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数学解题中诱发学生分类讨论的七种因素


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阴 刘家 良
(静海县沿庄镇中学, 天津 301605)

能否依照一条 “主 线 ” 对 问题进 行 合理 分 类 是 段, 具 有 哪 些 因 素 的 问题 能 诱发 学生的 分 类讨论 呢? 对此, 笔者 归纳 了 诱发 学生 分 类讨论 的 七 种 因 素, 旨 在引 导 学生 思考 与 分 类有 关 的 问题 时能 找 出 合理 取 问题 中的一 条 “主 线 ” 作 为 标准 进 行 分 类 , 舍, 力 求 使 各 种 可 能的 结 果 做 到 不 重 不 漏 , 以此逐 培养 学生 思维 的 条 理 步养 成 学生的 分 类讨论意 识, 性和 严 谨性援 一、 边 (角) 指代不明诱 发的分类 的 大 小 虽 已 知, 但具 体 某 些 图 形 中的 边 (或角) (或角) 归类 , 再依 据定义或 定理求 解援 ( 13, 则它的 周长为 ) 援 指 代 并 不 明 确 援 对此 先 将 边 是哪条边 (或 哪 个角) 例 1 等 腰三角 形的一 条边长为 6, 另 一边长 为 衡 量学生 思维 条 理 性 及 严 谨 性 的 试 金 石 援在 初 中 阶

在 “ 隐藏 ” 分 念 内涵 , 把 握 概 念 外 延 援在 批 改 作 业 中, 的 方式 圈 注 进 行 提 类的关键字眼处用 “字符边框 ” 示, 如 例 2 中 可 将“ 两 边 长 ” 圈注, 提 醒 学生 应 分 类 思考援 二、 图形间相对位置关系不明朗诱 发的分类 图 形 之 间 的 相 对 位 置 关 系 若 在 已 知 条件 中 不 明朗, 则 需 先 列 出 所有 可 能的 位 置 关 系 , 再 分情 况 逐一求 解援 例 3 已 知 吟A BC 的 外 心 为 点 O, 若 蚁BOC = 援

100毅, 则蚁 A 的度数 为

当 吟 A BC 为 锐 角 三 角 形 时, 其外心 O 在形 种 情况 :

分析: 吟A BC 与 其 外 心 O 的 位 置 关 系 存 在 三

其外心 O 在形外; 内; 当 吟 A BC 为 钝 角 三 角 形 时, 当 吟 A BC 为 直 角 三 角 形 时, 其 外 心 O 在 斜 边 上 援而 130毅援 如 图 1, 这三种情况都有可能, 图 2援 结 果为 : 50毅 或
A1 O B C A2 B A C

(A) 25 (B) 25 或 32 (C) 32 (D) 19

所以先需将 “ 6” 腰三角 形的底边 和腰, 归类 (分 别为 则 其 他 两 边 为 6,13, 因 为 6+6约13, 所 以 6, 6, 13 不

长 为 6 和 13 的 两 边 , “谁” 是等 分 析: 没有明 确

底 边 和 腰) 再 求 三 角 形 的 周 长 援但 注 意 当 6 为 腰 时,

O

应舍 去 援故应 选 C援 能构 成三角形 ,

图1

图2

则该 三 角形中较小锐 角的正弦 值为

例 2 一个直角 三角形 的两边长 分别为 6 和 8, 分析: 长 为 8 的 边 虽 在 已 知 边 中较 长 , 但没有 援

【注】 多 数 学生 只 想 到 外 心 在 三 角 形 内 部 而 忽 钝角 在 作 业讲 评 时, 要 让 学生 逐 一 按 锐 角 三 角 形 、 明 确三种 三 角 形 和 直 角 三 角 形 画 出 三 角 形 的 外 心, 融 入 了分类意 识援 情况, 在理解外 心定义 中, 三、 对应关 系不明 确诱发的分类 三 角 形 的 全等 或 相 似 的 判 定 和 性质 都 体 现了 思 想 援所 以 在 已 知 图 形全等 或 相 似 的 前 提下 “对 应 ” 系援 (或角) 的对 应 关 解边 (或角) 的 问题 时, 需要突出边
教学月刊 窑 中学版 教学参考 2015/10

教师 视 了 外 心 在 三 角 形 外 和一 边 上 的 情形 援 对此,

3 或 姨7 援 (分 别为直角 边和斜 边) 援结 果为: 5 4

对此 先 需 对 “ 8” 明 确出 它 是 直 角 边 还 是 斜 边 , 归类

中 等 生和学 困 生 在 解 答 边 (或角) 指 代不 明 的

教 问题 中, 常常 会 丢 掉 其 中的一 种 可 能 情 况 援对此,

“串 ” 在一起, 通 师需 将 具 有 种 属 和 并 列 关 系 的 概 念 做 到 准确 理 解 概 过比对, 寻 找异 同 点 , 澄 清 模糊 点 ,

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例4 两 个 三 角形 相 似 , 一个 三 角 形 的 三 边 长 援 分 别为 姨 2 , 2, 另 一个 三 角 形 的 两 边 长 分 别 姨6 , 分 析: 已 知 三 角 形 的 三 边 按 从 小 到大 的 顺 序 排 (5s 时 吟QBP 的 三个特征: 综 合 图 象 前 2 段 的 信息 , 对 照 图 3, 面积 最 大 且 持 续 2s 面 积 都 不 变) 知 P, Q 从 而得 到 BC, BE 的 长 度 ; 在 第 2 段 图 象 中, 对照图 长 度 援在 第 3 段 图 象 中, 对 照 图 3, 点 P 从点 D 到点 直 至 为 0援 C 中, 吟 QBP 的面 积逐步 减小,

为 1, 则它 的 第三边 长为 姨3 ,

点 P 到 达点 E, 出 发 5 秒 时, 同时 点 Q 到 达 了 点 C, 3, 点 P 从 点 E 到 点 D 中, 用 时 2s, 可 得 ED, AE 的

x, 因 为 两 个 相 似 三 角 形 中 边 的对 应 关 系 不 明 确 , 所 以 需将 x 的取值需分三种情况: x 约1, 1 约x 约 姨 3 , x跃 到 x 值援结 果为 x= 姨 2 援 按 相 似 三 角 形 对 应 边 的比 相 等 即 可 得 姨 3 援 至 此, 但 【注】 虽 然 有 部 分 学生也得 到 了 问题 的 答 案 ,

2, 序为, 姨 6 援设 所 求 三 角 形 的 第 三 边 长 为 姨2 ,

的 运 动 的 速 度都 是 1cm/s, 所 以 BC=BE =5, A D=5援当

点 P 到 达点 E 的同时 点 Q 到 达 了 点 C援因 为 点 P, Q

解: 根据 图 4 中 前 2 段 的 信息 , 结 合 图 3, 知当

“巧 合 ” 是 没 有 分 类 的一 种 援对此 类问题 要 树立 对 应 思想 , 形成思维问题 的有序 性援 —— 四、 “动 ” — 诱发图形 量变或 形变的 分类 变 化 的同时 这里, “ 动 ”指 图 形 大 小 (或 形状) 其 相 应 图 象 也 随 之发 生 变 化 援 解 这类问题 时, 要学 破译, 又要将 “段” 与 会 “ 阅读 ” 图象, 既要分 “段”

从 点 E 运 动到点 D,得 ED=2, A E=3, A B=4援 当 点 P 运 动 到 点 C 时, 点 P 走 过 的 路 程 为 BE+ED+DC = (11, 11, 点 P 共 用 时 11s, 所 以点 H 的 坐 标 为 0) 援结 合点 N (7, 10) , 得直 线 NH 的解 析式为 y=- 5 t+ 55 2 2
A E D P

5~7s 时 点 P 0约t臆 5 时,用 待 定 系 数法 求 得 y = 5 t2; 2

“ 段” 综 合在 一 起 通 盘 思考 援对此要 挖掘 每 段 图 象 所 之间 “折 点 ” 的 信息 , 将 蕴含 的 信息 量和 “段” 与 “段” 形与 数的结合 与转换 思想融 入其中 援

点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止, 运动到点 C 停止, 它们 的面积为 y (cm2) , 已 知 y 与 t 的 函 数 关 系 的 图 象如
A E y (cm ) M N
2

点 P 沿 BE 寅ED 寅 DC 点 P, 点 Q 同时 从 点 B 出 发 ,

例 5 如图 3, 点 E 为矩形 A BCD 边 A D 上一点 ,

在 Rt吟 CBP 中, QP约BC约 A B 约BE, 所 以 若 吟 A BE

在边 CD 上, 如 图 5援 因 为

点 P 将落 援当 t= 29 s 时, 4

BP, 在 Rt吟 A BE 中, A E约

B

C (Q)

图5

的 运 动 速 度都 是 1cm/s援 设 P, Q 出 发 t 秒 时, 吟BPQ

与吟QBP 相似,只能存在 一 种 对 应 关 系 , 即 QP = AE BC , 即 CP = 5 , CP= 15 援点 P 从 点 B 开 始 运 动 到 AB 3 4 4

图4 (曲线 OM 为 抛物 线的一部 分) 援则 下列结 论:
D 10

cm= 29 cm援综上, 选 B援 此点的 路程为 (11- 15 ) 4 4 到达点 C 是解 题 的关键 , 是本题 的切入 点援

点Q 【注】 根据 图 4 判断出点 P 到 达点 E 时, 五、 式、 方 程、 函数 内涵 不具 体 时 诱 发 最 高 项系 当 一个 式 、 方 程 或 函 数 中的最高 项 系 数 是 含 有

P C O H

B

Q

5 7

( t s)

数为 0 和非 0 的 分类 “名 称” 不 明 确 时, 字母的式子且式、 方程或函数的 需对含 字母的式 子是 0 和非 0 进 行分类 援 例 6 已 知 函 数 y =mx2原6x 垣1 (m 是 常 数) 援若该

图3

图4



则 t = 29 s 援 其 中 正 确 结 论 的 个 数 为 吟 QBP 相 似 , 4 (A) 4
50

线 NH 的 解 析 式 为 y = - 5 t + 27 ; 榆 若 吟 A BE 与 2 ) 援

淤 A D=BE =5cm; 于 当 0 约t 臆5 时, y = 2 t2; 盂直 5

求 m 的值援 函数的 图象与 x 轴只 有 一个交点,

从 图 4 中 看 出 吟QBP 的 面 积 变 化 呈 现 出 分析:

(B) 3

(C) 2

(D) 1

所 以需对 m 为 0 和非 0 的 情 况 进 行 定 是二次 函数, 有 一个 交点 (1 , 0) ; 于 当 m 屹0 时, y =mx2原6x 垣1 为 6

分析: 最高 项 的 系 数 为 m, 而函数没有明确 一

分 类 援淤 当 m =0 时, 函 数 y =原 6x 垣 1 的 图 象 与 x 轴 只

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所 二次 函数援因 为函数 的图象 与 x 轴 只有一个交点,
2

则享受 方 案 二: 购 买 者 若 一 次 付清 所有 房 款 , (已 知 每 月 物 业 8%的 优 惠 , 并 免收 五 年 物 业 管 理 费 管理费 为 a 元) . (1) 请 写 出 每 平 方 米售 价 y (元 /米 2) 与楼层 x

m 的值 为 0 或 9援

以二 次方程 mx 原6x垣1=0 有两 个相等 的实数根 援所求 解 这类问题 时 需 要学生 先 仔 细 读 题、 审题 后再

下笔 援 教 师在 “ 究因 ” 中, 要 将 易 混 的 相 关 概 念通 过 学生比较 寻 找 出 异 同 点 , 同时 结 合 解 题 抠 字 眼 的 过 六、 双曲线 “分 支 ” 描述 诱发的 分类 反比例 函数 y= k (k 屹0) 的图象 为双 曲 线 援对同 x 考察, 就是说 , 同一 一个 k 值, 其增减性应分 “象 限” 个 k 值, 同一个 象 限 内 两 点 的 纵 坐 标 的 大 小 可 以 按 “增 减 性 ”去 判断 ,但 在 两 个 分 支 上 的 点 就 不 能 按 去判断 了 援 “增 减性”
y 4 -2 O 1 -2 x

(2臆x臆23, x 是正 整数) 之 间的函 数解析式 援 他可以 购买 哪些 楼层的商 品房呢?

程进 一步明晰 概念的内涵援

(2) 小 张 已 筹 到 120000 元 , 若用方案一购房,

但 他认为 此 方 案 还 不 如 不 免收 物 业 管 理 费 而 直 接 吗? 请用 具体数 据阐明 你的看 法援

(3) 有 人 建 议 老 王 使用 方 案 二 购 买 第 十 六 层 ,

享 受 9% 的 优 惠 划 算 援 你 认为 老 王 的 说 法 一 定 正 确 (1) 购 买 者 购 买 的 楼 层 x 有 可 能高 于 第 分 析:

而两者的购房方案不 八层 , 也有可能低于第八层, 同援故此 需将 x 分大 于 8 和小于 8 两种 情况讨论援 故只需求出小 (2) 因 为 小 张 购 房 采 用 方 案 一,

例 7 一 次 函 数 y1=kx+b (k 屹0) 与反比例函数 系中的 图象如 图 6 所示,若 y1跃 (A) 原2约 x 约0 或 x 约 1 (B) x约原2 或 0约x约1 (C) x 约1 (D) 原2约 x 约1 ) 援 y2= m (m 屹0) , 在 同一 直 角 坐 标 x

需 按照 高 于 第 8 层 和 低 张 按这种方案付款的算 式, ; 无论购置 于第 8 层两 种情况来进行 (承 接 第 一 问) 由此产 生了不等关系援 哪 一个 楼 层 , 小 张 付 款 金 额 都 不 会 大 于 120000 元 , (3) 判断 老 王 自 想 的 法 则 和 方 案 二 哪 一个 购 房

( y2, 则 x 的 取值范 围是

更划算, 需 先 求 出 各 自 对 应 的 付 款 算 式 援因 为 方 案 故应采 用逆向思维的方法分类 来解援

图6

二中的 算式中含 有字母 a, 无 法直接比较 二者 大小, 解: (1) 当 2臆 x 臆8 且 x 是正 整 数 时, y =3000-

, 选 A援 y2; 当 x跃 1 时 (第一象 限) y1跃y2援故此,

于点 (原2, 原2) , (1, 4) 援 当 原 2 约x 约0 时 (第 三 象 限) , y1 跃 本 题考 查 了一 次 函 数 、 反 比 例 函 数 的 图 象性质

由 图 6 知, 分析: 一次函数与反比例函数相交

当9臆x臆23 且 x 是正 整 数 时, (8-x) 伊20=20x+2840; y=3000+ (x-8) 伊40=40x+2680援 (1) 知 淤 当 2 臆x 臆8 时, (2) 由 , 因 为 最 贵 的是

及学生读 图 能 力 , 旨 在 让 学生 注 意 到 反 比 例 函 数 的 (分象限) 考 察的 援 “增 减性” 是 “分支” 七“ 、规则” 呈现动态诱 发的分类 某 些 应 用题 的 “规 则” 呈 现出 “动 态” 性, 则相 应 的 计算 法则也 随之发 生了变化 援 , 二楼至 例 8 某楼盘一楼是车库 (暂 不 出 售)

第 8 层, 首付款 为: 3000伊120伊30%=108000 元 , 小于

120000 元 , 所 以 小 张 可 从 2 耀8 层 中 任 选 一 层 ; 于当 (40x垣2680) 得 9臆 x 臆23 时, 由 伊120伊30% 臆 120000, x臆16 1 援因 为 x 为 正 整 数 且 9臆x臆 23, 所以小张用 3 (3) 若老王按方案二购买第十六层, 则要实交

(对 外 销售) 二 十 三 楼均 为 商 品 房 援商 品 房 售 价 方 案

方案一 可以购买 二至十 六层的 任 何一层 援

楼 层每 升 一层, 每 平 方 米 的 售 价 增 加 40 元 ; 反之,

从第八层起每上 如下: 第 八 层 售 价 为 3000 元/米 2,

下 降 一 层, 每 平 方 米 的 售 价 减 少 20 元 援 已 知 商 品 房 两种 购房方案:

每 套 面 积 均 为 120 平 方 米 援开发 商 为 购 买 者 制 定 了 (商 品 房 总 价 方案一: 购 买 者 先 交纳 首 付 金 额

66援4, 即 每 月 物 业 管 理 费 小 于 66.4 元 时, 老王的想 不 大于 66.4 元时, 老王的 想法不正 确援

得 0约a约 120伊91% (元) 援w1原w2=3984原60a援当 w1跃w2 时, 当 w1臆w2 时, 法 正 确; a逸 66援4, 即每月物业管 理费
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老 王 自 想 的 法 则 要 交 房 款 为 w2 = (40 伊16 垣2680) 伊

房 款 为 w1= (40 伊16 垣2680) 伊120 伊92% 原60a (元) 援若 按

(即贷款) 的 30%) , 再 办理分期 付款 援

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阴 郑晶晶

王 争录
832000)

新疆石河子 (石河子大学,

做 人、 学 会 做 人是人生的 第 一要 务 , 中学生正 教 会 他们 如 何 做 人更是 处于 人生 关 键 的 十 字 路 口 , 学校 教学的重中 之 重。 中学的教学 任务 不 仅 是要教 从 某 种 角 度来 说 , 学生 成 才 , 更 应 该 教 会 他们 做 人。 人没 做好, 方向 错 了, 可 做人 即 成 人比 成 才 更重要, 能 危 害 更 大 。 因 此 必须 重 视 加 强 中学生的 做 人教 育。 笔者 以 为 , 通 过发 掘 各 门 学 科 蕴含 的 做 人教育 因素 对学生 进 行 针 对 性 的教育, 这 不 失 为 一 种简洁 有效 的教育 方式 , 这 种 潜 移 默化 的教育 方式 比 单 纯 本文就以 进行 做 人教育的 说 教更 有 利 于 学生 接 受 。 中学 历 史 这门 学 科 为 对 象 来 论 述 中学 历 史 教学中 蕴含 着 的 做 人教育 因 素 , 及 这 些 因 素 对学生 做 人 方 面 的 影响 。 也就是说, 本 研究 目的 就 是 论 述 如 何 利 用 中学 历 史 教学中的 有 关 因 素 对学生 进 行 相 关 的 做 人教育。 通 过 中学 历 史 教学, 使 学生 做 一个 顶 天 立 地、 堂堂 正正、 爱 国 爱 家 有 自信 心的人是 笔者 的 最终 目的。 下 面 就 具 体论 述 历 史 教学中 所 蕴含 的 做 人教育因素。 取向

一、 用历史人物的功过是非教育学生做人的价值 历 史 学是一 门 科 学, 它 是 研究 人 类发展 历 程 的 专门学问, 离 开 了人 以 及人的 活 动就 不 可 能 有 历 史 “史 圣 ” 司马迁提 出了 这一专门学问的存在 , 故 我国
咱1暂 成 一家之言 ” “究天人 之际, 通古今 之变, 的历史 教

离 开 了人 就 不 育宗旨。 历 史 离 不 开 人, 离不开人物, 可 能 有 历 史存 在 。 因 此 在 历 史 教学中 必须 重 视 人 物 要抓住历史人物 这 一 关 键 因 素 的教学, 也就是说, 从某种角 教学。 历 史 上 的 事 情 都 是 由 人 来 完 成 的, 度说, 历 史 学 就 是 研究 前 人 做 人 做 事 之 学。 在历史 教学中, 完 全 可 以通 过 人 物 的生 平经历 教育学生 到 底 应 该 做 一个 什 么 样 的人。 历 史 上 有 的人 物 如 屈 原、 苏 武、 岳飞、 文天祥、 方 孝孺 、 史可法、 郑成 功、 林 李林甫、 则 徐 等 死 后流 芳 百 世 , 有 的人 物 如 赵 高、 笔者 以 为 , 中学 历 史 秦桧 、 魏忠贤等死后 遗臭万年。 教 师在 讲 授 这 些 人 物 的时 候 , 可 以 让 学生 去 查 阅 相 关史 料 , 然 后在课堂进 行讨论 。 通 过讨论 , 让 学生

不论 般 规 律 的 探 究过程( 援 2) “120000 元 ” 购置楼房, , 展现了思维的灵动性 援 逆向性分类 (由结论找条件)

(1) 【注】 分 类 求 函 数式 是一个 从特殊 归纳出 一

是 笔者 从中如何引出一块玉 (分 类 的 意 识和 思 想) 撰 文的 归 宿 点 援在 教学中 让 学生 体 验 具 有 种 属 关 系 实 数 的 分 类) , 从解有 概念的分类原则 (如 有理 数 、 圆、 相 似 三 角 形) 中主动 关 “分 类 ” 的习 题 (如 动 点 、 “主 线 ” 思想就会逐 寻 找分 类 的 援久 之 , 分 类 的 意 识、
◢ 步生成 援阴

也 有 可 能 用 尽( 购买哪一层, 有可能出现剩余, 援 3) 只 以 上 列 举 了 诱发 学生 分 类讨论 的 七 种 因 素 ,

内 容) 而已, 不 过 是 抛 出 了一 块 “砖” (分 类 的 形 式 、
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