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(新课标II)2015年普通高校招生统一考试(文数)



2015 年普通高校招生全国统一考试(新课标 II) 数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A ? B ? ( A. ? ?1,3? B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? ) D. ? 2,3? )

r />2.若为 a 实数,且 A. ? 4

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? ( 1? i
C. 3 D. 4

B. ? 3

3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论 中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4. 已知 a ? ?1, ?1? , b ? ? ?1, 2? ,则 (2a ? b) ? a ? ( A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2 ) )

5. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 6. B. 7 C. 9 D. 11

一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余 )

部分体积的比值为(

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

1

7. 已知三点 A(1,0), B(0, 3), C(2, 3) ,则△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为(



A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行 该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为( )

A.0

B.2

C.4

D.14

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

1 , a a ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? ( 4 3 5



A.2

B.1

C.

1 2

D.

1 8

10. 已 知 A, B 是 球 O 的 球 面 上 两 点 , ?AOB ? 90? , C 为 该 球 面 上 的 动 点 . 若 三 棱 锥

O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(
A. 36? B. 64? C. 144 ? D . 256?



11. 如图 , 长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点 , 点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动 , 记

?BOP ? x ,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? ,则的图像大致为(



2

A. 12. 设 函 数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? ( )

B.

C.

D.

1 , 则 使 得 f ( x) ? f ( 2 x? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2

A. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

C. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?

二、填空题:本 大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x 的图像过点(-1,4),则 a=
3



? x? y ?5? 0 ? 14. 若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
15. 已 知 双 曲 线 过 点 4 , 为 .
2



?

1 3 ,且渐 近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程 2

?

16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ?1, 1 ? 处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax ? ? a ? 2? x ?1 相 切 , 则 a= 三、解答题 17(本小题满分 12 分)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC. (I)求 .

sin ?B ; sin ?C

? (II)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B .

3

18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调 查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布 直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意 度评分的平 均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
4

19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交, 交线围成一 个正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 在 C 上. (I)求 C 的方程; (II) 直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题 号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交 于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 离心率为 ,点 2, 2 2 a b 2

?

?

5

(I)证明 EF ? BC ; (II)若 AG 等于 圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O ? y ? t sin ? ,

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均 为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

6

参考答案
一、选择题:本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A ? B ? ( A. ? ?1,3? 【答案】A B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3? )

考点:集合运算. 2. 若为 a 实数,且 A. ? 4 B. ? 3

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? ( 1? i
C. 3 D. 4

)

【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可得 2 ? ai ? ?1 ? i ??3 ? i ? ? 2 ? 4i ? a ? 4 ,故选 D. 考点:复数运算. 3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结 论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D

7

考点:柱形图 4. 已知 a ? ?1, ?1? , b ? ? ?1, 2? ,则 (2a ? b) ? a ? ( A. ? 1 【答案】C 【解析】
2 试题分析:由题意可得 a ? 2 , a ? b ? ?3, 所以 ? 2a ? b? ? a ? 2a ? a ? b ? 4 ?3 ?1. 故选



B. 0

C. 1

D. 2

2

C. 考点:向量数量积. 5. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 )

【答案】A 【解析】 试题解析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1, S5 ? 考点:等差数列 6. 一个正方体被一个平面截去 一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余 )

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 .故选 A. 2

部分体积的比值为(

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】D
8

【解析】 试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 部分体积的比值为 考点:三视图 7. 已知三点 A(1,0), B(0, 3), C(2, 3) ,则△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )

1 ,所以截去部分体积与剩余 6

1 ,故选 D. 5

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

【答案】B

考点:直线与圆的方程. 8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行 该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为( )

A.0

B.2

C.4

D.14

【 答案】B 【解析】 试题分析:由题意输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图.

9

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

1 , a a ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? ( 4 3 5



A.2

B.1

C.

1 2

D.

1 8

【答案】 C 【解析】

a a ? a42 ? 4 ? a4 ?1? ? a4 ?2 试题分析:由题意可得 3 5
a2 ? a1q ? 1 2 ,选 C.

,所以

q3 ?

a4 ?8? q ? 2 ,故 a1

考点:等比数列. 10. 已 知 A, B 是 球 O 的 球 面 上 两 点 , ?AOB ? 90? , C 为 该 球 面 上 的 动 点 . 若 三 棱 锥

O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(
A. 36? 【答案】C B. 64? C. 144 ? D. 256?



考点:球与几何体的切接. 11. 如图,长方形 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记 )

?BOP ? x ,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? ,则的图像大致为(

10

A.

B.

C.

D.

【答案】B

考点:函数图像 12. 设函 数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? ( )

1 , 则 使 得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的 取值范围 是 1 ? x2

A. ? ,1? 【答案】A 【解析】

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

C. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?

试题分析:由 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 可知 f ? x ? 是偶函数,且在 ?0, ??? 是增函数,所以 1 ? x2 1 f ? x ? ? f ? 2 x ? 1? ? f ? x ? ? f ? 2 x ? 1 ? ? x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1 .故选 A. 3

考点:函数性质 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x 的图像过点(-1,4),则 a=
3



【答案】-2 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? ax ? 2x 可得 f ? ?1? ? ?a ? 2 ? 4 ? a ? ?2 .
3

考点:函数解析式

? x? y ?5? 0 ? 14. 若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
【答案】8
11



考点:线性规划 15. 为 【答案】 已知双曲线过点 4, .

?

1 3 ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程 2

?

x2 ? y2 ? 1 4

考点:双曲线几何性质 16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ?1, 1 ? 处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax ? ? a ? 2? x ?1 相 切 , 则
2

a= 【答案】8 【解析】



试题分析:由 y? ? 1 ?

1 可得曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线斜率为 2,故切线方程为 x

y ? 2 x ? 1 ,与

y ? ax2 ? ? a ? 2? x ? 1
? ? a2 ? 8a ? 0 ? a ? 8 .
考点:导数的几何意义. 三、解答题

联 立 得 ax ? ax ? 2 ? 0 , 显 然 a ? 0 , 所 以 由
2

17(本小题满分 12 分)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC.
12

(I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60? ,求 ? B . 【答案】 (I)

1 ; 30? . 2

考点:解三角形

试题解析: (I)由正弦定理得

AD BD AD DC ? , ? , 因为 AD 平分 sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD sin ?B DC 1 ? ? .. ? BAC,BD=2DC,所以 sin ?C BD 2
? ?

(II)因为 ?C ? 180 ? ? ?BAC ? ?B ? , ?BAC ? 60 , 所以 sin ?C ? sin ? ?BAC ? ?B ? ?

3 1 cos ?B ? sin ?B. 由(I)知 2sin ?B ? sin ?C , 2 2

所以 tan ?B ?

3 , ?B ? 30?. 3

考点:解三角形

18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调 查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分, 得到 A 地区 用户满意度评分的频率分布 直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表 . A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

13

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 【答案】 (I)见试题解析(II)A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

14

考点:1.频率分布直方图;2.概率估计. 19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一 个正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平 面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

15

【答案】 (I)见试题解析(II)

9 7 或 7 9

考点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 在 C 上. (I)求 C 的方程; (II) 直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 【答案】(I)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 2 a b 2

?

?

x2 y 2 ? ? 1 (II)见试题解析 82 42

16

考点:直线与椭圆 21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围. 【答案】( I ) a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ??? 是单调递增; a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ? 单调递增 , 在 a?

?1 ? ? , ?? ? 单调递减;(II) ? 0,1? . ?a ?
【解析】

17

考点:导数的应用. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题 号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交 于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.

(I)证明 EF ? BC ;
18

(II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.

【答案】(I)见试题解析;(II)

16 3 3

考点:1.几何证明;2.四边形面积的计算. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O ? y ? t sin ? ,

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 【答案】(I) ? 0, 0 ? , ? 【解析】 试题分析:(I)把 C2 与 C3 的方程化为直角坐标方程分别为

? 3 3? ? 2 ,2? ? ;(II)4. ? ?

x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 , x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 ,联立解

19

考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等 式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件. 【答案】 【解析】 试题分析:( I )由 a ? b ? c ? d 及 ab ? cd , 可证明

?

a? b

? ??
2

c? d

?

2

, 开方即得

a ? b ? c ? d .(II)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证
明. 试题解析: 解:(I)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

?
20

c? d

?

2

? c ? d ? 2 cd ,

考点:不等式证明.

21



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