9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

导数题型专练1



导数题型专练 1

考试要求
1、导数定义 2、导数证明不等式 3、判别单调区间

典题精讲
板块一:导数定义 【例 1】

?x 2 y ? f ( x) ? ? ?ax ? b
思路: y ? f ( x) ? ?

x ?1 x ?1

在 x

? 1 处可导,则 a ?

b?

?x 2 ?ax ? b

x ?1 x ?1

在 x ? 1 处可导,必连续 lim f ( x) ? 1 ?
x ?1

x ?1?

lim f ( x ) ? a ? b

f (1) ? 1
?x ? 0 ?

∴ a ?b ?1

lim

?y ?2 ?x

?x ? 0 ?

lim

?y ?a ?x

∴ a?2

b ? ?1

【变式 1】 1、已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限:

(1) lim

?h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim ?h ?0 2h h

分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必须选择相对应的 形式。利用函数 f(x)在 x ? a 处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形 式。 解: (1) lim
h ?0

f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a) ? f (a) ? f (a ? h) ? lim h ?0 2h 2h

f (a ? 3h) ? f (a) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ? 0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? lim ? lim h ? 0 h ? 0 2 3h 2 ?h 3 1 ? f ' (a) ? f ' (a) ? 2b 2 2 ? lim
h ?0

(2) lim
h ?0

? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim? h? h ?0 h h2 ? ?

? lim
h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim h ? f ' (a) ? 0 ? 0 h ?0 h2
n n ?1

2、观察 ( x )? ? nx

, (sin x)? ? cos x , (cos x)? ? ? sin x ,是否可判断,可导的奇函数的导函数是偶

函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。 解:若 f ( x) 为偶函数

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x) ?x ?0 ?x f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?(? x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? ?x ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? ? ? f ?( x) ?x ?0 ??
f ( ? x) ? f ( x)
令 lim ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

板块二:利用导数证明不等式 【例 2】 求证下列不等式

x2 x2 x ? (0 , ? ?) (相减) (1) x ? ? ln(1 ? x) ? x ? 2 2(1 ? x)
(2) sin x ?

2x

?

x ? (0 ,

?
2

) (相除)

证: (1) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ? ∴ y ? f ( x ) 为 (0 , ? ? ) 上 ?

x2 ) f (0) ? 0 2
∴ x ? (0 , ? ? )

f ?( x) ?

1 x2 ?1 ?1? x ? ?0 1? x x ?1

f ( x) ? 0 恒成立 g (0) ? 0

x2 ∴ ln(1 ? x) ? x ? 2

x2 g ( x) ? x ? ? ln(1 ? x) 2(1 ? x)

g ?( x) ? 1 ?

4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 4(1 ? x 2 ) 4(1 ? x) 2
∴ x ? (0 , ? ? ) x ?

∴ g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上 ? (2)原式 ?

x2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立 2(1 ? x)

sin x 2 ? ? 令 f ( x) ? sin x / x x ? (0 , ) cos x ? 0 x ? tan x ? 0 x ? 2 ? cos x( x ? tan x) ? f ?( x) ? 0 (0 , ) ? ∴ f ?( x) ? ∴ x ? (0 , ) 2 2 x 2 ? 2 2x f( )? ∴ sin x ? 2 ? ?

【变式 2】

1 ? x) ,证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x); 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln(
' 解: (1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F ( x) = 1 ?

1 x ? , 1? x 1? x

' 当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 ,所以函数 F ( x ) 在(0, ? ?) 单调递增,又 F ( x )

在 x ? 0 处连续,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 , 所以 f ( x) ? g ( x) 。 板块三:单调区间讨论 【例 3】
4 2 已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 ,请解答下列问题:

(1)求 y ? f ( x) 的解析式;

(2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间。 解: (1) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (1, ?1) 得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?
'

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10

【变式 3】 1、已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 ,
3 2

(1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间;
2 解(1) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,

所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6

(2)由(1)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

x
f ?( x ) f ( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?0
调调递减

1?
0

2 m

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
?0
单调递增

1

?1, ???
?0
单调递减

0 极大值

极小值

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? 在 (1 ?

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m

2、设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的单调区间.

分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解: f ?( x) ?

1 2 x

?

1 ( x ? 0) . x?a

当 a ? 0, x ? 0 时

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
2 2 (i)当 a ? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x ? (2a ? 4) ? a ? 0 .

即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0,??) 内单调递增.

(ii)当 a ? 1 时,对 x ? 1 ,有 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 , 即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f ( x) 在 x=1 处连续,因此, 函数 f ( x) 在(0,+ ? )内单调递增 (iii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 . 解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此,函数 f ( x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??) 内也单调递增. 令 f ?( x) ? 0,即x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此,函数 f ( x) 在区间 (2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减.



更多相关文章:
导数与函数解答题专题练习作业1含答案
导数与函数解答题专题练习作业1含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数与函数解答题专题练习作业1含答案导数与函数专练· 作业(三十三) 1.(2014· 郑州质...
解答题规范专练(一) 函数与导数
解答题规范专练() 函数与导数 1.(2013· 兰州调研)已知实数 a>0,函数 f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值 32. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求...
2.1- 专题2 函数与导数综合题型分类 练习1
2.1- 专题2 函数与导数综合题型分类 练习1_数学_高中教育_教育专区。大德教育 高考课外辅导 孙老师 187 8906 2361 专题 2 函数与导数综合题型分类 练习 1 ...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.12导数的应用(一)
2014届高三数学轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.12导数的应用(一)_调查/报告_表格/模板_应用文书。课时跟踪检测(十五) 导数的应用...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.11变化率与导数、导数的计算
​轮​复​习​专​讲​专​练​(​基​础​知​...幻灯片 1 [知识能否忆起] 导数的基本概念 1.平均变化率: f?x2?-f?...
高一数学导数及其运用练习题1
高一数学导数及其运用练习1_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新! 本资料来源...
选修1-1导数试题及答案1
选修1-1导数试题及答案1_数学_高中教育_教育专区。、填空题 1、若曲线 y=ax -ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=___. 2 2、函数 y= ...
高中数学选修1-1《导数及其应用》测试题
高中数学选修 1-1导数及其应用》测试题姓名 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 3 分, 共 36 分) 1.设函数 f(x)在 x 0 处可导,则 lim A....
选修1-1第三章导数复习练习题
选修1-1第三章导数复习练习题_数学_高中教育_教育专区。导数复习一、选择题(每题 5 分) 1. 已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=...
导数经典练习题及答案
导数的经典练习题 11页 1下载券 导数经典习题 2页 1下载券 导数经典习题 6页...导数的应用典型习题解答... 16页 免费 导数典型例题讲解 14页 免费 2011二项...
更多相关标签:
导数专项练习    七年级找规律题型专练    高二新题型专练答案    高中数学导数题型    导数大题题型归纳    导数题型总结    导数压轴题型归类总结    导数的五大类题型    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图