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2016高考数学总复习课时作业堂堂清排列组合二项式定理10-1


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考纲预览

1.掌握分类计数原理与分步计数原理,理解排 列、组合的意义,掌握排列数、组合数计算公式 和组合数的性质,并能用它们分析和解决一些简 单的应用问题. 2.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并 能用它们计算和证明一些简单的问题.

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命题探究 排列组合、二项式定理是每年高考必定考查的内容之 一,纵观全国高考数学试题,每年都有1~2道排列组合题, 考查排列组合的基础知识、思维能力,多数试题难度与课 本中习题的难度相当,但也有些试题难度较大,考查理解 问题的能力、分析解决问题的能力及分类讨论的思想,有 些试题以应用题的形式出现考查解决实际问题的能力.每 年都有一道有关二项式定理的试题,着重考查二项式的展 开式及其通项,难度与课本习题的难度相当,有关排列、 组合、二项式定理的试题的题型,一般为选择题或填空题.

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第一节

两个计数原理

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考纲要求

1.理解分类计数原理和分步计数原理. 2.会用分类计数原理和分步计数原理解决一 些简单的实际问题.
计数原理在中学数学中形式比较独特,与其 他数学知识截然不同,不仅内容抽象,解法 灵活,而且解题过程极易出现“重复”或 “遗漏”的错误.纵观近几年的高考,对本 节内容考查比较稳定,试题难度起伏不大, 主要以选择题、填空题的形式出现.

考试热点

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1.分类计数原理、分步计数原理 (1)完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种

不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,?,在
第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N = (m1+m2+?+mn) 种不同的方法.

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(2)完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不 同的方法,做第2步有m2种不同的方法,?,做第n步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×?×mn种 不同的方法. 2.分类计数原理与分步计数原理,都有涉及完成一件 事 的不同方法的种数.它们的区别在于:分类计数原理

与分类有关,各种方法 相互独立
骤 相互依存

,用其中任何一种方

法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步 ,只有各个步骤都完成了,这件事才算完

成.

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1.4封不同的信投入三个不同的信箱中,所有投法的 种数是 ( )

A.34

B.43

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解析: 第n封信有 3种投法(n=1,2,3,4),根据分步计数 原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有3×3×3×3=34 种投法. 答案:A

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2 . 4 人去借三本不同的书 ( 全部借完 ) ,所有借法的种 数是 ( )

A.34

B.43

解析:第n本书有4种借法(n=1,2,3),根据分步计数原

理 4 人去借三本不同的书 ( 全部借完 ) 共有 4×4×4 = 43 种借
法. 答案:B

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答案:8

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4.有8本书其中有2本相同的数学书,3本相同的语文 书,其余3本为不同的书籍,一人去借,且至少借一本的借 法有________种. 解析:数学书的本数可以是 0,1,2三种;语文书的本数 可以是0,1,2,3四种,其余3本书每本都有两种取法,由分步 计数原理共有3×4×2×2×2-1=95种借法.

答案:95

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5.由n×n个边长为1的小正方形拼成的正方形棋盘中, 求由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目.

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解: 如图 1 ,根据分步计数原理,边长为 k(1≤k≤n , k∈N*)的正方形共有(n-k+1)(n-k+1)=(n-k+1)2个;由 分类计数原理,图形中所有正方形的数目是n2+(n-1)2+(n -2)2+?+22+12= n(n+1)(2n+1)个.

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分类计数原理的应用 [例1] 高三(1)班有学生50人,男30人,女20人;高三 (2)班有学生60人,男30人,女30人;高三(3)班有学生55人, 男35人,女20人. (1) 从高三 (1) 班或 (2) 班或 (3) 班选一名学生任学生会主

席,有多少种不同的选法?
(2) 从高三 (1) 班、 (2) 班男生中,或从高三 (3) 班女生中 选,有多少种不同的选法?

[分析] 具备分类计数原理的条件.

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[解 ]

(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法;从高

三(2)班60人中选一人有60种选法;同理,从高三(3)班中选 一人有55种选法, ∴共有50+60+55=165(种). (2)从高三(1)、(2)班男生中选有30+30=60(种),从高

三(3)班女生中选有20种,
∴共有30+30+20=80(种). [ 拓展提升 ] 运用分类计数原理时,首先要根据问题

的特点,确定分类标准,分类应满足:完成一件事的任何
一种方法,必属于某一类而且仅属于某一类,即 “ 类 ” 与 “类”间有独立性与并列性.

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把单位正方体的六个面分别染上 6 种颜色,并画上只 数不同的玉狗,各面的颜色与玉狗的只数对应如下表.取

同样的 4 个上述的单位正方体,拼成一个如图 2 所示的水平
放置的长方体,则这个长方体的下底面总计共画有玉狗的 只数为 ( )

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面上所染颜色 该面上的玉狗只数

红 1

黄 2

蓝 3

青 4

紫 5

绿 6

A.15

B.16

C.17

D.18

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解析: 如图3, 设面

BCC1B1为红颜色,则面ABCD为
蓝颜色,面 CC1D1D 为紫颜色, 面 DAA1D1 为绿颜色,面 AA1B1B

为黄颜色,面A1B1C1D1为青颜色,
互相对立的面 ( 蓝—青) 、 ( 黄 — 紫)、 (红—绿),故图中4个正方体的下

底面分别为紫,黄,绿,青,再
根据表即可得玉狗的只数为5+2 +6+4=17. 答案:C

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分步计数原理的应用 [ 例 2] 现要排一份 5 天的值班表,每天有一个人值 班.共有5个人,每个人都可以值多天班或不值班,但相邻 两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的 排法? [ 分析 ] 该问题是计数问题,完成的一件事是排值日

表,因而需一天一天地排,用分步计数原理,分步进行.

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[解]

先排第一天,可排 5 人中的任一人,有 5 种排法;

再排第二天,此时不能排第一天已排的人,有4种排法;再
排第三天,此时不能排第二天已排的人,仍有4种排法;同 理,第四、五两天均各有4种排法.由分步计数原理可得值

班表共有不同排法数为:5×4×4×4×4=1280种.
[ 拓展提升 ] 过程合理分步. 解决问题时,理清思路,按事件发生的

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安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班
一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的 安排方法共有________种.(用数字作答) 解析: “ 都不 ” :用乘法原理,把 3 、 4 、 5 、 6 、 7 五 天“拿出来”,先让甲选值班日期,有5种选法;接下来让 乙选值班日期,有 4 种选法.再接下来 5名工作人员任意排, 有 120 种排法.综合以上分析,不同的安排办法共有 2400 种.

答案:2400

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两个原理的综合应用 [ 例 3] 如图 4 ,用 6 种不同的颜色给右图中的 4 个格子 涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻 的 两 个 格 子 颜 色 不 同 , 则 不 同 的 涂 色 方 法 共 有 _______ 种.(用数字作答)

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[解法一] 将4个区域标上数字1,2,3,4.
先对区域1涂色,有6种方法,再对区域2涂色有5种方 法,①3 与1 同色, 4与 2 可以同色也可以不同色,不同涂色 方法有6×5×(1+4) =150种;②3 与1 不同色, 4 只能与 2 或 者1同色,不同涂色方法有6×5×4×(1+1)=240种, 涂色方案共有150+240=390种.

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[解法二] 当使用两种颜色涂色种数为 C2 6×2=30 种. 当使用三种颜色涂色时,可能 1,3 或 1,4 或 2,4 相 3 同视为一个区域,涂色方案有 C3 × A 6 3×3=360 种. 涂色方案共有 30+360=390 种.

[答案] 390

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中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不

同的单位,分别在图中的A、B、C、D四个区域落座.现有
四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同色服装, 且相邻区域不能同色,则不同的着装方法共有多少种?

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解: 当 A 、 B 、 C 、 D 四个区域的观众服装颜色全不相 同时,有4×3×2×1=24种不同的方法;当 A区与 C区同色, B区和D区不同色且不与A、C同色时,或B区、D区同色,A 区、 C 区不同色且不与 B 、 D 同色时,有 2×4×3×2 = 48 种 不同的方法;当 A区与C区同色,B区与D区也同色且不与 A、 C同色时,有4×3=12种不同的方法.由分类计数原理知共

有24+48+12=84种不同的着装方法.

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[例4] (2009·全国卷Ⅰ)甲组有5名男同学、3名女同学; 乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2 名同学,则选出的 4 人中恰好有 1 名女同学的不同选法共有 ( A.150种 C.300种 B.180种 D.345种 )

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[解析] 分两类: (1)甲组中选出1名女生有C·C·C=225(种)选法; (2)乙组中选出1名女生有C·C·C=120(种)选法.故共 有345种选法.故选D. [答案] D

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[ 拓展提升 ]

解决计数问题的基本思想就是先对问题

进行分类,在每个类中再进行分步,根据乘法原理计算各 个类的数目,最后根据加法原理计算总的数目.

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若集合 A1 、 A2 满足 A1∪A2 = A ,则称 (A1 , A2) 为集合 A

的一个拆分,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,
A1) 为集合 A 的同一种拆分,则集合 A = {a1 , a2 , a3} 的不同 拆分的种数为

(
A.8 C.26 B.9 D.27

)

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解析:集合A的子集为?,{a1},{a2},{a3},{a1,a2}, {a1,a3}{a2,a3},{a1,a2,a3}共8个,按A1可从8个子集中 任意取值,则相应的A2的取值情况列表如下:

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A1取值 A2 A1 取值

?

{a1}

{a2}

{a3}

{a ,a3}, {a1,a3}, {a1,a2, 2 {a1,a2}, {a1,a2, {a1,a2, a3} {a1,a2,a3} a3 } a3}
{a1,a2} {a1,a3} {a2,a3} {a1,a2,a3}

A2

?,{a1}, {a1}, {a3}, {a2}, {a1,a2} {a2},{a3}, {a1,a3} {a1,a2} , {a1,a2}, {a2,a3} {a2,a3} {a1,a3} {a1,a3} {a1,a2 {a1,a2, {a1,a2, {a2,a3} a3} ,a3} a3} {a1,a2,a3}

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上表中对应的A2共有27个,即有27种拆分. 答案:D

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1.对“分类”与“分步”的理解 (1) 分类:“做一件事,完成它可以有 n 类办法”,这 是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要 根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这 个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原

则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分
别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

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(2) 分步:“做一件事,完成它需要分成 n 个步骤”, 这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤.分 步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准; 其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完 成这n个步骤后,这件事才算最终完成.

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2.分类计数原理与分步计数原理的选用 两个原理的区别在于一个和分类有关,一个和分步有 关.如果完成一件事有 n 类办法,这 n 类办法彼此之间是相 互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成 这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理; 如果完成一件事情需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依

次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤
各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数就用分 步计数原理.

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