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抛物线及其标准方程第一课时


一、椭圆和双曲线的第二定义:
与一个定点的距离和一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹. y y
N M N

M
F

F

o

F'

x

F'

o

x

当e>1时,是双曲线。 当0<e <1时,是椭圆, 当e=1时,它又是什么曲线?

一、定义
平面内与一个定点F和一条定 l 直线L的距离相等的点的轨迹叫做 N 抛物线。定点F叫做抛物线的焦点 。定直线L 叫做抛物线的准线。
M

· F ·

即:

︳ ︳ MF 若 ? 1, 则点M的轨迹是抛物线。 ︳ ︳ MN

二、标准方程
想 一 想 ? ?
l N
M

· · F

如何建立直角 坐标系?

设︱KF︱= p
p p 则F( 2 ,0),L:x = 2 设点M的坐标为(x,y), 由定义可知,
N

y L
(x,y) M

K o

· · F

x

p 2 2 p ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

方程 y2

= 2px(p>0)叫做

抛物线的标准方程 其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦 点 到 准 线 的 距 离

上面方程表示抛物线的焦点在X 轴正半轴上。
p p 则F( 2 ,0),l:x = 2

一条抛物线,由于它在坐标平面内的位 置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方 程还有其它形式。

图 像
y
?

方 程
x







线

O

F

y
?

y ? 2 px p?0
2

p F ( , 0) 2

p x?? 2

FO

x

y
?

y ? ?2 px p?0
2

p F ( ? , 0) 2

p x? 2
p y?? 2

F

O

x
l
l

y
O
?

x 2 ? 2 py p?0
x ? ?2 py p?0
2

x

F

p F (0, ) 2 p F (0, ? ) 2

p y? 2

问题:
椭圆,双曲线,抛物线各有几条准线?

根据上表中抛物线的标准方程

的不同形式与图形,焦点坐标,准
线方程对应关系如何判断抛物线的

焦点位置,开口方向??

例1、(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程; (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。

例2、求过点A(-3,2)的抛物线的
标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

9 4


A

y

O

x

得p=

4 9 2= 2 =? x ∴抛物线的标准方程为x y或 y 3 2

2 3



例3、M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

X0 +
这就是抛 物线的焦 半径公式!

————————————

— 2

p

y

O F

. .
M

x

练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);

y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? ; 4
(3)焦点到准线的距离是2。 y2

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x (2)x2=

1 y 2

(3)2y2 +5x =0

(4)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程

(1)

(5,0)
1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8

x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8

(2)
(3) (4)

(0,-2)

y=2

讨论题:
1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离 等 于点M到准线的距离则点M的坐标是

2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线 焦点,试在抛物线上求一点P,使 PA与PF 的 距离之和最小,并求出这个最小值。

小 结 :
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程

3、注重数形结合的思想。


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