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平面向量基础练习题



平面向量
1.(湖南文) 若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )

??? ? ??? ? ??? ? A. EF ? OF ? OE
C. EF

??? ? ??? ? ??? ? B. EF ? OF ? OE
D. EF

??? ?

??? ? ??? ? ? ?OF ? OE

??? ?

??? ? ??? ? ? ?OF ? OE
( )

2. 在四边形 ABCD 中,若 (A) 平行四边形 3. AB ? BC ?

??? ? ??? ? ???? AC ? AB ? AD ,则四边形 ABCD 的形状一定是
(B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形

??? ? ??? ? ???? AD ?
???? A、 AD
??? ? CD B、
??? ? DB C、





???? D、 DC


4.(全国一 5)在 △ ABC 中, A.

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD =(
D.

5.

2 1 5 2 2 1 b? c B. c ? b C. b ? c 3 3 3 3 3 3 如果 a , b 是两个单位向量,则下列结论中正确的是
(A)

1 2 b? c 3 3
( )

a?b

(B)

a ?b = 1

(C)

a 2 ? b2

(D)

a?b
( )

6. (福建)对于向量 a,b,c 和实数 ? ,下列命题中真命题是

b A.若 a ?
C.若 a
2

? 0 ,则 a = 0 或 b = 0

B.若 ? a

= 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0 a? c ,则 b = c
( B、 a ? (1, ?2) , b ? (7,14) )

? b 2 ,则 a ? b 或 a = ?b

b= D.若 a ?

7.下列各组的两个向量,平行的是 A、 a ? (?2,3) , b ? (4,6)

?

?

?

?

? ? a ? (2,3) b ? (3, 2) C、 ,
8.(安徽卷 2)若 AB ? (2, 4) , A. (1,1) 9.(湖北卷 1) a A. (?15,12)

? ? a ? ( ? 3, 2) b ? (6, ?4) D、 ,
则 BC

??? ?

??? ? AC ? (1,3) ,

??? ?

?
D. (-3,-7)





B. (-1,-1)

C. (3,7)

? (1,?2) , b ? (?3,4) ,则 (a ? 2b) ? c ?
B. 0 C. ?3 D. ?11

(

)

10.(四川卷 3)设平面向量 a (A)

?

? ? ? ? ? 3,5? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ?

( (D)

)

? 7,3?

(B)

? 7, 7 ?

(C)

?1,7 ?

?1,3?
( )

11.(宁夏,海南)4.已知平面向量 a

1 3 ? (11) ,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 a ? b ? 2 2

, ? 1) A. (?2

, 1) B. (?2

, 0) C. (?1

, 2) D. (1

12.(全国Ⅰ)已知向量 a A.垂直

? (?5, 6) , b ? (6, 5) ,则 a 与 b
C.平行且同向 D.平行且反向





B.不垂直也不平行

13.(广东卷 3)已知平面向量 a A、 (?5, ?10)

?

? ? ? ? ? ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =
C、 (?3, ?6) D、 (?2, ?4)





B、 (?4, ?8)

14.(海南卷 5)已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是 A. -1 15.已知向量 a A. 1 B. 1 C. -2 D. 2

?

?

? ?

?





? (1,n),b ? (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ?
B.





2
?

C. 2

D.4 ,则 | a ? b |?

16. (重庆文 6)设 x ? R ,向量 a (A)

? ? ? ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b
10

?

?

( (D) 10



5

(B)

(C) 2

5

17.(辽宁卷 5)已知四边形 ABCD 的三个顶点 的坐标为

??? ? ??? ? A(0, 2) , B(?1, ? 2) , C (31) , ,且 BC ? 2 AD ,则顶点 D
( )

A. ? 2, ?

? ?

7? 2?

B. ? 2, ?

? ?

1? ? 2?

2) C. (3,


, 3) D. (1
等于 ( )

18. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,

??? ? ??? ? ??? ? AB ? a , BC ? b , AC ? c ,
(C)

a ?b?c

(A) 0

(B) 3

2

(D) 2

2
( )

19. 若平行四边形的 3 个顶点分别是(4,2) , (5,7) , ( ? 3,4) ,则第 4 个顶点的坐标不可能是 (A)(12,5) (B)(-2,9) (C) (3,7) (D) (-4,-1)

? ? ? ? a ? (6,0) b ? ( ? 5,5) a 20.已知 , ,则 与 b 的夹角为
A、 45
0

( C、 135
0



B、 60

0

D、 120

0

21.(全国文 9) ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ( A. )

??? ?

? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? a ,CA ? b , a ? b ? 0 ,| a |? 1 ,| b |? 2 ,则 AD ?

1? 1? a? b 3 3

B.

2? 2? a? b 3 3

C.

3? 3? a? b 5 5

D.

4? 4? a? b 5 5


22.(全国二 13)设向量 a

? (1,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ?
?

23.(北京卷 11)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 24.(湖南卷 11)已知向量 a

a ? b ? 4 ,那么 a ? b 的值为



? (1, 3) , b ? (?2,0) ,则 a ? b =_____________________.

25.(江苏卷 5)

? ? ? ? a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3



? ? 5a ? b ?



? ? ? ? ? ? ? a ? 1, b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? b ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 27. (新课标文 15)已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____
26.(上海卷 5)若向量 a , b 满足 28.(安徽文 11)设向量 a

?

?



? (1,2m) , b ? (m ? 1,1) , c ? (2, m) ,若 (a ? c) ? b ,则 | a |? ______.
? (2, 4) , b ? (?1, 2) ,若 c ? a ? (a ? b)b ,则 c ?


29.(天津卷 14)已知平面向量 a

30. 已知 M (3,?2) , N (?1,0) ,则线段 MN 的中点 P 的坐标是________。 31. 已知向量 a

? (1, 5) , b ? (?3, 2) ,则向量 a 在 b 方向上的投影为




32. 已知

? ? ? ? 3? a ? 3 , b ? 4 , a 与 b 的夹角为 4

? ? ? ? (3a ? b) ? (a ? 2b) =__________.
的值

33. 已知 为

a ? 3 , b ? 4 ,且向量 a , b 不共线,若向量 a ? k b 与向量 a ? k b 互相垂直,则实数 k


34. (2012 湖北文)已知向量 a ? (1,0), b ? (1,1) ,则 (Ⅰ)与 2a ? b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b ? 3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________. 35.(江西卷 16)如图,正六边形 A. B.

?

?

? ?

?

?

?

ABCDEF 中,有下列四个命题:
E

??? ? ??? ? ??? ? AC ? AF ? 2BC

D

??? ? ???? ? ??? ? AD ? 2 AB ? 2 AF
??? ? ???? ???? ??? ? AC ? AD ? AD ? AB
F

C

C.

D. ( AD ? AF ) EF

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? AD( AF ? EF )
(写出所有真命题的代号) .

A

B

其中真命题的代号是

36.(陕西卷 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: ①若 a ? b

6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ? a ? c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2,
?

③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 . 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号)

37.(北京文)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为________. 38.(浙江)在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =______________.

???? ??? ?

??? ? ????



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