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2017届高考数学大一轮总复习 26 平面向量基本定理及坐标表示 理



计时双基练二十六

平面向量基本定理及坐标表示
A 组 基础必做

1.下列各组向量:①e1=(-1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5),e2=(6,10);③e1=(2,

?1 3? -3),e2=? , ?,能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( ?2 4?
A.① C.②③ B.①

③ D.①②③

)

1 解析 ②中,e1= e2,即 e1 与 e2 共线,所以不能作为基底。 2 答案 B 2. (2016?南宁模拟)已知平面向量 a=(1,2), b=(-2, m), 且 a∥b, 则 2a+3b=( A.(-5,-10) C.(-3,-6) B.(-2,-4) D.(-4,-8) )

解析 ∵a∥b,∴1?m=2?(-2),即 m=-4。 ∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8)。 答案 D 3.设向量 a=(x,1),b=(4,x),且 a,b 方向相反 ,则 x 的值是( A.2 C.±2 B.-2 D.0 )

? ?4=mx, 解析 因为 a 与 b 方向相反,所以 b=ma,m<0,则有(4,x)=m(x,1),∴? ?x=m, ?

解得 m=±2。又 m<0, ∴m=-2,x=m=-2。 答案 B 4.(2016?河南省开封市高三第一次模拟考试)在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N → → → 为 AM 中点,AN=λ AB+μ AC,则 λ +μ 的值为( A. C. 1 2 1 4 B. 1 3 )

D.1

解析 ∵M 为边 BC 上任意一点, → → → ∴可设AM=xAB+yAC(x+y=1)。 ∵N 为 AM 中点,

1

→ 1→ 1 → 1 → → → ∴AN= AM= xAB+ yAC=λ AB+μ AC。 2 2 2 1 1 ∴λ +μ = (x+y)= 。 2 2 答案 A 5.若 α ,β 是一组基底,向量 γ =xα +yβ (x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基 底 α ,β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2), 则 a 在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( A.(2,0) C.(-2,0) )

B.(0,-2) D.(0,2)

解析 由题意,a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4)。 设 a 在基底 m,n 下的坐标为(λ ,μ ),则

a=λ (-1,1)+μ (1,2)=(-λ +μ ,λ +2μ )=(2,4)。
? ?-λ +μ =2, 故? ?λ +2μ =4, ? ? ?λ =0, 解得? ?μ =2, ?

即坐标为(0,2)。

答案 D 6.(2015?北京东城期末)在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC → → → =2,点 E 在线段 CD 上,若AE=AD+μ AB,则 μ 的取值范围为( A.[0,1] B.[0, 3] )

? 1? C.?0, ? ? 2?

?1 ? D.? ,2? ?2 ?

→ → 解析 由题意可求得 AD=1,CD= 3,所以AB=2DC。 → → 因为点 E 在线段 CD 上,所以DE=λ DC(0≤λ ≤1)。 → → → 因为AE=AD+DE, → → → → → → 2μ → 又AE=AD+μ AB=AD+2μ DC=AD+ DE, λ 2μ λ 所以 =1,即 μ = 。因为 0≤λ ≤1, λ 2 1 所以 0≤μ ≤ ,故选项 C 正确。 2 答案 C 7.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC。已知点 A(-2,0),

B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为________。
解析 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行, 可以判断该四边形 ABCD 是平行四边形。

2

→ → 设 D(x,y),则有AB=DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得(x,y)=(0,-2), 即 D 点的坐标为(0,-2)。 答案 (0,-2) → → 8. 已知 A(-3,0), B(0, 3), O 为坐标原点, C 在第二象限, 且∠AOC=30°, OC=λ OA → +OB,则实数 λ 的值为________。 → → → 解析 由题意知OA=(-3,0),OB=(0, 3),则OC=(-3λ , 3),由∠AOC=30°知, 3 3 以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为 150°,则 tan 150°= ,即- = -3λ 3 - 3 ,故 λ =1。 3λ 答案 1 9.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a+c,b),q=(b-a,c -a),且 p∥q,则角 C=________。 解析 因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,

a2+b2-c2 1 所以 a +b -c =ab, = , 2ab 2
2 2 2

1 根据余弦定理知,cos C= ,又 0°<C<180°, 2 所以 C=60°。 答案 60° 10.已知 a=(1,0),b=(2,1)。求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解 (1)因为 a=(1,0),b=(2,1),所以 a+3b=(7,3),
2 2

故|a+3b|= 7 +3 = 58。 (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=- 。 3

? 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=?- ,-1?, ? 3 ?
a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b),
即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反。 11.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1)。

3

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d。 解 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 m= , ? ? 9 得? 8 n= 。 ? ? 9

?-m+4n=3, ? ∴? ?2m+n=2, ?

(2)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 16 ∴2?(3+4k)-(-5)?(2+k)=0,k=- 。 13 (3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
? ?4?x-4?-2?y-1?=0, 由题意得? 2 2 ??x-4? +?y-1? =5, ?

得?

? ?x=3, ?y=-1 ?

或?

? ?x=5, ?y=3。 ?

故 d=(3,-1)或(5,3)。 B 组 培优演练

→ 2→ 1→ 1.在△ABC 中,点 P 是 AB 上的一点,且CP= CA+ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 与 CP 的交 3 3 → → 点为 M,又CM=tCP,则 t 的值为( A. C. 1 2 3 4 ) B. D. 2 3 4 5

→ 2→ 1→ → → → → → → → → → 解析 因为CP= CA+ CB,所以 3CP=2CA+CB,即 2CP-2CA=CB-CP,所以 2AP=PB, 3 3 → → → → 故 P 是 AB 的一个三等分点。因为 A、M、Q 三点共线,所以可设CM=xCQ+(1-x)?CA,则CM

x→ → → → → → x→ ?x ?→ = CB+(x-1)AC(0<x<1),又CB=AB-AC,所以CM= AB+? -1?AC。 2 2 ?2 ? x→ ?x ?→ ? → 1→? → → → → 1→ → → 因为CP=CA-PA=-AC+ AB, 且CM=tCP(0<t<1), 所以 AB+? -1?AC=t?-AC+ AB?, 3 ? 3 2 ?2 ? ? x t x 3 所以 = , -1=-t,解得 t= ,故选 C。 2 3 2 4
答案 C 2. (2016?九江模拟)P={a|a=(-1,1)+m(1,2), m∈R}, Q={b|b=(1, -2)+n(2,3),

n∈R}是两个向量集合,则 P∩Q 等于________。
4

解析 P 中,a=(-1+m,1+2m),Q 中,b=(1+2n,-2+3n)。
?-1+m=1+2n, ? 则? ?1+2m=-2+3n。 ?

得?

?m=-12, ? ?n=-7。 ?

此时 a=b=(-13,-23)。 答案 {(-13,-23)} → → → 3.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,

C 三点不能构成三角形,则 + 的最小值为________。 a b
→ → → 解析 AB=OB-OA=(a-1,1), →

1 2

AC=OC-OA=(-b-1,2)。
由题意可知,A,B,C 三点共线, → → ∴AB∥AC。 ∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1,且 a>0,b>0。 1 2 ?1 2? ∴ + =? + ?(2a+b)

→ →

a b ?a b? a b

b 4a =4+ + ≥4+2
当且仅当 =

b 4a ? =8。 a b

b 4a 1 1 ,即 b= ,a= 时取等号。 a b 2 4

1 2 ∴ + 的最小值是 8。

a b

答案 8 → → → 4.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由。 解 → → (1)∵OA=(1,2),AB=(3,3),

→ → → ∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t)。 2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3
? ?1+3t<0, 若点 P 在第三象限,则? ?2+3t<0。 ?

2 解得 t<- 。 3

5

→ → (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则OP=AB,
? ?1+3t=3, ∴? ?2+3t=3。 ?

∵该方程组无解,∴四边形 OABP 不能成为平行四边形。

6



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