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2016年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷



2016 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上) 1. (5 分)设集合 A={x|﹣2<x<0},B={x|﹣1<x<1},则 A∪B= . 2. (5 分)若复数 z=(1+mi) (2﹣i) (i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为 . 3.

(5 分)将一骰子连续抛掷两次,至少有一次向上的点数为 1 的概率是 . 4. (5 分)如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频 率分布直方图.若一个月以 30 天计算,估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的 天数为 .

5. (5 分)执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为



6. (5 分)设公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3=a2 ,且 S1,S2,S4 成等比 数列,则 a10 等于 . 7. (5 分)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=4,AA1=6.若 E,F 分别是棱 BB1,CC1 上的点,则三棱锥 A﹣A1EF 的体积是 .

2

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8. (5 分)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 图象过点(﹣ ,﹣ ) ,则 φ 的值为 .

)的最小正周期为 π,且它的

9. (5 分)已知 f(x)=

,不等式 f(x)≥﹣1 的解集是



10. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,双曲线

2



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于 A、B 两点(A,B 异于坐标原点) .若直 线 AB 恰好过点 F,则双曲线的渐近线方程是 . 11. (5 分)在△ABC 中,A=120°,AB=4.若点 D 在边 BC 上,且 则 AC 的长为 .
2 2 2 2

=2

,AD=



12. (5 分)已知圆 O:x +y =1,圆 M: (x﹣a) +(y﹣a+4) =1.若圆 M 上存在点 P,过 点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,B,使得∠APB=60°,则实数 a 的取值范围为 . 13. (5 分)已知函数 f(x)=ax +x﹣b(a,b 均为正数) ,不等式 f(x)≥0 的解集记为 P, 集合 Q={x|﹣2﹣t<x<﹣2+t},若对于任意正数 t,P∩Q≠?,则 ﹣ 的最大值是 .
2

14. (5 分)若存在两个正实数 x、y,使得等式 x+a(y﹣2ex) (lny﹣lnx)=0 成立,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围为 . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) .解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (14 分)已知 α 为锐角,cos(α+ (1)求 tan(α+ (2)求 sin(2α+ )的值; )的值. )= .

16. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,平面 PAB⊥平面 ABC,PA⊥PB,M,N 分别为 AB,PA 的中点. (1)求证:PB∥平面 MNC;
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(2)若 AC=BC,求证:PA⊥平面 MNC.

17. (14 分)如图,某城市有一块半径为 1(单位:百米)的圆形景观,圆心为 C,有两条 与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地, 后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路, 便于市民快捷地往返两条道路. 规划部门采纳 了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 AB.问:A,B 两点应选在何处可 使得小道 AB 最短?

18. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 C 在椭圆 M:

+

=1(a>b>0)上,若点

A(﹣a,0) ,B(0, ) ,且

=



(1)求椭圆 M 的离心率; (2)设椭圆 M 的焦距为 4,P,Q 是椭圆 M 上不同的两点.线段 PQ 的垂直平分线为直线 l,且直线 l 不与 y 轴重合. ①若点 P(﹣3,0) ,直线 l 过点(0,﹣ ) ,求直线 l 的方程; ②若直线 l 过点(0,﹣1) ,且与 x 轴的交点为 D.求 D 点横坐标的取值范围. * 19. (16 分)对于函数 f(x) ,在给定区间[a,b]内任取 n+1(n≥2,n∈N )个数 x0,x1, x2,…,xn,使得 a=x0<x1<x2<…<xn﹣1<xn=b,记 S= |f(xi+1)﹣f(xi)|.若存在与 n 及 xi(i≤n,i

∈N)均无关的正数 A,使得 S≤A 恒成立,则称 f(x)在区间[a,b]上具有性质 V. (1)若函数 f(x)=﹣2x+1,给定区间为[﹣1,1],求 S 的值; (2)若函数 f(x)= ,给定区间为[0,2],求 S 的最大值;
2

(3)对于给定的实数 k,求证:函数 f(x)=klnx﹣ x 在区间[1,e]上具有性质 V.
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20. (16 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 an=(﹣1) Sn+p (p 为常数,p≠0) . (1)求 p 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设集合 An={a2n﹣1,a2n},且 bn,cn∈An,记数列{nbn},{ncn}的前 n 项和分别为 Pn, Qn,若 b1≠c1,求证:对任意 n∈N,Pn≠Qn. 三、数学附加题【选做题】在以下四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请 在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修 4-1:几何 证明选讲] 21. (10 分)如图:在 Rt∠ABC 中,AB=BC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,连接 AE 交⊙O 于点 F,求证:BE?CE=EF?EA.

n

n

[选修 4-2:矩阵与变换] 22. (10 分)已知 a,b 是实数,如果矩阵 A= (3,4) . (1)求 a,b 的值. (2)若矩阵 A 的逆矩阵为 B,求 B . [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线 l 的极坐标方程为 ρsin( ﹣θ)= ,椭圆 C 的参数方程为 (t 为参数) .
2

所对应的变换 T 把点(2,3)变成点

(1)求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. [选修 4-5:不等式选讲] 24.解不等式:|x﹣2|+x|x+2|>2. [必做题]第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. (10 分) 甲、 乙两人投篮命中的概率为别为 与 , 各自相互独立, 现两人做投篮游戏, 共比赛 3 局,每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后,甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E (ξ) .
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26. (10 分)设(1﹣x) =a0+a1x+a2x +…+anx ,n∈N ,n≥2. (1)设 n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值; (2) 设 bk= |的值. ak+1(k∈N,k≤n﹣1) ,Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n﹣1) , 求|

n

2

n

*

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2016 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上) 1. (5 分) (2016?连云港模拟) 设集合 A={x|﹣2<x<0}, B={x|﹣1<x<1}, 则 A∪B= {x| ﹣2<x<1} . 【考点】并集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的并集即可. 【解答】解:∵集合 A={x|﹣2<x<0},B={x|﹣1<x<1}, ∴A∪B={x|﹣2<x<1}. 故答案为:{x|﹣2<x<1}.
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2. (5 分) (2016?连云港模拟)若复数 z=(1+mi) (2﹣i) (i 是虚数单位)是纯虚数,则实 数 m 的值为 ﹣2 . 【考点】复数的基本概念. 【专题】计算题;对应思想;定义法;数系的扩充和复数. 【分析】根据纯虚数的概念,确定复数的实部和虚部满足的条件即可. 【解答】解:z=(1+mi) (2﹣i)=2+m+(m﹣1)i, ∵复数 z=(1+mi) (2﹣i) (i 是虚数单位)是纯虚数, ∴2+m=0, 即 m=﹣2, 故答案为:﹣2.
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3. (5 分) (2016?连云港模拟)将一骰子连续抛掷两次,至少有一次向上的点数为 1 的概率 是 .
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】本题是一个等可能事件的概率,将一颗骰子掷两次,共有 6×6 种结果,满足条件 的事件是至少出现一次 1 点向上的结果有 5+5+1 种结果,得到概率. 【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, ∵将一颗骰子掷两次,共有 6×6=36 种结果, 满足条件的事件是至少出现一次 1 点向上的结果有 5+5+1=11 种结果, ∴至少出现一次点数 1 的概率是 故答案为: . ,

4. (5 分) (2016?连云港模拟)如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以 30 天计算,估计这家面包店一个月内日销 售量不少于 150 个的天数为 9 .
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【考点】用样本的频率分布估计总体分布. 【专题】对应思想;数形结合法;概率与统计. 【分析】根据频率分布直方图,求出对应的频率与频数即可. 【解答】解:根据频率分布直方图,得: 日销售量不少于 150 个的频率为(0.004+0.002)×50=0.3, 则估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为:30×0.3=9. 故答案为:9.
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5. (5 分) (2016?连云港模拟)执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为 5 .

【考点】循环结构. 【专题】计算题;图表型;对应思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=27 时满足条件 S>16, 退出循环,输出 k 的值为 5. 【解答】解:由题意,执行程序框图,可得 k=1,S=1, S=3,k=2 不满足条件 S>16,S=8,k=3 不满足条件 S>16,S=16,k=4 不满足条件 S>16,S=27,k=5
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满足条件 S>16,退出循环,输出 k 的值为 5. 故答案为:5. 6. (5 分) (2016?连云港模拟)设公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3=a2 , 且 S1,S2,S4 成等比数列,则 a10 等于 19 . 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】方程思想;分析法;等差数列与等比数列.
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2

【分析】设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,由等比数列的中项的性质,运用等差数列的 2 求和公式,可得 d=2a1,再由 S3=a2 ,运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首 项和公差,进而得到所求值. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) , 由 S1,S2,S4 成等比数列,可得: 2 2 S2 =S1S4,即有(2a1+d) =a1(4a1+6d) , 可得 d=2a1, 2 2 由 S3=a2 ,可得 3a1+3d=(a1+d) , 2 即有 9a1=9a1 , 解得 a1=1,d=2, 即有 a10=a1+9d=1+9×2=19. 故答案为:19. 7. (5 分) (2016?连云港模拟)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=4,AA1=6.若 E, F 分别是棱 BB1,CC1 上的点,则三棱锥 A﹣A1EF 的体积是 8 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】用三棱柱的体积减去三棱锥 A1﹣EFC1B1 和三棱锥 A﹣BCFE 的体积. 【解答】解:取 BC 中点 D,连结 AD,则 AD⊥BC, ∵平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD? 平面 ABC, ∴AD⊥平面 BCC1B1. ∵△ABC 是等边三角形,AB=4, ∴AD=2 . ∵AA1∥平面 BCC1B1,E,F 是 BB1,CC1 的中点,
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∴VA﹣BCFE=V

=

=

=8



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∴V 故答案为:8

=V

﹣2VA﹣BCFE=

﹣2×

=8



8. (5 分) (2016?连云港模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 正周期为 π,且它的图象过点(﹣ ,﹣ ) ,则 φ 的值为 ﹣
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)的最小



【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】根据最小正周期为 π,利用周期公式即可求出 ω 的值,利用图象经过点(﹣ ﹣ ) ,结合其范围即可求出 φ 的值. =π,解得:ω=2,…(2 分) ,

【解答】解:依题意可得: 又图象过点(﹣ 故 2sin[2×(﹣ 因为|φ|< 所以 φ=﹣ , .…(5 分) . ,﹣ ) ,

)+φ]=﹣

,解得:sin(φ﹣

)=﹣

,…(3 分)

故答案为:﹣

9. (5 分) (2016?连云港模拟)已知 f(x)=

,不等式 f(x)≥﹣1 的

解集是 {x|﹣4≤x≤2} . 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用.

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【分析】由不等式 f(x)≥﹣1 可得 ① 求出①、②的解集,再取并集,即得所求.

,或②

.分别

【解答】解:∵已知 f(x)=

,故由不等式 f(x)≥﹣1 可得 ①

,或②



解①可得﹣4<x≤0,解②可得 0<x≤2. 综上可得,不等式的解集为 {x|﹣4≤x≤2}, 故答案为 {x|﹣4≤x≤2}. 10. (5 分) (2016?连云港模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =2px(p>0)的焦点 为 F,双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于 A、B 两点(A,
2

B 异于坐标原点) .若直线 AB 恰好过点 F,则双曲线的渐近线方程是 y=±2x . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 求得抛物线的焦点, 双曲线的渐近线方程, 代入抛物线的方程可得 A, B, 再由 A,
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B,F 共线,可得
2

= ,即有 b=2a,进而得到双曲线的渐近线方程.

【解答】解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F( ,0) ,

双曲线



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,

代入抛物线的方程,可得 A( 由 A,B,F 三点共线,可得: = ,即有 b=2a, 则双曲线的渐近线方程为 y=±2x. 故答案为:y=±2x.



) ,B(

,﹣

) ,

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11. (5 分) (2016?连云港模拟)在△ABC 中,A=120°,AB=4.若点 D 在边 BC 上,且 ,AD= ,则 AC 的长为 3 .
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=2

【考点】解三角形;向量在几何中的应用. 【专题】转化思想;向量法;综合法;解三角形. 【分析】画出图形,结合图形,利用 量的数量积求出| |即可 =2 ,得出 ﹣ =2( ﹣ ) ,再利用平面向

【解答】解:如图所示:

△ABC 中,∠BAC=120°,AB=4,点 D 在边 BC 上, ∴ ∴ ∴3 = ﹣ =2 ﹣ , = ﹣ ,
2

=2



﹣ ) ,



=2( +

两边平方得 9 又 AD= ∴9×( 化简得| 解得|
2

=4

2

+4

?

+

2



, ) =4 | ﹣2| |=3 或|
2 2

+4×|

|×4×cos120°+4 ,

2

|﹣3=0, |=﹣1(不合题意舍去) ,

故答案为:3. 12. (5 分) (2016?连云港模拟)已知圆 O:x +y =1,圆 M: (x﹣a) +(y﹣a+4) =1.若 圆 M 上存在点 P,过点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,B,使得∠APB=60°,则实数 a 的取值范围为 [
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2

2

2

2

]



【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;直线与圆.

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【分析】由题意画出图形,利用两点间的距离关系求出 OP 的距离,再由题意得到关于 a 的 不等式求得答案. 【解答】解:如图, 圆 O 的半径为 1, 圆 M 上存在点 P, 过点 P 作圆 O 的两条切线, 切点为 A, B, 使得∠APB=60°, 则∠APO=30°,在 Rt△PAO 中,PO=2, 又圆 M 的半径等于 1,圆心坐标 M(a,a﹣4) , ∴|PO|min=|MO|﹣1,|PO|max=|MO|+1, ∵ ∴由 故答案为:[ ]. , ,解得:2 .

13. (5 分) (2016?盐城模拟)已知函数 f(x)=ax +x﹣b(a,b 均为正数) ,不等式 f(x) ≥0 的解集记为 P, 集合 Q={x|﹣2﹣t<x<﹣2+t}, 若对于任意正数 t, P∩Q≠?, 则 ﹣ 的 最大值是 .
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2

【考点】其他不等式的解法. 【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据不等式解集对应的关系,得到﹣2∈P,然后利用基本不等式进行求解即可. 【解答】解:∵不等式 f(x)≥0 的解集记为 P,集合 Q={x|﹣2﹣t<x<﹣2+t},若对于任 意正数 t,P∩Q≠?, ∴﹣2∈P,即 f(﹣2)≥0, 则 4a﹣2﹣b≥0, 即 1≤2a﹣ ,又由题意知, ﹣ 的最大值必是正数, 则 ﹣ =( ﹣ )×1=( ﹣ )×(2a﹣ )≤2﹣ 2= , ﹣ + = ﹣2 = ﹣

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即 ﹣ 的最大值是 , 故答案为:

14. (5 分) (2016?连云港模拟) 若存在两个正实数 x、 y, 使得等式 x+a (y﹣2ex) (lny﹣lnx) =0 成立,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围为 a<0 或 a≥
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【考点】函数恒成立问题. 【专题】转化思想;换元法;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化,利用换元法转化为方程有解,构造函数求 函数的导数,利用函数极值和单调性的关系进行求解即可. 【解答】解:由 x+a(y﹣2ex) (lny﹣lnx)=0 得 x+a(y﹣2ex)ln =0, 即 1+a( ﹣2e)ln =0, 即设 t= ,则 t>0, 则条件等价为 1+a(t﹣2e)lnt=0, 即(t﹣2e)lnt= 有解,

设 g(t)=(t﹣2e)lnt, g′(t)=lnt+1﹣ ∵g′(e)=lne+1﹣ 为增函数, =1+1﹣2=0,

∴当 t>e 时,g′(t)>0, 当 0<t<e 时,g′(t)<0, 即当 t=e 时,函数 g(t)取得极小值,为 g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e, 即 g(t)≥g(e)=﹣e, 若(t﹣2e)lnt= 则 有解,

≥﹣e,即 ≤e,

则 a<0 或 a≥ , 故答案为:a<0 或 a≥ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) .解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (14 分) (2016?连云港模拟)已知 α 为锐角,cos(α+ )= .

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(1)求 tan(α+ (2)求 sin(2α+

)的值; )的值.
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【考点】两角和与差的正切函数;二倍角的正弦. 【专题】转化思想;定义法;三角函数的求值. 【分析】 (1)利用同角的三角函数的关系式进行求解. (2)利用两角和差的正弦公式进行转化求解. 【解答】解(1)∵α 为锐角, ∴0<x< ∴ <α+ , < )= )= , . =

∵cos(α+ ∴sin(α+

则 tan(α+

)=

=2;

(2)∵cos2(α+ ∴cos(2α+ ∴sin2α= , ∵ ∴ <α+ <α+ < <

)=2cos (α+

2

)﹣1=2×(

) ﹣1=﹣ ,

2

)=﹣sin2α=﹣ ,

,cos(α+ ,

)=



即 0<α< 则 sin(2α+

,则 0<2α< )=sin2αcos

,则 cos2α= , +cos2αsin = × + × = .

16. (14 分) (2016?连云港模拟)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,平面 PAB⊥平面 ABC,PA ⊥PB,M,N 分别为 AB,PA 的中点. (1)求证:PB∥平面 MNC; (2)若 AC=BC,求证:PA⊥平面 MNC.

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【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)根据中位线定理可得 MN∥PB,故而 PB∥平面 MNC. (2)由三线合一可得 CM⊥AB,再有面面垂直得出 CM⊥平面 PAB,故 CM⊥PA,由 AP ⊥PB,MN∥PB 可得 PA⊥MN,故而 PA⊥平面 MNC. 【解答】证明: (1)∵M,N 分别为 AB,PA 的中点, ∴MN∥PB,又 MN? 平面 MNC,PB?平面 MNC, ∴PB∥平面 MNC. (2)∵AC=BC,M 是 AB 中点, ∴CM⊥AB, 又∵平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,CM? 平面 ABC, ∴CM⊥平面 PAB,∵AP? 平面 PAB, ∴AP⊥CM. ∵PA⊥PB,MN∥PB, ∴PA⊥MN, 又 MN? 平面 MNC,CM? 平面 MNC,MN∩CM=M, ∴PA⊥平面 MNC.
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17. (14 分) (2016?连云港模拟)如图,某城市有一块半径为 1(单位:百米)的圆形景观, 圆心为 C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分) 只有一块绿化地, 后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路, 便于市民快捷地往返两条道 路.规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 AB.问:A,B 两点应选在何处可使得小道 AB 最短?

【考点】基本不等式在最值问题中的应用;在实际问题中建立三角函数模型. 【专题】函数思想;数学模型法;不等式的解法及应用;直线与圆. 【分析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 xOy.设 A(a,0) ,B(0,b) (0<a<1, 0<b<1) ,求得直线 AB 的方程和圆的方程,运用直线和圆相切的条件:d=r,求得 a,b 的
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第 15 页(共 27 页)

关系,再由两点的距离公式和基本不等式,解不等式可得 AB 的最小值,及此时 A,B 的位 置. 【解答】解:如图,分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 xOy. 设 A(a,0) ,B(0,b) (0<a<1,0<b<1) , 则直线 AB 方程为 + =1,即 bx+ay﹣ab=0. 因为 AB 与圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =1 相切,所以 化简得 ab﹣2(a+b)+2=0,即 ab=2(a+b)﹣2, 因此 AB= = , = =
2 2

=1,

因为 0<a<1,0<b<1,所以 0<a+b<2, 于是 AB=2﹣(a+b) . 又 ab=2(a+b)﹣2≤( ),
2

解得 0<a+b≤4﹣2 ,或 a+b≥4+2 , 因为 0<a+b<2,所以 0<a+b≤4﹣2 , 所以 AB=2﹣(a+b)≥2﹣(4﹣2 )=2 ﹣2, 当且仅当 a=b=2﹣ 时取等号, 所以 AB 最小值为 2 ﹣2,此时 a=b=2﹣ . 答:当 A,B 两点离道路的交点都为 2﹣ (百米)时,小道 AB 最短.

18. (16 分) (2016?连云港模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,点 C 在椭圆 M:

+

=1

(a>b>0)上,若点 A(﹣a,0) ,B(0, ) ,且

=



(1)求椭圆 M 的离心率; (2)设椭圆 M 的焦距为 4,P,Q 是椭圆 M 上不同的两点.线段 PQ 的垂直平分线为直线 l,且直线 l 不与 y 轴重合. ①若点 P(﹣3,0) ,直线 l 过点(0,﹣ ) ,求直线 l 的方程;
第 16 页(共 27 页)

②若直线 l 过点(0,﹣1) ,且与 x 轴的交点为 D.求 D 点横坐标的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设 C(m,n) ,由向量共线的坐标表示,可得 C 的坐标,代入椭圆方程,可得 a,b 的关系,再由离心率公式计算即可得到所求值;
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(2)①由题意可得 c=2,a=3,b=

=

,可得椭圆方程,设直线 PQ 的方程为 y=k

(x+3) ,代入椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,再由两直线垂直的条件:斜率之积 为﹣1,解方程可得 k,进而得到所求直线方程; ②设直线 PQ 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程可得,运用韦达定理和中点坐标公式,再由 2 两直线垂直的条件,求得 4m=5+9k ,再由中点在椭圆内,可得 k 的范围,再由直线 l 的方 程可得 D 的横坐标的范围. 【解答】解: (1)设 C(m,n) ,由 可得(a, a)= (m,n﹣ ) , 可得 m= a,n= a,即 C( a, a) ,
2 2

=



即有 +
2 2 2

=1,即为 b = a ,
2

c =a ﹣b = a , 则 e= = ; (2)①由题意可得 c=2,a=3,b= = ,

即有椭圆方程为

+

=1,

设直线 PQ 的方程为 y=k(x+3) , 2 2 2 2 代入椭圆方程可得(5+9k )x +54k x+81k ﹣45=0, x1+x2=﹣ ,PQ 的中点 H 为(﹣ , ) ,

由题意可得直线 l 的斜率为

=﹣ ,

解得 k=1 或 , 即有直线 l 的方程为 y=﹣x﹣ 或 y=﹣ x﹣ ;
第 17 页(共 27 页)

②设直线 PQ 的方程为 y=kx+m, 代入椭圆方程可得, (5+9k )x +18kmx+9m ﹣45=0, 可得 x1+x2=﹣ , , ) ,
2 2 2

即有 PQ 的中点为(﹣

由题意可得直线 l 的斜率为

=﹣ ,

化简可得 4m=5+9k ,中点坐标即为(﹣ 由中点在椭圆内,可得 解得﹣ <k< , + <1,

2

, ) ,

由直线 l 的方程为 y=﹣ x﹣1, 可得 D 的横坐标为﹣k,可得范围是(﹣ ,0)∪(0, ) .

19. (16 分) (2016?连云港模拟)对于函数 f(x) ,在给定区间[a,b]内任取 n+1(n≥2,n * ∈N )个数 x0,x1,x2,…,xn,使得 a=x0<x1<x2<…<xn﹣1<xn=b,记 S= |f(xi+1)﹣f(xi)|.若存在与 n 及 xi(i≤n,i

∈N)均无关的正数 A,使得 S≤A 恒成立,则称 f(x)在区间[a,b]上具有性质 V. (1)若函数 f(x)=﹣2x+1,给定区间为[﹣1,1],求 S 的值; (2)若函数 f(x)= ,给定区间为[0,2],求 S 的最大值;
2

(3)对于给定的实数 k,求证:函数 f(x)=klnx﹣ x 在区间[1,e]上具有性质 V. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】综合题;新定义;转化思想;综合法;导数的综合应用.
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【分析】 (1)推导出[f(xi+1)﹣f(xi)]=f(xi)﹣f(xi+1) ,从而 S= |=f(x0)﹣f(xn)=f(﹣1)﹣f(1) ,由此能求出 S 的值. (2)由

|f(xi+1)﹣f(xi)

=0,得 x=1,由导数性质得 f(x)在 x=1 时,取极大值 .设 xm≤

1<xm+1,m∈N,m≤n﹣1,由此能求出 S=
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的最大值.

(3)

,x∈[1,e],根据当 k≥e ,k≤1 和 1<k<e 三种情况进行 在[1,e]上具

2

2

分类讨论,利用导数性质能证明对于给定的实数 k,函数 f(x)=klnk﹣ 有性质 V. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=﹣2x+1 在区间[﹣1,1]为减函数, ∴f(xi+1)<f(xi) ,∴[f(xi+1)﹣f(xi)]=f(xi)﹣f(xi+1) , S=

|f(xi+1)﹣f(xi)|=[f(x0)﹣f(x1)]+[f(x1)﹣f(x2)]+…+[f(xn﹣1)﹣f(xn)]

=f(x0)﹣f(xn) =f(﹣1)﹣f(1)=4. (2)由 =0,得 x=1,

当 x<1 时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,1)为增函数, 当 x>1 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)为减函数, ∴f(x)在 x=1 时,取极大值 . 设 xm≤1<xm+1,m∈N,m≤n﹣1, 则 S= =|f(x1)﹣f(0)|+…+|f(xm)﹣f(xm﹣1)|+|f(xm+1)﹣f(xm)|+|f(xm+2)﹣f(xm+1) |+…|f(2)﹣f(xn﹣1)| =[f(x1)﹣f(0)]+…+[f(xm)﹣f(xm﹣1)]+|f(xm+1)﹣f(xm)|+|f(xm+1)﹣f(xm+2) |+…+[f(xn﹣1)﹣f(2)] =[f(xm)﹣f(0)]+|f(xm+1)﹣f(xm)|+[f(xm+1)﹣f(2)], ∵|f(xm+1)﹣f(xm)|≤[f(1)﹣f(xm)]+[f(1)﹣f(xm+1)],当 xm=1 时取等号, ∴S≤f(xm)﹣f(0)+f(1)﹣f(xm+1)+f(1)﹣f(xm+1)+f(xm+1)﹣f(2) =2f(1)﹣f(0)﹣f(2)= .

∴S 的最大值为



证明: (3)
2 2

,x∈[1,e],

①当 k≥e 时,k﹣x ≥0 恒成立,即 f′(x)≥0 恒成立,∴f(x)在[1,e]上为增函数,

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∴S=
﹣1

=[f(x1)﹣f(x0)]+[f(x2)﹣f(x1)]+…+[f(xn)﹣f(xn

)] .

=f(xn)﹣f(x0)=f(e)﹣f(1)=k+ ∴存在正数 A=k+ ,都有 S≤A,

∴f(x)在[1,e]上具有性质 V. 2 ②当 k≤1 时,k﹣x ≤0 恒成立,即 f′(x)≤0 恒成立,∴f(x)在[1,e]上为减函数, ∴S= |f(xi+1)﹣f(xi)|=[f(x0)﹣f(x1)]+[f(x1)﹣f(x2)]+…+[f(xn﹣1)﹣f(xn)] .

=f(x0)﹣f(xn)=f(1)﹣f(e)= ∴存在正数 A= ,都有 S≤A,

∴f(x)在[1,e]上具有性质 V. ③当 1<k<e 时,由 f′(x)=0,得 x= ,由 f′(x)>0,得 1 由 f′(x)<0,得 <x≤e,∴f(x)在[1, )上为增函数,在[ 设 xm≤ <xm+1,m∈N,m≤n﹣1, 则 S= |f(xi+1)﹣f(xi)|
2

; ,e]上为减函数,

=|f(xi)﹣f(x0)|+…+|f(xm)﹣f(xm﹣1)|+|f(xm+1)﹣f(xm)||+|f(xm+2)﹣f(xm+1) |+…+|f(xn)﹣f(xn﹣1)| =f(x1)﹣f(x0)+…+f(xm)﹣f(xm﹣1)+|f(xm+1)﹣f(xm)|+f(xm+1)﹣f(xm+2)+…+f (xn﹣1)﹣f(xn) =f(xm)﹣f(x0)+f(xm+1)﹣f(xn)+f( )﹣f(xm+1)+f( )﹣f(xm) =2f( )﹣f(x0)﹣f(xn) =klnk﹣k﹣[﹣ =klnk﹣2k+ , ,都有 S≤A, ]

∴存在正数 A=klnk﹣2k+

∴f(x)在[1,e]上具有性质 V. 综上,对于给定的实数 k,函数 f(x)=klnk﹣ 在[1,e]上具有性质 V.

20. (16 分) (2016?连云港模拟) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且对任意正整数 n 都有 an= n n (﹣1) Sn+p (p 为常数,p≠0) . (1)求 p 的值; (2)求数列{an}的通项公式;
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(3)设集合 An={a2n﹣1,a2n},且 bn,cn∈An,记数列{nbn},{ncn}的前 n 项和分别为 Pn, Qn,若 b1≠c1,求证:对任意 n∈N,Pn≠Qn. 【考点】数列的求和. 【专题】分类讨论;分析法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)令 n=1,n=2,可得 p 的方程,由 p 不为 0,可得 p 的值; (2)讨论 n 为偶数,或奇数,将 n 换为 n﹣1,两式相加可得所求通项公式;
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(3)求得 An={a2n﹣1,a2n}={﹣( ) , ( ) },讨论 bn,cn 的情况,运用错位相减法求 和,即可得证. 【解答】 (1)解:由题意可得 n=1 时,a1=(﹣1)S1+p=﹣a1+p, 可得 p=2a1; n=2 时,a2=S2+p =a1+a2+p ,可得 +p =0, 解得 p=﹣ ; (2)解:当 n 为偶数时,an=Sn+(﹣ ) , 可得 an﹣1=﹣Sn﹣1+(﹣ )
n﹣1 n 2 2 2

n

n


n

两式相加可得,an+an﹣1=an﹣(﹣ ) , 即 an﹣1=﹣(﹣ ) , 可得,当 n 为奇数时,an=﹣(﹣ ) 当 n 为奇数时,an=﹣Sn+(﹣ ) , 可得 an﹣1=Sn﹣1+(﹣ )
n﹣1 n n+1 n




n

两式相加可得,an+an﹣1=﹣an﹣(﹣ ) , 即为 2an+an﹣1=﹣(﹣ ) , 即有﹣2?(﹣ )
n+1 n

+an﹣1=﹣(﹣ ) ,
n

n

化简可得 an﹣1=﹣2?(﹣ ) , 即有当 n 为偶数时,an=(﹣ ) ;
n

则 an=



第 21 页(共 27 页)

(3)证明:由(2)可得 An={a2n﹣1,a2n}={﹣( ) , ( ) }, 数列{nbn},{ncn}的前 n 项和分别为 Pn,Qn,若 b1≠c1, 即有 nbn=﹣n( ) ,ncn=n( ) , 即有前 n 项和为 Qn=1? +2? Qn=1? +2? +3? + +3? +…+n( ) ,
n+1 n n n

n

n

+…+n( )


n+1

相减可得, Qn= +

+…+( ) ﹣n( )

n



=

﹣n( )

n+1



可得 Qn= ﹣ ?

,Pn=﹣ + ?



即有 Pn≠Qn. 由于 An 中相邻两项的和为 0,b1≠c1, 则 Pn≠Qn. 三、数学附加题【选做题】在以下四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请 在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修 4-1:几何 证明选讲] 21. (10 分) (2016?江苏模拟)如图:在 Rt∠ABC 中,AB=BC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,连接 AE 交⊙O 于点 F,求证:BE?CE=EF?EA.

【考点】圆的切线的性质定理的证明. 2 【分析】欲证明 BE?CE=EF?EA.在圆中线段利用由切割线定理得 EB =EF?FA,进而利用 四边形 BODE 中的线段,证得 BE=CE 即可. 【解答】证明:因为 Rt△ABC 中,∠ABC=90° 所以 OB⊥CB 所以 CB 为⊙O 的切线(2 分) 2 所以 EB =EF?FA(5 分) 连接 OD,因为 AB=BC 所以∠BAC=45° 所以∠BOD=90° 在四边形 BODE 中,∠BOD=∠OBE=∠BED=90° 所以 BODE 为矩形(7 分)
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所以 即 BE=CE. 所以 BE?CE=EF?EA. (10 分)

[选修 4-2:矩阵与变换] 22. (10 分) (2016?盐城模拟)已知 a,b 是实数,如果矩阵 A= 点(2,3)变成点(3,4) . (1)求 a,b 的值. 2 (2)若矩阵 A 的逆矩阵为 B,求 B . 【考点】逆变换与逆矩阵. 【专题】计算题;转化思想;定义法;矩阵和变换.
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所对应的变换 T 把

【分析】 (1)由题意,得

=

得 6+3a=3,2b﹣6=4,解得即可,

(2)求出矩阵 A 的逆矩阵为 B,问题得以解决. 【解答】解: (1)由题意,得 所以 a=﹣1,b=5. (2)由(1) ,得矩阵 A= 所由矩阵的逆矩阵公式得 B= = 得 6+3a=3,2b﹣6=4,

B=

2

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系. 直线 l 的极坐标方程为 ρsin ( ﹣θ) = , 椭圆 C 的参数方程为

(t 为参数) . (1)求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 【考点】椭圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】方程思想;综合法;坐标系和参数方程.
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【分析】 (1)由极坐标方程和普通方程的关系可得直线的方程为 t 可得椭圆的普通方程为 + =1; ) ,B( ,

x﹣y﹣

=0,消去参数

(2)由(1)联立直线和椭圆方程可解的 A(0,﹣ 公式可得. 【解答】解: (1)由 ρsin( ∴ ρcosθ﹣ ρsinθ= ,即 ﹣θ)= 可得 ρ( ,

) ,由两点间的距离

cosθ﹣ sinθ)=



x﹣ y=

变形可得直线直线 l 的直角坐标方程为 ∵椭圆 C 的参数方程为 ∴cost= ,sint=
2 2

x﹣y﹣

=0;




2

由 cos t+sin t=1 可得( ) +(

) =1,

2

整理可得椭圆 C 的普通方程为

+

=1;

(2)由(1)联立直线和椭圆方程



消去 y 并整理可得 5x ﹣8x=0,解得 x1=0,x2= , ∴A(0,﹣ ) ,B( , ) =

2

∴线段 AB 的长为

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?盐城模拟)解不等式:|x﹣2|+x|x+2|>2. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】转化思想;分类法;不等式的解法及应用. 【分析】分当 x≤﹣2 时、当﹣2<x<2 时、当 x≥2 时三种情况,分别求得不等式的解集, 再取并集,即得所求. 【解答】解:对于|x﹣2|+x|x+2|>2, 当 x≤﹣2 时,不等式化为(2﹣x)+x(﹣x﹣2)>2,解得﹣3<x≤﹣2; 当﹣2<x<2 时,不等式化为(2﹣x)+x(x+2)>2,解得﹣2<x<﹣1 或 0<x<2; 当 x≥2 时,不等式化为(x﹣2)+x(x+2)>2,解得 x≥2; 所以原不等式的解集为{x|﹣3<x<﹣1 或 x>0}.
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第 24 页(共 27 页)

[必做题]第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. (10 分) (2016?江苏模拟)甲、乙两人投篮命中的概率为别为 与 ,各自相互独立, 现两人做投篮游戏,共比赛 3 局,每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后,甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E (ξ) . 【考点】随机事件;离散型随机变量及其分布列. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个,有以下几种情况:甲进 1 球,乙 进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球.由此能求出比赛结束后甲的进球数比 乙的进球数多 1 个的概率. (2)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列 和 Eξ. 【解答】解: (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个,有以下几种情况: 甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球. 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率:
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p=

+

+

=



(2)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P (ξ=0) = + P(ξ=1)= + = P(ξ=3)= P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)=1﹣ ∴ξ 的分布列为: ξ P Eξ= =1.
n 2 n *

+ = = , + , = ,

+

+

=



0

1

2

3

26. (10 分) (2016?盐城模拟)设(1﹣x) =a0+a1x+a2x +…+anx ,n∈N ,n≥2. (1)设 n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值;

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(2) 设 bk=

ak+1(k∈N,k≤n﹣1) ,Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n﹣1) , 求|

|的值. 【考点】数列与函数的综合;二项式定理的应用. 【专题】转化思想;分析法;等差数列与等比数列;二项式定理.
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【分析】 (1)由二项式定理可得 ak=(﹣1) ? 2 ; (2)由组合数的阶乘公式可得 bk=(﹣1) ? 时,bk=(﹣1) ?
k+1 k+1 10

k

,再由二项式系数的性质,可得所求和为

,再由组合数的性质,可得当 1≤k≤n﹣1 )=(﹣1)
k﹣1

=(﹣1) ?(

k+1

+

?

﹣(﹣1) ?

k



讨论 m=0 和 1≤m≤n﹣1 时,计算化简即可得到所求值. 【解答】解: (1)由二项式定理可得 ak=(﹣1) ? 当 n=11 时,|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|= = ( (2)bk= + +…+ + )=2 =1024;
k+1 10 k

, + +…+

ak+1=(﹣1)

?
k+1

=(﹣1) ? =(﹣1)
k+1

k+1

?

, + )
k

当 1≤k≤n﹣1 时,bk=(﹣1) =(﹣1)
k+1

?( ?

?

+(﹣1)

k+1

?

=(﹣1)

k﹣1

﹣(﹣1) ?



当 m=0 时,|

|=|

|=1;

当 1≤m≤n﹣1 时,Sm=b0+b1+b2+…+bm=﹣1+ =﹣1+1﹣(﹣1)
m

[(﹣1)

k﹣1

?

﹣(﹣1) ?

k

]

=﹣(﹣1)

m



即有|

|=1.

综上可得,|

|=1.

第 26 页(共 27 页)

参与本试卷答题和审题的老师有:whgcn;742048;w3239003;双曲线;zhczcb;caoqz;刘 老师;sxs123;maths;zlzhan;yhx01248;lincy(排名不分先后) 菁优网 2016 年 11 月 9 日

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