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车埠高中高一数学必修4三角恒等变换测试题



简单三角恒等变换单元测试
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.

7 7 2? ? sin 的值为( 16 8 12



A.

7 16

B.

7 32

C.

7 3 32

D.

7 3 16


2.若 sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? m ,且 ? 为第三象限角,则 cos ? 的值为(

A. 1 ? m2

B. ? 1 ? m2

C. m2 ?1

D. ? m2 ?1
) D.正三角形

3.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,则△ABC 一定是 ( A.直角三角形 B.等腰三角形 ) D. 2 )

C.等腰直角三角形

2cos10°-sin20° 4. 的值是 ( sin70° 1 A. 2 B. 3 2 C. 3

π 4 5.已知 x∈(- ,0),cosx= ,则 tan2x 等于 ( 2 5 7 A. 24 7 B.- 24 24 C. 7 24 D.- 7

6.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? ( 3
D. ?

)

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

5 3
)

4m-6 7.等式 sinα + 3cosα = 有意义,则 m 的取值范围是 ( 4-m 7 A.(-1, ) 3 7 B.[-1, ] 3 7 C.[-1, ] 3 7 D.[― ,―1] 3 )

1 8.已知α ∈(0,π ),且 sinα +cosα = ,则 tanα 的值为 ( 5 4 A.- 3 4 3 B.- 或- 3 4 3 C.- 4 ) 4 3 D. 或- 3 4

9.函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值为( A. 1 ? 2 B. 2 ? 1 C. 2 D.2

1

10.将函数 y ?

3 1 sin 2 x ? sin 2 x ? 的图象进行哪一种变换就变为一个奇函数的图象 ( 2 2



A.向左平移 C.向右平移

?
12

个单位 个单位

?

12

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

二.填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知 sin x ? cos x ? m, 求 sin x cos x 12.函数 f ( x) ? sin( ──────

2 ? 2 x ? ) ? sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 3 2 3


π 13.若 x= 是方程 2cos(x+α )=1 的解,α ∈(0,2π ),则α = 3 14.给出下面的 3 个命题: 函数 y ?| sin( 2 x ? (1)

? 3? ; 函数 y ? sin( x ? (2) ) 3 2 2 5? 3? 5? ) 的图象的一条对称轴.其 在区间 [? , (3) x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? ) 上单调递增; 2 2 4
) | 的最小正周期是
中正确命题的序号是 . 2 ,AC=2,AB=3,则 tanA= 2 ,△ABC 的面积为

?

15.在△ABC 中,sinA+cosA= 三.解答题 16.已知 cos α ?

12 , 求 sin α 和 tan α 13

2

β 1 α 2 π π 17.设 cos(α - )=- ,sin( -β )= ,且 <α <π ,0<β < ,求 cos(α +β ) . 2 9 2 3 2 2

π π 2 2 18.已知 6sin α +sinα cosα -2cos α =0,α ∈[ ,π ],求 sin(2α + )的值. 2 3

19.在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=2a,在 BC 上取一点 P,使得 AB+BP=PD,求 tan∠APD 的值.

3

20、已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x (1)求

f ( ) 值的; 3

?

(2)求 f ( x ) 的最大值和最小值。

21、已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3), n ? (cos A,sin A) 且 m ? n ? 1 , (1)求角 A; (2)若

??

?

?? ?

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tanC cos 2 B ? sin 2 B

4

三角恒等变换测试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1 C 2 B 3 B 4 C 5 D 6 A 7 C 8 A 9 A 10 A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11.

1 ? m2 2

4π 12. 3

13. [

?
3

,

5? ] 6

14.[解析]①②.③中 x ?

5 5 ? 是 y ? sin(2 x ? ? ) 的对称中心. 4 2
2 1 , ∴cos(A-45°)= . 2 2

15.[解析]sinA+cosA= 2cos(A-45°)=

∵0°<A<180°,∴A-45°=60°,A=105°, ∴tanA=tan(60°+45°)=―2― 3, sinA=sin(60°+45°)= 1 1 6+ 2 3 ∴S△ABC= AC·AB.s5inA= ×2×3× = ( 6+ 2). 2 2 4 4 三.解答题本题共小题 16.[解析]因为 cos α ? 6+ 2 , 4

12 >0,且 cosα ≠1,所以α 是第一或第四象限的角. 13

当 α 是第一象限的角时, sin α >0.

5 ? 12 ? sin α ? sin 1 ? cos 2 α ? 1 ? ? ? ? , ? 13 ? 13 sin α 5 13 5 tan α ? ? ? ? . cos α 13 12 12
当 α 是第四象限角时, sin α ? 0.

2

sin α ? ? 1 ? cos 2 α ? ? tan α ? sin α 5 ?? . cos α 12

5 , 13

(参考评分说明:写对角所在象限得 2 分,分两中情况每种得 6 分.)
5

α +β β α π π π β 17.[解析]:∵ =(α ― )―( -β ).∵α ∈( ,π )β ∈(0, ).∴ <α - <π , 2 2 2 2 2 4 2 - π α π β 1 β 4 5 α 2 α < -β < . ∴由 cos(α - )=- 得 sin(α - )= , sin( -β )= . cos( 由 得 4 2 2 2 9 2 9 2 3 2 5 α +β β α 7 5 7 5 2 .∴cos =cos[(α ― )―( ―β )]=…= .∴cos(α +β )=2×( ) 3 2 2 2 27 27

-β )=

239 -1=- . 729

(参考评分说明:把角分解得 2 分,求出角的范围的 2 分,求出三角函数值的 6 分,求出数值的 2 分)

π 2 1 2 18.[解析]:依题知α ≠ ,cosα ≠0.方程可化为 6tan α +tanα -2=0. ? tanα =- 或 2 3 2 π π π 3 2 2 (舍).∴sin(2α + )=sin2α cos +cos2α ·sin =sinα cosα + (cos α -sin α ) 3 3 3 2 = sinα cosα 3 cos α -sin α tanα 3 1-tan α 6 5 3 + · = + × =- + . 2 2 2 2 2 2 sin α +cos α 2 cos α +sin α 1+tan α 2 1+tan α 13 26
2 2 2

(参考评分说明:求出正切值得 5 分,两角和公式求值共 7 分,可按步骤给分)
2a 2 2 19.[解析]:如图作 PE⊥AD 于 E.设 BP=X. 则 x+a= (2a-x) +a ,∴x= , 3 2 4 + 3 3 2a 4 ∴AE=BP= ,DE=PC= a,∴tan∠APD=tan(∠1+∠2)= =18. 3 3 2 4 1- × 3 3 A E D

12

B

P

C

(参考评分说明:作出辅助线的 1 分,设出未知角得 1 分,列方程得 3 分,求出未知角得 2 分,求出正 切值得 5 分.)
20.[解析](1) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 3 3 4 4

(2)

f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x

2 7 ? 3(cos x ? )2 ? , x ? R, 3 3

? 3 c o2sx ?

4 cx ? os

1
2 7 时, f ? x ? 取最小值 ? 3 3

因为 cos x ? [?1,1], 所以当 cos x ? ?1 时, f ? x ? 取最大值 6;当 cos x ?

(参考评分说明:第一问 5 分; 第二问 7 分解析式 5 分,,最值 2 分.)
6

21、 (1)∵m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1 ,即 3 sin A ? cos A ? 1

?? ?

?

?

4分

2(sin A ?

3 1 ?? 1 ? ? cos A ? ) ? 1, sin ? A ? ? ? 2 2 6? 2 ?

6 6 1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 (2)由题知 2 2 cos B ? sin B
∴cos B ? 0 ,∴tan B ? tan B ? 2 ? 0 ,∴tan B ? 2 或 tan B ? ?1
2

∵0 ? A ? ? , ?

?

? A?

?

?

5? ? ? ? ,∴ A ? ? ,∴A ? 6 6 6 3

6分

10 分

而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去,∴tan B ? 2
2 2

11 分

∴tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B ? ? ? ? ?

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B
13 分

??

2? 3 8?5 3 ? 11 1? 2 3

7



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