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直线与平面垂直的判定


1.直线和平面的位置关系 : (1)直线在平面内

a ??
a // ?
a ?? ? A
垂直是一种特殊的相交

(2)直线和平面平行
王新敞
奎屯 新疆

(3)直线和平面相交

l

o
?

A B E C

m

2.直线与平面垂直的画法:

直线与平面的 一条边垂直

l
?

P

l

o
?

A B E C

m

直线与平面垂直
A A B B
D D

A
C
D

如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:

l
C
P

?

?
C

A B

D

C

?

B

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折 ? 线与桌面所在平面 垂直. 后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)

3. 直线与平面垂直的判定定理:

如果直线 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直,那么直线 垂直平面 。 即:

l

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ?
a
m
P

n

【例1】 下列说法中正确的个数是(

)

①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α; ②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α; ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α; ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α; ⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

例2 . 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证 b ? ? . 证明:在平面 ? 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ? , 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

a

b
n

A 又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. ? m 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

【例3】 如图,已知△ABC中,∠ACB=90°, SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.
思考:(1)由SA⊥平面ABC可以得到什么? (2)要证AD⊥平面SBC还需证什么条件?
证明:∵∠ACB=90°, ∴BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC, ∴SA⊥BC. 又AC∩SA=A, ∴BC⊥平面SAC. ∵AD?平面SAC, ∴BC⊥AD. 又SC⊥AD,SC∩BC=C, ∴AD⊥平面SBC.

【练习 4】如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? AD ? a, AB ? 2a, E 为 C1D1 的中点. 求证: DE ? 平面BCE

巩固练习
1.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面ABCD中的射影

(2)AB1在面AA1D D1中的射影
(3)AB1在面BDD1B1中的射影
A1 D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)A1C1与面ABCD所成的角 (2)A1C1与面BB1C1C所成的角 (3) A1C1与面BB1D1D所成的角
A1 D1 B1 C1

D A B

C

1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定与性质
m ?? n ??

(2)a ? ? , b ? ? ? a ? b

? a?? b , a ? ? ? ( 3) ? ? (1) m ? n ? B ? ? l ? ? (4)a ? ? ,b ? ? ? a / /b l ? m ? ? l ?n ? ?

?

b?

(1)
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线,那 么此直线垂直 于这个平面。

直接法

直线与平面 垂直的判定

间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面,那么 另一条也垂直 于同一个平面。

定义法

如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线

此直线垂直于这个平面

(2)数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

1.如图, 在三棱锥V ? ABC中,VA ? VC, AB ? BC 求证VB ? AC
2.过?ABC所在平面? 外一点P, 作PO ? ? , 垂足为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA ? PB ? PC , ?C ? 900 , 则O是AB边的 __ 点. 2).若PA ? PB ? PC , 则O是?ABC的 _____ 心.

V

A
B

C

3).若PA ? PB, PB ? PC , PC ? PA则O是?ABC的 _____ 心.

3.已知:? ? ? =CD,EA ? ? , EB ? ? , 求证: CD ? AB .
E A

?

D

B

?

C


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