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江苏省扬州中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题


江苏省扬州中学 2013-2014 学年第二学期期中考试

高一数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2-x 不等式 >0 的解集为___________. x+3 若 x>0、y>0,且 x+y=1,则 x· y 的最大值为______. sin15? · sin30? · sin75? 的值等于___________. 在等差数列{an}中,a3+a6+3a7=20,则 2a7―a8 的值为_________. π π 函数 y= 3sinx+cosx,x∈[― , ]的值域是_________. 6 6 11 - , ?,则 a-b=________. 若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为? ? 2 3? π ? ?π ? 函数 y=sin? ?2+x?cos?6-x?的最小正周期为________. 在正项等比数列{an}中,a1 和 a19 为方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a8· a12=__________. 在△ ABC 中,已知 A=45° ,AB= 2,BC=2,则 C=___________.

10. 设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若 a1>0,S4=S8,则当 Sn 取最大值时,n 的值为____________. 11. 已知等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a7· a14 的最大值为_________. 12. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为 a2∶a3∶a4,则该三角形的最 大角为________. a 13. 若 f (x)=x+ 在 x≥3 时有最小值 4,则 a=_________. x-1 b c 14. 已知△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 BC 边上的高为 a,则 + 的取值范围为______. c b

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)
15. (本题满分 14 分) 已知 a、b、c 分别是△ ABC 三个内角 A、B、C 的对边. (1)若△ ABC 面积为 3 ,c=2,A=60? ,求 a,b 的值; 2

(2)若 acosA=bcosB,试判断△ ABC 的形状,证明你的结论.

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π 16. (本题满分 14 分) 设函数 f (x)=cos(2x+ )+ 3sin2x+2a 3 (1)求函数 f (x)的单调递增区间 π (2)当 0≤x≤ 时,f (x)的最小值为 0,求 a 的值. 4 17. (本题满分 14 分) 已知圆的内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6, CD=DA=4, (1)求角 A 的大小; (2)求四边形 ABCD 的面积. 18. (本题满分 16 分) 已知{an}是公比为 q 的等比数列,且 am、am+2、am+1 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,试判断 Sm、Sm+2、Sm+1 是否成等差数列?并说明理由. 19. (本题满分 16 分) 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广 场,其总面积为 3000 平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为 2 米,中间的三个矩形 区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为 S 平方米. (1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式 (写出函数定义域) ; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?

20. (本题满分 16 分) 已知数列{an}是等差数列, 数列{bn}是等比数列, 且对任意的 n∈N*, 都有 a1b1+a2b2 +a3b3+· · · +anbn=n· 2n+3. (1)若{bn}的首项为 4,公比为 2,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=8. ①求数列{an}与{bn}的通项公式; ②试探究:数列{bn}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 r(r∈N, r≥2)项的和?若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.

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江苏省扬州中学 2013-2014 学年第二学期 高一数学答题纸
一、 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 ) 学号:__________________ 1._____________ 2.____________ 5._____________ 6.____________ 9._____________ 10.___________ 13.____________ 14.___________ 二、 解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15. 3.____________ 7.____________ 11.___________ 4.____________ 8.____________ 12.___________

姓名:____________________

16.

班级: ______________________

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17.

18.

19.

20. (答案写在答题纸反面)

高一数学

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高一数学期中试卷答案
1、(-3,2) 6、-10 2、

1 4

1 3、 8

4、4

5、[0, 3]

7、π 8、16 9、30° 10、6 2π 11、25 12、 13、2 14、 [2, 5] 3 3 1 15、解: (1)由已知得 = bcsinA=bsin60? ,∴b=1. 2 2 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA=3,∴a= 3. (2)由正弦定理得 2RsinA=a,2RsinB=b, ∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即 sin2A=sin2B,由已知 A、B 为三角形内角, ∴A+B=90? 或 A=B.∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 1 3 π 16、解: (Ⅰ)f (x)= cos2x+ sin2x+2a=sin(2x+ )+2a. 2 2 6 π π π π π 由 2k?- ≤2x+ ≤2k?+ ,得 k?- ≤x≤k?+ (k∈Z) . 2 6 2 3 6 π π 所以,f (x)的单调递增区间为[k?- ,k?+ ](k∈Z) . 3 6 π π π 2? 1 π (Ⅱ)由 0≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ ,故 ≤sin(2x+ )≤1. 4 6 6 3 2 6 1 1 由 f (x)的最小值为 0,得 +2a=0.解得 a=- . 2 4 1 1 17、解:四边形 ABCD 的面积 S=S△ ABD+S△ BCD= AB· AD· sinA+ BC· CD· sinC 2 2 ∵A+C=180? ∴sinA=sinC∴S=16sinA. 由余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB· AD· cosA=20-16cosA, 2 2 2 BD =CB +CD -2CB· CD· cosC=52-48cosC, 1 ∴20-16cosA=52-48cosC 解之:cosA=- , 2 又 0? <A<180? , ∴A=120? ,S=16sin120? =8 3 18、解: (Ⅰ)依题意,得 2am+2=am+1+am ∴2a1qm+1=a1qm+a1qm – 1 1 在等比数列{an}中,a1≠0,q≠0,∴2q2=q+1,解得 q=1 或- . 2 (Ⅱ)若 q=1,Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1 ∵a1≠0,∴2Sm+2≠S m+Sm+1 1 1-(- )m+2 2 1 2 1 1 m? 若 q=- ,Sm+2= · a1=? - · a1 2 1 ?3 6 (-2) ?· 1-(- ) 2 1m 1 1-(- ) 1-(- )m+1 2 2 1 1 ?4 2 ? Sm+Sm+1= · a+ · a1=? - · [(- )m+(- )m+1]?· a1 1 1 1 2 2 ?3 3 ? 1-(- ) 1-(- ) 2 2 ?4 1 1 ? =? - · (- )m?· a ∴2 Sm+2=Sm+Sm+1 2 ? 1 ?3 3 1 故当 q=1 时,Sm , Sm+2 , Sm+1 不成等差数列;q=- 时,Sm , Sm+2 , Sm+1 成等差数列. 2 3000 19、解: (1)由已知 xy=3000,2a+6=y∴x>6,y>6,故 y= , x 3000 由 y>6,解得 x<500,∴y= (6<x<500). x S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a, y 1500 根据 2a+6=y,得 a= -3= -3, 2 x 高一数学 第 5 页 (共 6 页)

1500 ? 15000? ? ∴S=(2x-10)? ? x -3?=3030-?6x+ x ?,6<x<500. 15000? 15000 6x+ (2)S=3030-? 300=2430, x ?≤3030-2 6x· x =3030-2× ? 15000 当且仅当 6x= ,即 x=50 时等号成立,此时 y=60. x 所以,矩形场地 x=50 m,y=60 m 时,运动场的面积最大,最大面积是 2430 m2. 20、解: (1)∵a1b1+a2b2+a3b3+· · · +anbn=n· 2n+3 n+2 ∴a1b1+a2b2+a3b3+· · · +an-1bn-1=(n-1)· 2 (n≥2) n+3 n+2 两式相减得:anbn=n· 2 -(n-1)· 2 =(n+1)· 2n+2 (n≥2) 而当 n=1 时,a1b1=24 适合上式,∴anbn=(n+1)· 2n+2 (n∈N*) n+1 ∵{bn}是首项为 4、公比为 2 的等比数列 ∴bn=2 n(4+2n+2) 4(1-2n) n+2 2 ∴an=2n+2,∴{an+bn}的前 n 项和 Sn= + =2 +n +3n-4 2 1-2 (n+1)· 2n+2 n· 2n+1 (2)①设 an=kn+b,则 bn= ,∴bn-1= (n≥2) kn+b kn-k+b (kn-k+b) bn 2(n+1)· 设{bn}的公比为 q,则 = =q 对任意的 n≥2 恒成立, bn-1 (kn+b)n 即 k(2-q)n2+b(2-q)n+2(b-k)=0 对任意的 n≥2 恒成立, ? ?k(2-q)=0 ?k=b ∴?b(2-q)=0 ∴? 又∵a1=8,∴k+b=8∴k=b=4,∴an=4n+4,bn=2n q=2 ? ?2(b-k)=0 ? ② 假 设 数列 {bn} 中第 k 项 可 以 表示 为该 数 列中其 它 r 项 bt1 , bt2 , ???, btr (t1 ? t2 ? ??? ? tr ) 的 和, 即

bk ? bt1 ? bt2 ???? ? btr ,从而 2k ? 2t1 ? 2t2 ? ??? ? 2tr ,易知 k≥tr+1
2k ? 2t1 ? 2t2 ? ??? ? 2tr ? 21 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2tr ?
tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) ? 2 ?2? 2 1? 2

∴k<tr+1,此与 k≥tr+1 矛盾,从而这样的项不存在.

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