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解析中国数学奥林匹克十九届试题



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2004 年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题
(第一天) (2004 年 1 月 8

日上午 8:00~12:30 澳门)

1. 凸四边形 EFGH 的顶点 E,F,G,H 分别在凸四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上,

满足

AE BF CG DH 而点 A,B,C,D 分别在凸四边形 E1F1G1H1 的边 E1F1, ? ? ? =1, EB FC GD HA

F1G1, G1H1, H1E1 上,满足 E1F1∥EF,F1G1∥FG,G1H1∥GH,H1E1∥HE.已



E1 A FC = λ ,求 1 的值. AH1 CG1

2. 已知正整数 c,设数列 x1 , x2 ,? 满足:

? 2x ? ( n + 2) ? x1 = c ,且 xn = xn ?1 + ? n ?1 ? + 1 ( n = 2,3,?) , n ? ?
其中[x]表示不大于 x 的最大整数. 求数列 { xn } 的通项公式.

3. 设 M 是平面上 n 个点组成的集合,满足:

(1)M 中存在 7 个点,是一个凸七边形的 7 个顶点; (2)M 中任意 5 个点,若这 5 个点是一个凸五边形的 5 个顶点,则此凸五边形 内部至少含有 M 中的一个点. 求 n 的最小值.

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2004 年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题
(第二天) (2004 年 1 月 9 日上午 8:00~12:30 澳门)

4. 给定实数 a 和正整数 n,求证: (1)存在唯一的实数数列 x0 , x1 , ? , xn +1 满足:
? x0 = xn +1 = 0 ? ; ?1 3 3 ? 2 ( xi +1 + xi ?1 ) = xi + xi ? a ( i = 1 , 2 , ? , n ) ?

(2) 1)中的数列 x0 , x1 , ? , xn +1 满足 xi ≤ a (

( i = 0 , 1 , ? , n + 1) .

5. 给定正整数 n≥2,设正整数 ai ( i = 1 , 2 , ? , n ) 满足: a1 < a2 < ? < an 以及 ∑
i =1 n

1 ≤1 . ai

? n 1 求证:对任意实数 x,有 ? ∑ 2 ? a + x2 ? i =1 i

? 1 1 ? ≤ ? . ? 2 a1 (a1 ? 1) + x 2 ?

2

6. 证明:除了有限个正整数外,其他的正整数 n 均可表示为 2004 个正整数之

和 n = a1 + a2 + ? + a2004 ,且满足:

1 ≤ a1 < a2 < ? < a2004 , ai | ai +1 ( i = 1 , 2 , ? , 2003)

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