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2016高考数学专题复习导练测 第十二章 第3讲 数学归纳法 理 新人教A版



第3讲
一、选择题 1. 利用数学归纳法证明“1+a+a +?+a 立时,左边应该是( A 1 C 1+a+a
2 2

数学归纳法
1- a * = (a≠1,n∈N )”时,在验证 n=1 成 1-a
n+2

n+1

) B 1+a D 1+a+a +a
2 2

3

解析 当 n=1 时,左边=1+a+a ,故选 C. 答案 C 2.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,在第二步时,正确 的证法是 A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 解析 A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案 D 1 1 1 1 1 1 1 1 3.用数学归纳法证明 1- + - +?+ - = + +?+ ,则当 n=k+1 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 时,左端应在 n=k 的基础上加上 1 A. 2k+2 1 1 C. - 2k+1 2k+2 D. 1 B.- 2k+2 1 1 + 2k+1 2k+2 ( ). ( ).
n n

1 1 1 1 1 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1- + - +?+ - ,当 n=k+1 时, 2 3 4 2k-1 2k 1 1 1 1 1 1 1 左侧=1- + - +?+ - + - . 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 答案 C 4.对于不等式 n +n<n+1(n∈N ),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 1 +1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N 且 k≥1)时,不等式成立,即 k +k<k+1,则当 n=k+1 时, ?k+1? +?k+1?= k +3k+2< ?k +3k+2?+?k+2?= ?k+2? = (k + 1)+1,
2 2 2 2 * 2 2 2 *

1

所以当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,故推理错误. 答案 D 5.下列代数式(其中 k∈N )能被 9 整除的是( A.6+6·7 C.2(2+7
k
*

(

).

) B.2+7
k-1

k+1

)
k

D.3(2+7 )

k

解析 (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7 )能被 9 整除. (2)假设当 k=n(n∈N )时,命题成立,即 3(2+7 )能被 9 整除, 那么 3(2+7
n+1
*

n

)=21(2+7 )-36.

n

这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何 k∈N 都成立. 答案 D 6.已知 1+2×3+3×3 +4+3 +?+n×3
2 3 *

n-1

=3 (na-b)+c 对一切 n∈N 都成立,则 a、b、 ).

n

*

c 的值为
1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 C.a=0,b=c= 4 解析
*

(

1 B.a=b=c= 4 D.不存在这样的 a、b、c

∵ 等 式 对 一 切 n ∈ N 均 成 立 , ∴ n = 1,2,3 时 等 式 成 立 , 即

1=3?a-b?+c, ? ? 2 ?1+2×3=3 ?2a-b?+c, ? ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c, 3a-3b+c=1, ? ? 整理得?18a-9b+c=7, ? ?81a-27b+c=34, 1 1 解得 a= ,b=c= . 2 4 答案 A 二、填空题 7.用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13 + +?+ > 的过程中,由 n=k 推导 n=k+1 n+1 n+2 n+n 24
2

时,不等式的左边增加的式子是________. 解析 不等式的左边增加的式子是 1 1 1 1 + - = ,故填 2k+1 2k+2 k+1 ?2k+1??2k+2?

1 . ?2k+1??2k+2? 答案 1 ?2k+1??2k+2?

8. 用数学归纳法证明: 1 2 n n(n+1) + +?+ = ;当推证当 n=k+1 等式也成立时,用上 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) 归纳假设后需要证明的等式是 解析 当 n=k+1 时, 1 2 k (k+1) + +?+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(k+1) (k+1) = + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(k+1) (k+1) 故只需证明 + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) (k+1)(k+2) = 即可. 2(2k+3) k(k+1) (k+1) (k+1)(k+2) + = 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) 2(2k+3) 9.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3), 答案 (3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个数对是________. 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1; ?; 一个整数 n 所拥有数对为(n-1)对. ?n-1?n 设 1+2+3+?+(n-1)=60,∴ =60, 2 ∴n=11 时还多 5 对数,且这 5 对数和都为 12, 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第 60 个数对为(5,7). 答案 (5,7) 1 10. 在数列{an}中, a1= 且 Sn=n(2n-1)an, 通过计算 a2, a3, a4, 猜想 an 的表达式是________. 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

3

1 1 解析 当 n=2 时,a1+a2=6a2,即 a2= a1= ; 5 15 当 n=3 时,a1+a2+a3=15a3, 1 1 即 a3= (a1+a2)= ; 14 35 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=28a4, 1 1 即 a4= (a1+a2+a3)= . 27 63 1 1 1 1 1 1 1 ∴a1= = ,a2= = ,a3= = ,a4= , 3 1×3 15 3×5 35 5×7 7×9 1 故猜想 an= . ?2n-1??2n+1? 1 答案 an= ?2n-1??2n+1? 三、解答题 1 1 1 n * * 11.已知 Sn=1+ + +?+ (n>1,n∈N ),求证:S2n>1+ (n≥2,n∈N ). 2 3 n 2 1 1 1 25 2 证明 (1)当 n=2 时,S2n=S4=1+ + + = >1+ ,即 n=2 时命题成立; 2 3 4 12 2 1 1 1 k * (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N )时命题成立,即 S2k=1+ + +?+ k>1+ , 2 3 2 2 1 1 1 1 1 k 1 1 则当 n=k+1 时,S2k+1=1+ + +?+ k+ k +?+ k+1>1+ + k + k +?+ 2 3 2 2 +1 2 2 2 +1 2 +2 1 2
k+1

k 2 k 1 k+1 >1+ + k , k=1+ + =1+ 2 2 +2 2 2 2

k

故当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)和(2)可知,对 n≥2,n∈N .不等式 S2n>1+ 都成立. 2 12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N ),与数列{bn}:b1=1,b2=0,
* *

n

b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记 Tn=b1a1+b2a2+b3a3+?+bnan.
(1)若 a1+a2+a3+?+a12=64,求 r 的值; (2)求证:T12n=-4n(n∈N ). (1)解
*

a1+a2+a3+?+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)

=48+4r. ∵48+4r=64,∴r=4. (2)证明 用数学归纳法证明:当 n∈N 时,T12n=-4n. ①当 n=1 时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.
*

4

②假设 n=k 时等式成立,即 T12k=-4k,那么当 n=k+1 时,

T12(k + 1) = T12k + a12k + 1 - a12k + 3 + a12k + 5 - a12k + 7 + a12k + 9 - a12k + 11 =- 4k + (8k+ 1) - (8k + r) +
(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立. 根据①和②可以断定:当 n∈N 时,T12n=-4n. 13.设数列{an}满足 a1=3,an+1=an-2nan+2,n=1,2,3,? (1)求 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明); (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,试求使得 Sn<2 成立的最小正整数 n,并给出证明. 解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想 an=2n+1. (2)Sn=
n
2 *

n?3+2n+1?
2
*

=n +2n,使得 Sn<2 成立的最小正整数 n=6.
n
2

2

n

下证:n≥6(n∈N )时都有 2 >n +2n. ①n=6 时,2 >6 +2×6,即 64>48 成立; ②假设 n=k(k≥6,k∈N )时,2 >k +2k 成立,那么 2
2 2 * 6 2

k

2

k+1

=2·2 >2(k +2k)=k +2k+k

k

2

2

2

+2k>k +2k+3+2k=(k+1) +2(k+1),即 n=k+1 时,不等式成立; 由①、②可得,对于所有的 n≥6(n∈N ) 都有 2 >n +2n 成立. 14.数列{xn}满足 x1=0,xn+1=-xn+xn+c(n∈N ). (1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是 c<0; (2)求 c 的取值范围,使{xn}是递增数列. (1)证明 先证充分性,若 c<0,由于 xn+1=-xn+xn+c≤xn+c<xn,故{xn}是递减数列; 再证必要性,若{xn}是递减数列,则由 x2<x1 可得 c<0. (2)解 ①假设{xn}是递增数列. 由 x1=0,得 x2=c,x3=-c +2c. 由 x1<x2<x3,得 0<c<1. 由 xn<xn+1=-xn+xn+c 知,对任意 n≥1 都有 xn< c, 注意到
2 2 2 2 * *

n

2

① ②

c-xn+1=x2 n-xn-c+ c=(1- c-xn)( c-xn),

由①式和②式可得 1- c-xn>0,即 xn<1- c. 由②式和 xn≥0 还可得,对任意 n≥1 都有 c-xn+1≤(1- c)( c-xn).③ 反复运用③式,得

c-xn≤(1- c)n-1( c-x1)<(1- c)n-1, xn<1- c和 c-xn<(1- c)n-1 两式相加,知
n- 1

2 c-1<(1- c)

对任意 n≥1 成立.
n

根据指数函数 y=(1- c) 的性质,得

5

1 1 2 c-1≤0,c≤ ,故 0<c≤ . 4 4 1 ②若 0<c≤ ,要证数列{xn}为递增数列, 4 即 xn+1-xn=-xn+c>0,即证 xn< c对任意 n≥1 成立. 1 下面用数学归纳法证明当 0<c≤ 时,xn< c对任意 n≥1 成立. 4 1 (i)当 n=1 时,x1=0< c≤ ,结论成立. 2 (ii)假设当 n=k(k∈N )时,结论成立,即 xn< c. 1? ? 2 因为函数 f(x)=-x +x+c 在区间?-∞, ?内单调递增, 所以 xk+1=f(xk)<f( c)= c, 2? ? 这就是说当 n=k+1 时,结论也成立. 故 xn< c对任意 n≥1 成立. 因此,xn+1=xn-xn+c>xn,即{xn}是递增数列.
2 * 2

? 1? 由①②知,使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是?0, ?. ? 4?

6



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