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答题模板(四)利用错位相减法解决数列求和



答题模板(四)利用错位相减法解决数列求和
用错位相减法解决数列求和问题答题模板
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[典例] (2013·山东高考)(12 分)设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b b b 1 (2)若数列{bn}满足 1

+ 2+…+ n=1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.

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[典例] (2013·山东高考)(12 分)设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.
第(1)问

【审题规范】第1步:审结论,明解题方向
观察所求结论:求{an}的通项公式
由于{ n}

a

为等差数列

应求 a1 和 d.

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[典例] (2013·山东高考)(12 分)设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b b b 1 (2)若数列{bn}满足 1+ 2+…+ n=1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.
第(1)问

【审题规范】第2步:审条件,挖解题信息
观察条件:{an}为等差数列, 建立关于a1 S4=4S2,a2n=2an+1 和d的方程组
4a1+ 6d=8a1+4d, a1+ 2n- 1 d= 2a1+2 n-1 d+ 1.

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[典例] (2013·山东高考)(12 分)设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.
第(1)问 【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口
可求a1和d 由 S4=4S2,a2n=2an+1 建立关于 a1 和 d 的方程组

a1=1,d=2

利用公式

an=2n-1.

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第(1)问 【审题规范】第1步:审结论,明解题方向 观察所求结论:求{an}的通项公式 第(1)问 【审题规范】第2步:审条件,挖解题信息
观察条件:{an}为等差数列, 建立关于a1 S4=4S2,a2n=2an+1 和d的方程组
4a1+ 6d=8a1+4d, a1+ 2n- 1 d= 2a1+2 n-1 d+ 1.

由于{ n}

a

为等差数列

应求 a1 和 d.

第(1)问 【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口
可求a1和d 由 S4=4S2,a2n=2an+1 建立关于 a1 和 d 的方程组

a1=1,d=2

利用公式

an=2n-1.

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[典例] (2013·山东高考)(12 分)设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.
第(2)问 【审题规范】第1步:审结论,明解题方向
观察所求结论:求 {bn}的前 n 项和 Tn
应求{bn}的通项公式 bn.

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[典例] (2013·山东高考)(12 分)设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.
第(2)问 【审题规范】第2步:审条件,挖解题信息
b b 观察条件: 1+ 2+ a1 a2 b 1 …+ n=1- n an 2
bn { } 的前 n 项 an 1 和为 An=1- n 2

b 利用 n=An- 由(1)知 a n an b An-1 可求 n an

可求 bn

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[典例] (2013·山东高考)(12 分)设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.
3的范围 2x-3(π)∈3(8π)

第(2)问 【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口
b1 b2 由 + +…+ a1 a2 bn 1 bn = 1- n求 an 2 an
bn =An-An-1 an bn

1 = n an 2

由(1)知 an=2n-1

可求 bn=

2n-1 利用错 2n 位相减法

求 Tn .

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第(2)问
【审题规范】第1步:审结论,明解题方向 观察所求结论:求 应求{bn}的通项公式 bn. {bn}的前 n 项和 Tn 第(2)问

【审题规范】第2步:审条件,挖解题信息 bn b1 b2 b { } 的前 n 项 观察条件: + + 利用 n=An- 由(1)知 a an n a1 a2 an 1 和为 An=1- n bn 1 b 2 …+ =1- n An-1 可求 n an 2 an
【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口
b1 b2 由 + +…+ a1 a2 bn 1 bn = 1- n求 an 2 an
bn =An-An-1 an bn

可求 bn

第(2)问

1 = n an 2

由(1)知 an=2n-1

可求 bn=

2n-1 利用错 2n 位相减法

求 Tn .

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解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1,得 4a1+6d=8a1+4d, a1+ 2n-1 d=2a1+2 n-1 d+1, 解得 a1=1,d=2.?4 分 因此 an=2n-1,n∈N*. ?5 分 ?2 分

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b1 b2 bn 1 (2)由已知 + + …+ =1- n,n∈N *, a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 ?6 分
此处易忽视 n=1的讨论

1 1 - bn 1 1 - 2n 1 = n, ?7 分 当 n≥2 时, =1- n- an 2 2 bn 1 所以 = n,n∈N*. an 2 ?8 分

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由(1)知 an=2n-1,n∈N*, 2n- 1 所以 bn= n , n∈ N*. ?9 分 2 2n- 1 1 3 5 又 T n= + 2+ 3+…+ n , 2 2 2 2 2n- 3 2n-1 1 1 3 T n= 2+ 3+…+ n + n+1 ,?10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 + +…+ 1 1 两式相减,得 Tn= + 22 23 2n - 2 2 2n-1 3 2n- 1 1 ?11 分 +1 = - n-1 - +1 , n n 2 2 2 2 2n+3 所以 Tn= 3- n . ?12 分 2

此处易搞错作差 后的第1项和最后 一项而致误

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解决函数建模问题的一般步骤:
第1步 判断结构
若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn} (公比 q)的对应项之积构成的,则可用此法求和 设{an·bn}的前 n 项和为 Tn,然后两边同乘以 q

第 2步 乘 公 比

第3步 错位相减

乘以公比 q 后,向后错开一位,使含有 qk(k∈N*) 的项对应,然后两边同时作差 将作差后的结果求和,从而表示出 Tn

第 4步 求





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