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【优化课堂】2012高中数学 第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1



2.2.2

椭圆的简单几何性质

1.了解椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、长轴 长和短轴长). 2.理解离心率 e 的定义及取值范围.

3.掌握标准方程中的 a,b,c,e 的几何意义,及 a,b,c,
e 间的相互关系.

x2 y 2 1 . 椭 圆 a2 + b2 = 1

(a>b>0) 长 轴 长 为 ______ , 短 轴 长 为 2a

2 a2-b2 ______,焦距为________;长半轴长为______,短半轴长为 2b a
________,半焦距为________. a2-b2 b

离心率 2.椭圆的焦距与长轴长的比,称为椭圆的________,记作
2c c 0<e<1 e=2a=a,∵a>c>0,∴e 的范围是____________.

3.椭圆的几何性质. x2 y2 方程 a2+b2=1(a>b>0) 图形 不 同 范围 点 焦点 坐标 顶点

y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

-a≤x≤a,-b≤y≤b F1(-c,0),F2(c,0) A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b,-a≤y≤a F1(0,-c),F2(0,c) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

续表
x2 y2 y2 x2 方程 a2+b2=1(a>b>0) a2+b2=1(a>b>0) 对称性 关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于坐标原点成中心对称 平面内到两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数 定义 (大于|F1F2|)的点的轨迹 相 a,b,c a2=b2+c2 同 的关系 c 点 离心率 e=a(0<e<1) 焦点位 置的判 分母哪个大,焦点在哪个轴上 断

4.椭圆的第二定义. 平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离之比是 常数 e(0<e<1). 5.椭圆的标准方程与准线间的关系如表. 标准方程 图形
x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

准线
a2 x=±c

y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

a2 y=±c

x2 y2 【要点 1】观察椭圆a2+b2=1(a>b>0)的形状,你能从图上 看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特 殊? 【剖析】通过观察可知-a≤x≤a,-b≤y≤b. x2 y2 由方程 a +b2=1(a>b>0)变形,得 y2 x2 b2=1-a2≥0,

x2 ∴a2≤1,即-a≤x≤a. y2 同理有b2≤1,即-b≤y≤b. 椭圆关于 x 轴、y 轴都是对称的,坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心. 椭圆上与 x 轴、y 轴的四个交点比较特殊.

【要点 2】能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率? c 【剖析】可以,由 e=a,又 c= a2-b2, a2-b2 c 故 e=a= a = b2 1-a2.

题型1 椭圆方程的基本计算问题

3 例 1:已知椭圆 x +(m+3)y =m(m>0)的离心率 e= 2 ,求
2 2

m 的值、椭圆长轴和短轴的长、焦点坐标和顶点坐标. 思维突破:解决本题的关键是确定 m 的值.先将方程化为 3 c 标准形式,用 m 表示 a,b,c,再由 e=a= 2 ,求 m 的值.

y2 自主解答:椭圆方程可化为 + m =1, m m+3 x2 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> . m+3 m+3 m+3 m 即 a2=m,b2= ,c= a2-b2= m+3 由 e= 3 ,得 2 m+2 3 = ,∴m=1. m+3 2 m?m+2? . m+3

1 3 ∴a=1,b=2,c= 2 . ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;两焦点坐标分别为
? F1?- ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ,0?,F2? 2 ,0?;四个顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0), 2 ? ? ?

? ? 1? 1? B1?0,-2?,B2?0,2?. ? ? ? ?

【变式与拓展】 1.求椭圆 4x2+9y2=36 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点

坐标和离心率.
x2 y2 解:将椭圆方程变形为 9 + 4 =1, ∴a=3,b=2.∴c= a2-b2= 9-4= 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 焦点坐标为 F1( 5,0),F2(- 5,0), 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2), 5 c 离心率 e=a= 3 . 5,

题型2 由椭圆的几何性质求标准方程 例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程.
6 (1)椭圆过(3,0),离心率 e= 3 ;

(2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,

且短轴长为 8.
思维突破:解答本题要先确定椭圆的焦点位置,不能确定

的要分情况讨论,然后设出标准方程,再用待定系数法确定 a,
b,c.

自主解答:(1)若焦点在 x 轴上,则 a=3, 6 c ∵e=a= 3 , ∴c= 6.∴b2=a2-c2=9-6=3. x2 y2 ∴椭圆的方程为 9 + 3 =1. 若焦点在 y 轴上,则 b=3, c ∵e=a= b2 1-a2= 9 6 1-a2= 3 ,

解得 a2=27. y2 x2 ∴椭圆的方程为27+ 9 =1.

x2 y2 (2)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0). 如图 D5 所示,△A1FA2 为等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=4.∴a2=b2+c2=32. x2 y 2 故所求椭圆的方程为32+16=1.

图 D5

【变式与拓展】 2.求与椭圆 4x2+9y2=36 共焦点,且过点(3,-2)的椭圆

方程.
x2 y2 解:将椭圆 4x2+9y2=36 化为: 9 + 4 =1,故焦点为 F1(- 5,0),F2( 5,0),又椭圆过点(3,-2),而点(3,-2) 到 F1(- 5,0),F2( 5,0)的距离之和为: ?3+ 5?2+4+ ?3- 5?2+4= ? 15+ 3?2 + ? 15- 3?2 =2 15, x2 y2 ∴2a=2 15,a= 15,b2=10,故椭圆方程为15+10=1.

题型3 求椭圆的离心率 例3:如图 2-2-4 所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦 点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于 2 短半轴长的3,求椭圆的离心率.

图 2-2-4

思维突破:解答本题可先确定点 M 的坐标,再利用
Rt△F1F2M的性质求 a,b,c 的关系,进而求出离心率.

自主解答:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a, b,c. 则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),点 M
? ? 2 的坐标为?c,3,b?, ? ?

在 Rt△MF1F2 中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 2 即 4c +9b =|MF1|2.
2

而|MF1|+|MF2|=

4 2 2 4c +9b +3b=2a,
2

整理,得 3c2=3a2-2ab.

又 c2=a2-b2,∴3b=2a. b2 4 ∴a2=9.
2 2 c2 a -b ∴e2=a2= a2

b2 5 =1-a2=9. 5 ∴e= 3 .

【变式与拓展】
3.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120°,则 此椭圆的离心率 e 为( D )
2 A. 2 3 B. 2 1 C.2 6 D. 3



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