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高中数学人教A版必修5课件:2.5 等比数列的前n项和



2.5 等比数列的前n项和

1.理解并掌握等比数列的前n项和公式及其推导方法. 2.能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题. 3.掌握等比数列的前n项和的性质及应用.

1

2

1.等比数列的前n项和公式与函数的关系 剖析:(1)当公比q≠1时,我们已经求得等比数列的前n项和公式是

Sn=

1 (1- ) 1 n 1 1 , 它可以变形为Sn=? · q+ , 设A= , 上式可写成 1- 1- 1- 1-

Sn=-Aqn+A.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是关于n 的指数型函数,而指数式的系数与常数项互为相反数;当公比q=1时, 因为a1≠0,所以Sn=na1是关于n的正比例函数. (2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上 的一群孤立的点;当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函 数y=a1x图象上的一群孤立的点.

1

2

2.等比数列前n项和的性质 剖析:若等比数列{an}的公比为q,则有以下性质: (1)若某数列的前n项和公式为Sn=-A· qn+A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N*), 则此数列一定是等比数列. (2)在等比数列中,间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列. 即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,公比为qn(q≠-1). (3)当总项数为2n时,S偶=qS奇.

(4)a1· a2· a3· …· an=

1

(-1) · 2

=

(a1· a)2 ,

(5)Sn+m=Sn+qnSm.
(6)数列{an}为等比数列?Sn=Aqn+B(A=-B≠0).

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

等比数列前 n 项和的有关计算问题

【例1】 在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 分析:已知an,Sn,q,可列方程组求a1和n.

解:由 Sn=

1 (1- ) 及an=a1· qn-1, 1-

1 (1-2 ) ① 得 189 = 1-2 ,
96 = 1 · 2 -1 . =
2

② ,

189 ①÷ ②,得 96

2 -1
-1

解得 2n=64,则 n=6.代入①,得 a1=3.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 等比数列的前n项和公式中共有五个量:Sn,an,a1,q,n.“知三求 二”是常见题型,常用解方程组的方法求得,解方程组消元的策略是 将所得方程相除.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 在等比数列{an}中, (1)若 q=2,S4=1,求 S8; (2)若 a1+a3=10,a4+a6 = 4 , 求a4 和 S5.
5

解:(1)设首项为 a1,∵q=2,S4=1, ∴
1 (1-24 ) 1-2

= 1, 即a1 = 15. =
1 8 ( 1 2 ) 15

1

∴S8 =

1 (1-8 ) 1-

1-2

= 17.

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 1 + 1 2 = 10,

5 1 + 1 = , 4
3 5 3 2



1 (1 + 2 ) = 10,



5 1 (1 + ) = .② 4
1 1

∵a1≠0,1+q2≠0, ②÷ ①,得 q3 = 8 , 即q= 2 , ∴a1=8. ∴a4=a1
S5 = q3=8 × =
1 3 2

= 1, = 2.
31

1 (1-5 ) 1-

1 5 8× 1- 2 1 1-2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

等比数列前 n 项和性质的应用

【例2】 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 分析:用求和公式直接求解或用性质求解. 解法一:∵S2n≠2Sn,∴q≠1. ① 1 (1- ) = 48, 1- 由已知,得 1 (1-2 ) = 60. 1- ②

②÷ ①,得 1+q =
n

③代入①,得
故 S3n=

1 = 64. 1- 1 (1-3 ) = 64 × 1-

5 1 n , 即q = . ③ 4 4 1 4
3

1-

= 63.

题型一

题型二

题型三

题型四

解法二:∵数列{an}为等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),

∴S3n=

(2 - )2

+ 2n=

(60-48)2 48

+ 60=63.

反思 此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立 方程组,求出a1和q,再求解;这种方法思路自然清晰,但有时运算较为 复杂.如果能联想相关性质,运用性质求解,可以提高解题速度,减少 解题时间.特别是在客观题解答中,有时能起到事半功倍之效.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练2】 一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项 的和为85,偶数项的和为170,求出该数列的公比和项数. 解:设该等比数列为{an}, ∵项数是偶数,∴S偶=qS奇, ∴85q=170,∴q=2. 又Sn=85+170=255,



1 (1- ) 1-

= 255, ∴

1-2 1-2

= 255.

∴2n=256,∴n=8.
故公比q=2,项数n=8.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

实际应用问题

【例 3】 某地本年度旅游业收入估计为 400 万元,由于该地出 台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会
1 比上一年增加 4.

(1)求 n 年内旅游业的总收入; (2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过 8 000 万元.

分析:(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列,再转化 为求等比数列前n项和;(2)利用(1)的结论,转化为解不等式.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)设第 n 年的旅游业收入估计为 an 万元, 则 a1=400,an+1 =

+1 5 ∴ = . 4
1 (1- ) 1- 5 4

1 1+ 4

=

5 , 4

∴数列{an}是公比为 4 的等比数列. ∴Sn=
=
5 400 1- 4 5 1-4

5

=1 600

-1 ,
5 4

即 n 年内旅游业总收入为 1 600

-1 万元.

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)由(1)知 Sn=1 600 即 1 600 ∴
5 > 4 lg6 5 4 5 4

5 4

-1 , 令Sn>8 000,

-1 > 8 000, > lg 6.

6.∴lg

∴n>

5≈8.029 lg4

6.

∴大约 9 年后,旅游业总收入超过 8 000 万元.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 解数列应用题的具体步骤是: (1)认真审题,理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题,还是等 比数列问题,还是递推数列问题?是求an,还是求Sn?特别要注意准确 弄清项数为多少. ②弄清题目中主要的已知事项. (2)抓住数量关系,联想所学的数学知识和数学方法,恰当地引入 参数变量,并将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子 表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求的量联系起来,并 根据题意列出数学关系式.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以 后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%.试问这个热气球上升的高度能超过125 m吗? 解:用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度,

由题意,得 an+1 =

4 , 5

因此,数列{an}是首项 a1=25,公比 q=

4 的等比数列. 5

热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn=a1+a2+…+an= =125 × 14 5 1 (1- ) 1-

=

4 25× 1- 5 4 1-5

< 125.

故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

易错点:求和时忽略公比是否为 1 致错 【例 4】 已知在等比数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,a1=2,S3=6, 求 a3 和 q. 错解:由等比数列的前 n 项和公式, 得 S3 =
1 (1-3 ) 1-

=

2(1-3 ) 1-

= 6, 解得q=-2.

故 a3=a1q2=2×(-2)2=8. 错因分析:在上面的求解过程中,没有讨论公比 q 是否为 1,就直 接使用了等比数列的前 n 项和公式 Sn= 从而有可能出现漏解情况.
1 (1- ) , 1-

题型一

题型二

题型三

题型四

正解:若q=1,则S3=3a1=6,符合题意. 此时,q=1,a3=a1=2. 若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,

得 S3 =

1 (1-3 ) 1-

=

2(1-3 ) 1-

= 6,

解得q=1(舍去)或q=-2. 此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8. 综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.
反思 在使用等比数列的前 n 项和公式解题时,要注意对公比 q
1 (1- ) . 1-

是否为 1 进行讨论.当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn=



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