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初高中数学知识衔接2:几何 js zyy



初高中数学知识衔接 2:几何 (教师稿 2015.1)zyy
一、教学分析

初高中数学知识脱节主要是在“代数”一块较为显著,几何这块也有一些概 念和定理的缺失, 但不如代数在高中所占比重高,本身高一数学也没有较多设计 到几何 (主要在高二上的圆锥曲线章节较多) 所以这部分的教学设计的难度较低。 几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线

段比例定理, 射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 二、学情分析 学生薄弱:二次函数不定范围的最值问题 相交、相切概念的理解 三、教学过程 【温故知新】
1.当 t? 时,求函数 y ? x ?x? 的最小值(其中 t 为常数). x ?? t 1

1 2 5 2 2 分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位
解:函数 y ? x ?x? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图.
2

置.

1 2

5 2

(1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t ? 1 时:当 x ? t 时, y t? ; m in ? t ? (2) 当对称轴在所给范围之间.即 t 时: 当 ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时 ,

12 2

5 2 x ?1

(3) 当 对 称 轴 在 所 给 范 围 右 侧 . 即 t 时 : 当 x?t ? ? 11 ? ? t ? 0 1时 ,

1 2 5 ; y 1?? 1 ? ? 3 mi? n ? 2 2

1 2 51 2 . y ?( t ? 1 )???? ( t1 ) t ? 3 m i n 2 22

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ? ? 3 , 0 ? t ? 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2

【知识点结构图】

相似形

平行线分线段成比例定理 三角形的“四心”

三角形 几种特殊的三角形 直线与圆的位置关系 圆 圆与圆的位置关系
【知识梳理】 1 求二次函数在某一范围内的最值. 如: y 在m (其中 m ? x ? n ?n)的最值. ? a x? b x ? c
2

点的轨迹

第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴: x ? x0 ; 第二步:讨论: [1]若 a ? 0 时求最小值或 a ? 0 时求最大值,需分三种情况讨论: ①对称轴小于 m 即 x0 ? m ,即对称轴在 m 的左侧; ? x ? n ②对称轴 m ,即对称轴在 m 的内部; ?x ? x ? n 0 ?n ③对称轴大于 n 即 x0 ? n ,即对称轴在 m 的右侧。 ? x ? n [2] 若 a ? 0 时求最大值或 a ? 0 时求最小值,需分两种情况讨论:

m?n ? x ? n ,即对称轴在 m 的中点的左侧; 2 m?n ? x ? n ②对称轴 x0 ? ,即对称轴在 m 的中点的右侧; 2
①对称轴 x0 ? 说明: 求二次函数在某一范围内的最值, 要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置。 2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 运用到三角形中: 平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例. 3. 三角形的“四心” 在三角形中,角平分线、中线、高(如图 3.2-2)是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的 内部,恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定 在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三 角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点. 4.几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形中,三角形 的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上. 在直角三角形中,垂心为直角顶点, 外心为斜边的中点,内心在三角形的内部,且内 切圆的半径为

b+ c- a 2 2 2 直角三角形的三边长满足勾股定理: A . C + A B = B C 2

正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、外心)合一,该点 称为正三角形的中心. 5.直线与圆的位置关系为: 当圆心到直线的距离 d > r 时,直线和圆相离;当圆心到直线的距离 d = r 时,直线和圆 相切;当圆心到直线的距离 d < r 时,直线和圆相交. 6.圆与圆的位置关系为: 设两圆的圆心距为 O 1 O 2 :当 O O R ? r时,两圆相内切;当 O O R ? r时,两 1 2? 1 2? 圆相外切;当 O 时,两圆相交;当 O R ? r时,两圆相内含;当 R ? r ? O OR ?? r 1 2? 1 2

O O R ? r时,两圆相外切 1 2?
7.在几何中,点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形,它是符合某个条件的所有 点组成的.符合这个条件的点的轨迹含有两层意思: (1)图形是由符合条件的那些点组成的, 就是说,图形上的任何一点都满足条件; (2)图形包含了符合条件的所有的点,就是说,符 合条件的任何一点都在图形上. 常见的平面内的点的轨迹. (1) 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆. (2) 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线. (3) 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线. 【例题讲解】

例1

在三角形 ABC 中, AD 为角 BAC 的平分线,求证:

AB BD = . AC DC

证明 过 C 作 CE//AD,交 BA 延长线于 E, B A B D Q A DC / / E , \ = . A E D C

Q AD 平分 衆 B A C ,? B A D D A C ,
由A 知? D / /C E B A D 行 E , D A C = A C E ,

\ ? E ? A C E , 即 A E A C ,

图 3.1-5

AB BD . \ = AC DC 结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角 的两边之比).
例 2.如图, 在三角形 ABC 中,D 为边 B C 的中点,E 为边 A C 上的任意一点,B E 交 AD 于点 O .某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:

图 3.1-14

(1) 当

A E 1 1 A O 2 2 时,有 .(如图 a) = = = = A C 2 1+ 1 A D 3 2+1 A E 1 1 A O 2 2 时,有 .(如图 b) = = = = A C 3 1+ 2 A D 4 2+ 2 A E 1 1 A O 2 2 = = = = 时,有 .(如图 c) A C 4 1+ 3 A D 5 2+ 3 AE 1 AO = 时,参照上述研究结论,请你猜想用 n 表示 的 AC 1+ n AD

(2) 当

(3) 当

在图 d 中,当

一般结论,并给出证明(其中 n 为正整数). 解:依题意可以猜想:当
AE 1 AO 2 = = 时,有 成立. AC 1+ n AD 2 + n

证明 过点 D 作 DF//BE 交 AC 于点 F, Q D 是 BC 的中点, \ F 是 EC 的中点, 由
AE 1 A E 2A E 2 AE 1 = = , = .. = ,\ 可知 AC 1+ n E F nA F 2 + n EC n A O A E 2 = = . A D A F 2 +n

\

想一想,图 d 中,若

AO 1 AE = ,则 = ? AD n AC 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一

些规律,进而作出一般性的猜想,然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断 探索的历史. 例3 已知等边三角形 ABC 和点 P,设点 P 到三边 AB,AC,BC 的距离分别为

h 1, h 2, h 3 ,三角形 ABC 的高为 h ,
“若点 P 在一边 BC 上,此时 h3 = 0 ,可得结论: h .” + h + h = h 1 2 3 请直接应用以上信息解决下列问题: 当(1)点 P 在三角形 ABC 内(如图 b) , (2)点在三角形 ABC 外(如图 c), 这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成 立,h . 1, h 2, h 3 与 h 之间有什么样的关系,请给出你的猜想(不必证明) 解 (1)当点 P 在 V A B C内时, 法一 如图,过 P 作 B ' C ' 分别交 A 于B B ,A M ,A C ',M ',C ', 由题设知 A , M ' = P D + P E 而A , M ' = A M P F
图 3.2-16

+ h + h = h 故P ,即 h . D ++= P E P F A M 1 2 3
法二 如图,连结,

Q S = S + S + S , V A B C V P A B V P A C V P B C
1 1 1 1 , \ B C ? A M A B ? P D A C ? P EB C P F 2 2 2 2 BB =CA =C 又A ,

图 3.2-17

+ h + h = h ,即 h . \ A M = P D + P E + P F 1 2 3 h + h + h = h (2) 当点 P 在 V 不成立, A B C外如图位置时, 1 2 3 + h -h = h 猜想: h . 1 2 3
注意: 当点 P 在 V 还有可能得到其它 A B C外的其它位置时, 的结论,如
图 3.2-18

h -h + h = h -h -h = h ,h (如图 3.2-18,想一想为什么?)等. 1 2 3 1 2 3
在解决上述问题时,“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地 运用了面积的方法. 例4 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 , 且这两条线的距离为 3.求这

个圆的半径. 解 设圆的半径为 r ,分两种情况(如图 3.3-6) : (1) 若 O 在两条平行线的外侧,

图 3.3-6

如图(1) ,AB=6,CD= 2 6 ,
2 2 则由 O ,得 r ,解得 r = 5 . -9 - r -2 4 = 3 M -O N = 3

(2)若 O 在两条平行线的内侧(含线上) ,AB=6,CD= 2 6 ,
2 2 则由 O ,得 r ,无解. 9 + r -2 4 = 3 M + O N = 3

综合得,圆的半径为 5. 例 5 ⊙O 过两个已知点 A 、 B ,圆心 O 的轨迹是什么?画出它的图形. 分析 如图 3.3-11,如果以点 O 为圆心的圆经过点 A 、 B ,那么 O ;反过 A =O B 来,如果一个点 O 到 A 、 B 两点距离相等,即 O ,那么以 O 为圆心,OA A =O B 为半径的圆一定经过 A 、 B 两点. 这就是说,过 A 、 B 点的圆的圆心的轨迹,就是到 A 、 B 两点距离相等的点 的轨迹,即和线段 AB 两个端点距离相等的点的轨迹. 答:经过 A 、 B 两点的圆的圆心 O 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
【巩固练习】

1.如图,已知三角形 ABC 周长为 1,连结三角形 ABC 三边的中点构 成第二个三角形, 再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形, 依此类推,第 2003 个三角形周长为( C ) 1 1 1 1 A. B. C. 2 0 0 2 D. 2 0 0 3 2002 2003 2 2
o 2.如图, 在等腰直角三角形 ABC 中 ? , D 是斜边 AB 上任一点,A C?9 0 E ? C D

于 E, B 交 CD 的延长线于 F,C 于 H,交 AE 于 F ? C D H ? A B G.求证:BD=CG.
在 AB 上 取 E 使 BE=BC , 则 B , 且 AE=ED=DC , C DB ?E D
o o ? C ? ? B E D ? 2 ? A ? ? A ? ? BC ? 1 8 0 ? ? , ? ? C ? 9 0 .

3.如图,三角形 ABC 内接于⊙O,D 为 B C 的中点, A 于 E。求证:AD 平分 E ? B C

? O A E。 B A O ? ? E A C O A D ? ? D A E .先证 ? ,再证 ? .
图 3.3-15 图 3.3-16

A O B ? 9 0,C、D 是 A B 的三等分点,AB 分别交 OC、OD 于点 E、F, 4.如图, ?
o

求证:AE=BF=CD。 4.先证明 ? 再证 AE=BF=AC=CD. A E C ? ? A C E ? 7 5 ,
o

【总结】

定量研究、定性研究 图形关系、位置关系



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