 20 x ? 40 y ,所以约束条件为 ? x ? y ≤ 6 ?x ≥ 0 ? ? ?y≥0

6

x+y=10

x+y=6 O
5 6 10

2x+y=10

x

5、因为 x 2 ? y 2 是区域内的点到原点的距离的平方 所以,当 ?
?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3x ? y ? 3 ? 0
L1 B 2

(第 4 题)
y A

L3 L2

即 xA ? 2, y A ? 3 时, x 2 ? y 2 的最大值为 13.
4 ? x? ? 4 ? 5 当? 时, x 2 ? y 2 最小,最小值是 . 5 ?y ? 2 ? 5 ?

C1

x

(第 5 题)

6、按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为 p1 ,购 n kg,第二次购物时的价格为 p2 , 仍购 n kg,按这种策略购物时两次购物的平均价格为 若按第二种策略购物,第一次花 m 元钱,能购 物品,两次购物的平均价格为
2m 2 ? m m 1 1 ? ? p1 p2 p1 p2
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p1n ? p2n p1 ? p2 . ? 2n 2

m m kg 物品,第二次仍花 m 元钱,能购 kg p1 p2

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比较两次购物的平均价格: p1 ? p2 2 p ? p2 2 p1 p2 ( p1 ? p2 )2 ? 4 p1 p2 ( p1 ? p2 )2 ? ? 1 ? ? ? ≥0 1 1 2 2 p ? p 2( p ? p ) 2( p ? p ) 1 2 1 2 1 2 ? p1 p2 所以,第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而,用第二种策略比较经济. 一般地,如果是 n 次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.

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