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个性化辅导讲义1(高中数学基本初等函数知识点及经典例题)



个性化辅导讲义
学生: 科目: 数学 第 1 阶段第 1 次课 教研组签字: 教务处签字: 下节课教学内容:三角函数专题
课 题 基本初等函数专题 1、掌握指数及对数函数的概念、图象和性质 2、能由指数函数及对数函数的图象归纳出图像及其性质 3、函数图象的平移变换 4、指数函数及对数函数的运算 1、函数的图像及特殊性质,指数函数及对数函数的运算 2、底数 a

对于函数值变化的影响是难点 函数知识是高中数学的重点更是难点,也是常考点,考试题型灵活,必修1 中的函数的基本性质及基本初等函数是高中数学知识中的基础知识,需要 重视,在学习过程中要注意总结知识点,及掌握分类学习的方法,将知识 点进行归类, 由巩固基础知识到拔高难度的逐渐提升自己学习数学的能力。 教学内容 知识框架 知识考点一:指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 x ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次
n

教师: 日期:2013 年 1 月 24 日

教学目标

重点、难点

考点及考试要求

方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号

? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.
②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为 偶数时, a ? 0 .
n ③根式的性质:( n a ) ? a ; 当 n 为奇数时, a ? a ; 当 n 为偶数时,

n

n

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? . ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? 0.②正数的负分数指数幂的意义是: a
?

m n

n

a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于
1 m 1 ? ( ) n ? n ( ) m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 的负分 a a

m n

数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质① a ? a ? a
r s r ?s

(a ? 0, r , s ? R) ② (a r )s ? a rs (a ? 0, r , s ? R)

③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r r

1

个性化辅导讲义
知识考点二:指数函数及其性质 函数 名称 定义
x

指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y
图象

y ? ax

y

y ?1
(0,1)

y ?1

(0,1)

O
定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况

1

x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变
化对 图 象的影响 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

知识考点二:对数函数及其性质 (1)对数的定义

2

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①若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做
x

底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? log a N ? a ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒
x

等式。 log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a ? b
b

(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 …) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ①加法: log a M ? log a N ? log a ( MN ) ②减法: log a M ? log a N ? log a ③数乘: n log a M ? log a M (n ? R) ④ a
n

M N

log a N

?N
logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

⑤ log ab M n ? 对数函数图像 函数 名称 定义

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a N ?

对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x ?1

y ? log a x

y

x ?1

y ? log a x

图象

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 在 (0, ??) 上是增函数
3

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

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函数 值的 变化 情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变
化 对 图象的 影响 知识考点性质三 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象
?

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时, 图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于 原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,
4

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则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??) 上为 减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数, 当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q p

q (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数 p
q p

时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,
q

则 y ? x p 是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 , 其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在 直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方. 经典例题 ¤例题精讲: 【例 1】求下列各式的值:
n (3 ? ?) (1) n ( n ? 1, 且n ? N * ) ;

?

(2) ( x ? y ) 2 .

n (3 ? ?) ? 3?? ; 解: (1)当 n 为奇数时, n
n (3 ? ?) ?| 3 ? ? |? ? ? 3 . 当 n 为偶数时, n

(2) ( x ? y ) 2 ?| x ? y | . 当 x ? y 时, ( x ? y )2 ? x ? y ;当 x ? y 时, ( x ? y )2 ? y ? x . 【例 2】已知 a 2 n ? 2 ? 1 ,求 解:
a3n ? a ?3n an ? a?n
a3n ? a ?3n 的值. an ? a?n (a n ? a ? n )(a 2 n ? 1 ? a ?2 n ) 1 ? ? a 2n ? 1 ? a ?2n ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 ?1. n ?n a ?a 2 ?1

2 1 1 5 1 1 2 4 a 3b 2 3 ab 2 (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; 【例 3】 化简: (1) (2) 1 1 (a>0, b>0) ; (3) 81? 9 3 . b (a 4 b 2 )4 ? 3 a

解: (1)原式= [2 ? ( ?6) ? ( ?3)]a 3 (2)原式=
a 2 b ? [(ab 2 ) 3 ] 2 ab 2 ? (b / a )
4
1 3 3 1 1

2 1 1 ? ? 2 6

b2
1

1 1 5 ? ? 3 6

? 4ab 0 ? 4a .
4

=

a 2b ? a 6b3 a b
4
2 3 7 3

3

1

10

=

a 6 b3 a b
4
2 3 7 3

=

a . b
2
2 1 1 2 1 1

(3)原式= 34 ? [(3 ) ] ? 34 ? 3

2 1 2 3 2

2 1 ?2? 3 2

? 34 ? 33 ? (34 ? 3 3 ) 4 ? (34 ) 4 ? (3 3 ) 4 ? 3 ? 3 6 ? 3 6 3 .

【例 4】化简与求值: (1) 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ; (2)
1 1? 3 ? 1 3? 5 ? 1 5? 7 ? ??? ? 1 2n ? 1 ? 2 n ? 1

.

解: (1)原式= 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 = (2 ? 2) 2 ? (2 ? 2) 2 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 =4.

5

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3 ?1 5? 3 7? 5 2n ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? ??? ? 3 ?1 5?3 7?5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 1 1 = ( 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 5 ? ??? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1) = ( 2n ? 1 ? 1) . 2 2 【例 1】求下列函数的定义域: 1 10 x ? 100 1 (1) y ? 2 3? x ; (2) y ? ( ) 5? x ; (3) y ? x . 10 ? 100 3

(2)原式=

解: (1) 要使 y ? 2 3? x 有意义, 其中自变量 x 需满足 3 ? x ? 0 , 即 x ? 3 . ∴ 其定义域为 {x | x ? 3} . 1 ( 2 )要使 y ? ( ) 5? x 有意义,其中自变量 x 需满足 5 ? x ? 0 ,即 x ? 5 . ∴ 其定义域为 3 {x | x ? 5} . (3)要使 y ?
{x | x ? 2} .

1

10 x ? 100 有意义,其中自变量 x 需满足 10x ? 100 ? 0 ,即 x ? 2 . ∴其定义域为 x 10 ? 100

【例 2】求下列函数的值域: 1 2 (1) y ? ( ) 3 x ?1 ; (2) y ? 4x ? 2x ? 1 3 1 2 1 2 解: (1) 观察易知 ? 0 , 则有 y ? ( ) 3 x ?1 ? ( )0 ? 1 . 3 3 3x ? 1 (2) y ? 4 x ? 2 x ? 1 ? (2 x )2 ? 2 x ? 1 .

∴ 原函数的值域为 { y | y ? 0, 且y ? 1} .

1 3 令 t ? 2 x ,易知 t ? 0 . 则 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? . 2 4 1 3 结合二次函数的图象,由其对称轴观察得到 y ? (t ? )2 ? 在 t ? 0 上为增函数, 2 4 1 3 1 3 所以 y ? (t ? )2 ? ? (0 ? )2 ? ? 1. ∴ 原函数的值域为 { y | y ? 1} . 2 4 2 4 【例 3】 (05 年福建卷.理 5 文 6)函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论 正确的是( ). A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 解:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f ( x) 为减函数,从而 0<a<1;从

曲线位置看,是由函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的图象向左平移|-b|个单位而得, 所以-b>0,即 b<0. 所以选 D. 【例 4】已知函数 f ( x) ? a 2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) . (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性. 2 解: (1)当 2 ? 3x ? 0 ,即 x ? 时, a2?3 x ? a0 ? 1 . 3 2 所以,该函数的图象恒过定点 ( ,1) . 3 (2)∵ u ? 2 ? 3x 是减函数, ∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是增函数; 当 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是减函数. 【例 1】按从小到大的顺序排列下列各数: 3 2 , 0.3 2 , 2 2 ,
0.2 2 . 解:构造四个指数函数,分别为 y ? 3x , y ? 0.3x , y ? 2 x ,

y ? 0.2 x ,它们在第一象限内, 图象由下至上, 依次是 y ? 0.2 x , y ? 0.3x , y ? 2 x , y ? 3x . 如右图所示.
6

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由于 x ? 2 ? 0 ,所以从小到大依次排列是:
0.2 2 , 0.3 2 , 2 2 , 3 2 . 2x ? 1 【例 2】已知 f ( x) ? x . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; 2 ?1 解: (1) f ( x) 的定义域为 R.

(2)讨论 f ( x) 的单调性.

2? x ? 1 (2? x ? 1)?2 x 1 ? 2 x 2x ? 1 ? ? ? ? ? ? f ( x) . 2? x ? 1 (2? x ? 1)?2 x 1 ? 2 x 2x ? 1 ∴ f ( x) 为奇函数.

∵ f ( ? x) ?

(2)设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) . ? x2 ? x1 x1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

由于 x1 ? x2 ,从而 2 x1 ? 2 x2 ,即 2x1 ? 2x2 ? 0 . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x) 为增函数.
2

【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ? a x 解: (1)设 y ? au , u ? x 2 ? 2 x ? 3 .

? 2 x ?3



(2) y ?

1 . 0.2 x ? 1

由 u ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4 知, u 在 (??, ?1] 上为减函数,在 [?1, ??) 上为增函数. 根据 y ? au 的单调性,当 a ? 1 时,y 关于 u 为增函数;当 0 ? a ? 1 时,y 关于 u 为减函数. ∴ 当 a ? 1 时,原函数的增区间为 [?1, ??) ,减区间为 (??, ?1] ; 当 0 ? a ? 1 时,原函数的增区间为 (??, ?1] ,减区间为 [?1, ??) . 1 (2)函数的定义域为 {x | x ? 0} . 设 y ? , u ? 0.2 x . 易知 u ? 0.2 x 为减函数. u ?1 1 而根据 y ? 的图象可以得到,在区间 (??,1) 与 (1, ??) 上,y 关于 u 均为减函数. u ?1 ∴在 (??,0) 上,原函数为增函数;在 (0, ??) 上,原函数也为增函数. ¤例题精讲: 【例 1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 (1) 2?7 ? ; (2) 3a ? 27 ; (3) 10?1 ? 0.1 ; 128 (4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ; (6)ln100=4.606.
2

解: (1) log 2

1 ? ?7 ; 128

(2) log3 27 ? a ;

(3) lg 0.1 ? ?1 ;

1 (4) ( )?5 ? 32 ; (5) 10?3 ? 0.001 ; (6) e4.606 ? 100 . 2 【例 2】计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ; (3) ln e .

解: (1)设 lg 0.001 ? x ,则 10 x ? 0.001 ,即 10x ? 10?3 ,解得 x ? ?3 . 所以, lg 0.001 ? ?3 . 3 3 (2)设 log 4 8 ? x ,则 4 x ? 8 ,即 22 x ? 23 ,解得 x ? . 所以, log 4 8 ? . 2 2 1 1 1 (3)设 ln e ? x ,则 e x ? e ,即 e x ? e 2 ,解得 x ? . 所以, ln e ? . 2 2 M 【例 3】求证: (1) log a a n ? n ; (2) log a M ? log a N ? log a . N 证明: (1)设 log a a n ? x ,则 an ? a x ,解得 x ? n . 所以 log a a n ? n . (2)设 log a M ? p , loga N ? q ,则 a p ? M , aq ? N .
7

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M ap M ? q ? a p ? q ,则 loga ? p ? q ? log a M ? loga N . N a N M 所以, log a M ? log a N ? log a . N log c b 【例 4】试推导出换底公式: log a b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). log c a

因为

证明:设 logc b ? m , logc a ? n , log a b ? p , 则 cm ? b , cn ? a , a p ? b . 从而 (cn ) p ? b ? c m ,即 np ? m . 由于 n ? logc a ? logc 1 ? 0 ,则 p ? 所以, log a b ? 针对性练习 一、选择题: 1.
log c b . log c a

m . n

log8 9 的值是 log 2 3
A.

()

3 D.2 2 2.若 log2 [log 1 (log 2 x)] ? log3 [log 1 (log 3 y)] ? log5 [log 1 (log 5 z )] =0,则 x、y、z 的大小关系是
B.1 C.
2 3 5

2 3

() A.z<x<y B.x<y<z
3

C.y<z<x

D.z<y<x ()

3.已知 x= 2 +1,则 log4(x -x-6)等于 A.

3 2

B.

5 4

C.0

D.

1 2
()

4.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于 lg 15

A.

2a ? b 1? a ? b

B.

a ? 2b 1? a ? b

C.

2a ? b 1? a ? b

D.

a ? 2b 1? a ? b
()

5.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 y A.1 B.4 C.1 或 4 D.4

6.函数 y = log 1 (2 x ? 1) 的定义域为
2

() C.(

A.(

1 ,+∞) 2
2

B. [1,+∞ )

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) ()

7.已知函数 y=log 1 (ax +2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是
2

A.a>1

B.0≤a<1

C.0<a<1
8

D.0≤a≤1

个性化辅导讲义
8.已知 f(e )=x,则 f(5)等于 A.e
5

x

()
e

B.5

C.ln5

D.log5e () y x x

9.若 f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1), 且f ?1 (2) ? 1, 则f ( x) 的图像是 y x y x y

O

O

O

O

10.若 y ? ? log 2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是()
2

A. [2 ? 2 3, 2]
2

B. ?2 ? 2 3, 2

?

?

C. 2 ? 2 3, 2?

?

?

D. 2 ? 2 3, 2

?

?
()

11.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0}, B ? {x | log 2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于 A. {x | x ? 1} C. {x | x ? ?1} 12.函数 y ? ln A. y ? B. {x | x ? 0} D. {x | x ? ?1或x ? 1}

x ?1 , x ? (1,??) 的反函数为 x ?1
B. y ?

()

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

C. y ?

D. y ?

二、填空题: 13.计算:log2.56.25+lg
2

1 1?log2 3 +ln e + 2 =. 100
0.9 0.8

14.函数 y=log4(x-1) (x<1=的反函数为 ______. 15.已知 m>1,试比较(lgm) 与(lgm) 的大小. 16.函数 y=(log 1 x) -log 1 x +5 在 2≤x≤4 时的值域为______1、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下
2 2

4

4

列各式中正确的是(
m n A、 a ? a ? a m n



a ?a B、 a ?
m n

m ?n

m C、 a

? ?

n

? a m?n

D、 1 ? a ? a
n

0? n

2、已知 f (10 ) ? x ,则 f (5) ?
x



) C、 lg10 (
9

A、 10

5

B、 5

10

D、 lg 5 )

3、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是

个性化辅导讲义
①若 M ? N 则 log a M ? log a N ;②若 log a M ? log a N 则 M ? N ;③若 log a M ? log a N 则
2 2

M ? N ;④若 M ? N 则 log a M 2 ? log a N 2 。
A、①②③④ B、①③
x

C、②④
2

D、② ( )

4、设集合 S ? { y | y ? 3 , x ? R}, T ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则 S ? T 是 A、 ? B、 T C、 S ( C、 ? 2, ?? ?
?1.5

D、有限集 ) D、 ? 3, ?? ?

5、函数 y ? 2 ? log 2 x( x ≥ 1) 的值域为 A、 ? 2, ?? ? 6、设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

B、 ? ??, 2 ?
0.48

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

,则(

) C、 y1 ? y3 ? y2 ( ) C、 2 ? a ? 5 ) D、3 )
2

A、 y3 ? y1 ? y2

B、 y2 ? y1 ? y3

D、 y1 ? y2 ? y3

7、在 b ? log ( a ? 2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是 A、 a ? 5或a ? 2
2

B、 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5
2

D、 3 ? a ? 4

lg 5 等于 ( 8、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2?
A、0 B、1 C、2

9、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log 3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 10、若 10 A、
2x

B、 a ? 2

C、 3a ? (1 ? a) ( ) C、

D、 3a ? a ? 1
2

? 25 ,则 10 ? x 等于
B、 ?

1 5

1 5

1 50

D、

1 625

11、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格比较, 变化的情况是( ) A、减少 7.84% B、增加 7.84% C、减少 9.5% D、不增不减 12、若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 ? a, 2a ? 上的最大值 是最小值的3 倍,则 a 的值为( )

A、

2 4

B、

2 2

C、

1 4

D、

1 2

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填写在答题卡上) 13、化简 log 2 (1 ? 2 ? 3) ? log 2 (1 ? 2 ? 3) ? 14、 log 6 ? log 4 (log3 81)? 的值为 。 。 。

15、某企业生产总值的月平均增长率为 p ,则年平均增长率为
10

个性化辅导讲义
16、若 log x

?

2 ? 1 ? ?1 ,则 x ?

?



三、解答题: (本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、化简或求值: (14 分) (1)

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?

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