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上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆 含答案(精品)



复旦大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方 程是( A. ) 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 1

2 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

? x ? 2?
2

2

? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. D.

? x ? 2? ? x ? 3?

2

? ? y ? 1? ? 1
2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 【答案】A 2.已知直线

2

? ? y ? 1? ? 1
2

交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量 ,则实数 a 的值( ) C. 或- D.2 或-2



满足

A.2 【答案】D

B.-2

3.如果点(5,b)在两条平行线 6x-8y+1=0,3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值为( A.-4 【答案】B B.4. C.-5 D.5.

)

4.已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2 x ? y ? 0 和 x ? ay ? 0 上,且 AB 线段的中点 为 P (0, A.11 【答案】B 5.若直线

10 ) ,则线段 AB 的长为( a
B.10

) C .9 D.8

?3 ? a? x ? ? 2a ?1? y ? 7 ? 0 与直线 ? 2a ?1? x ? ? a ? 5? y ? 6 ? 0 互相垂直,则 a
) B.

的值为( A.

2 7

3 7

C.

1 7

D.1

【答案】C 6.若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1)
2

? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程(
C. x ? y ? 1 ? 0

)

A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 【答案】B 7.M ( x0 , y0 ) 为圆 x 置关系为( )
2

D. 2 x ? y ? 5 ? 0

? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的位

A.相切 【答案】C 8.圆心为 A. C.

B.相交

C.相离

D.相切或相交

?1, 1? 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是(
B. D.

)

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 2 ?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 2

?x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 4 ?x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 4

【答案】A

9.如果点 P 到点 数有( A.0 个 【答案】B 10.从双曲线 ) B.1 个

及直线

的距离都相等,那么满足条件的点 P 的个

C .2 个

D.无数个

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x2 ? y2 ? a2 的切线,切点为 T ,延 a 2 b2

长 FT 交双曲线右支于点 P,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 的大小关系为( A. C. ) B.

MO ? MT 与 b ? a

MO ? MT ? b ? a MO ? MT ? b ? a
2 2 2 2

MO ? MT ? b ? a

D.不确定 ) D.10

【答案】B 11.已知两圆 x +y -10x-10y=0 ,x +y +6x+2y-40=0 的公共弦长是( A. 4 【答案】D B.6 C. 8

?x ? y ? 4 ? 2 2 12.已知点 P ( x, y )满足? y ? x ,过点 P 的直线与圆 x ? y ? 14 相交于 A, B 两点,则 ?x ? 1 ?

AB 的最小值为(
A.2 【答案】D

) B.

2 6

C. 2

5

D.4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分) ,此时 P 点坐标

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设 A(0,3),B(4,5),点 P 在 x 轴上,则|PA|+|PB|的最小值是 是 【答案】 4 .

5

, ( , 0)

3 2

14.设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B,且 l 与圆

x2 ? y2 ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值为
【答案】3 15.与两平行直线:l1::3x–y+9=0, l2:3x–y–3=0 等距离的直线方程为 【答案】3x–y+3=0 16.若实数 x,y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3, 则 【答案】 3 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知圆 C : x
2



.

y 的最大值是 x



? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 。

(Ⅰ)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)设 l 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程;

AP 1 ? (Ⅲ)若定点 P(1,1)分弦 AB 为 PB 2 ,求此时直线 l 的方程。
【答案】 (Ⅰ)解法一:圆 C : x
2

? ( y ?1)2 ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。

∴圆心 C 到直线

l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离

d?

?m m2 ? 1

?

m 2m

?

1 ? 5 2

∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 方法二:∵直线

l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P(1,1) ,而点 P(1,1) 在圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内

∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点;

(Ⅱ)当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP ,



CM ? MP ? CP

2

2

2

设 M ( x, y )( x ? 1) ,则 x 化简得: x
2

2

? ( y ?1)2 ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,

? y2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0( x ? 1) x ? 1, y ? 1 也满足上式。
2

当 M 与 P 重合时,

故弦 AB 中点的轨迹方程是 x

? y2 ? x ? 2 y ?1 ? 0 。

AP 1 1 ? AP ? PB A ( x , y ), B ( x , y ) 2得 2 1 1 2 2 ,由 PB (Ⅲ)设 , 1 ? x1 ? 1 ( x2 ? 1) x ? 3 ? 2x1 2 ,化简的 2





?mx ? y ? 1 ? m ? 0 ? 2 x ? ( y ? 1)2 ? 5 消去 y 得 (1 ? m2 ) x2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0 又由 ?
x1 ? x2 ? 2m 2 1 ? m2 x1 ?

(*)





由①②解得

3 ? m2 1 ? m2 ,带入(*)式解得 m ? ?1 ,
x ? y ? 0或 x ? y ? 2 ? 0。

∴直线 l 的方程为

18.已知直线 A , x ? B y ? C ? 0 (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴;

, y (5)设 Px 上一点, x ? B y ? C ? 0 0 0 为直线 A
证明:这条直线的方程可以写成 A . xx ? ? B yy ? 0 0 0? 【答案】 (1)把原点 (0, 0) 代入 A ,得 C ? 0 ; (2)此时斜率存在且不为零 x ? B y ? C ? 0 即 A ? 0且B ? 0; (3)此时斜率不存在,且不与 (4) A ? C ? 0, 且 B ? 0 (5)证明: 上 x ? B y ? C ? 0 P ? x0,y0 ? 在直线 A

?

?

?

? ?

?

y 轴重合,即 B ? 0 且 C ? 0 ;

? Ax0 ? By0 ? C ? 0, C ? ? Ax0 ? By0

? A? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 。
19.已知两条直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0, l2 (1)相交; (3)重合; 【答案】 (1)由 A 1 B2

? (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0, 求 m 为何值时两条直线:

(2)平行; (4)垂直.

? A2 B1 ? 0 ,得

3 ? m(m ? 2) ? 0 ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 ? (m ? 3)(m ? 1) ? 0 ? m ? ?1 且 m ? 3
(2)由 ?

? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ?(m ? 3)(m ? 1) ? 0 ,得 ? ? m ? ?1 ?2m ? 6(m ? 2) ? 0 ? AC 1 2 ? A2C1 ? 0 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ?(m ? 3)(m ? 1) ? 0 ,得 ? ?m?3 ?2m ? 6(m ? 2) ? 0 ? AC 1 2 ? A2C1 ? 0
? B1B2 ? 0 ,得 (m ? 2) ? 3m ? 0 ? m ?
1 . 2

(3)由 ?

(4)由 A 1A 2

20.已知点 P

? a, b? 到直线: l1 : y ? (2 ?

3) x,

l2 : y ? (2 ? 3) x 的距离之和为 4,求 a 2 ? b 2 的最小值
【答案】设 l1 与 l2 的夹角为 ? ,P 到 l1 的射影为 A,P 到 l2 的射影为 B, ?POA ? x ,则

tan ? ?

2? 3 ? 2? 3 1? 2 ?

?

? ? ? 3 ?? 2 ? 3 ?

3 ,?? ?

?
3

(1)当 P 位于平面区域 I:

? y ? ? 2 ? 3 ? x? ? ? y ? ? 2 ? 3 ? x ? ? 0 时,
4 ? Sinx ? Sin ?? / 3 ? x ? 4

OP ? Sinx ? OP ? Sin ?? / 3 ? x ? ? 4 , OP ?

?? ? Cos ? x ? ? 6? ?

?4,

? a 2 ? b2 ? 16 。
(2)当 P 位于平面区域 II:

? y ? ? 2 ? 3 ? x? ? ? y ? ? 2 ? 3 ? x ? ? 0 时,
? 4 4 , ? ?? ? 3 3Cos ? x ? ? 3? ?

OP ? Sinx ? OP ? Sin ? 2? / 3 ? x ? ? 4 ,
OP ? Sinx ? Sin ? 2? / 3 ? x ?
16 。 3 16 。 3
2

4

? a 2 ? b2 ?

? a 2 ? b 2 的最小值是

21.已知点 A (0,3) ,点P是圆 x

? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 上的动点,Q为线段AP的中点,当点P在

圆上运动时,求动点Q的轨迹方程. 【答案】设 P( x0 , y0 ), Q( x, y)

0 ? x0 ? x? ? ? 2 则? 3 ? y0 ?y ? ? 2 ?
∵在 P( x0 , y0 ) 圆 x
2

即?

? x0 ? 2 x …(*) ? y0 ? 2 y ? 3
2 2

? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 上,∴ x0 ? y0 ? 2x0 ? 3 ? 0 …(**)
2

将(*)代入(**)得 4 x 化简得

? (2 y ? 3) 2 ? 4x ? 3 ? 0
3 ?0 2 3 ?0 2

x2 ? y 2 ? x ? 3y ?
2 2

动点 Q 轨迹方程为: x ? y ? x ? 3 y ?

22.已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M

? 2,0? , AB 边所在直线的方程为:

x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T ? ?1,1? 在 AD 边所在直线上.
(1)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆中,过点 G 【答案】 (1)设

?1,1? 的最短弦 EF 所在的直线方程.
1 且 AB ? AD ,? K AD ? ?3 又 T ? ?1,1? 在 3

A 点坐标为 ? x, y ?

K AB ?

?x ? 3y ? 6 ? 0 ?x ? 0 ? AD 上, ? ? y ? 1 ,? ? , 即 A 点的坐标为 ? 0, ?2? 。 ? ?3 ? y ? ?2 ? ? x ?1



M 点是矩形 ABCD 两条对角线的交点 ? M 点 ? 2,0 ? 即为矩形 ABCD 外接圆的圆心,

其半径 r ?

MA ? 2 2 ? 圆方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 8
2

F ? M G (2) 当E

时, 弦 BC 最短,

所以直线 EF 的方程为 x ? y ? 0 。 ? KEF ? 1 , KMG ? ?1 ,



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