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2014年各省市三角函数高考题汇总



2014 年全国各地高考文科数学试题分类汇编:三角函数 一、选择填空题 1.[2014· 全国新课标卷Ⅰ2] 若 tan α >0,则( ) A.sin α >0 B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 【答案】A 2. [2014· 全国卷 2] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( ) 4 3 3 4 A.5 B.5 C.-

5 D.-5 【答案】D π? ? 3.[2014· 陕西卷 2] 函数 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期是( ) 4? ? π A. 2 B.π C.2π D.4π 【答案】B 4.[2014· 四川卷 3] 为了得到函数 y=sin(x+1)的图像,只需把函数 y=sin x 的图像上所有的点( A.向左平行移动 1 个单位长度 B.向右平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动π 个单位长度 D.向右平行移动π 个单位长度 【答案】A 5.[2014· 浙江卷 4] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( π A.向右平移12个单位 【答案】A π π B.向右平移 4 个单位 C.向左平移12个单位 )

)

π D.向左平移 4 个单位

π 6.[2014· 福建卷 7] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 2 个单位,得到函数 y=f(x)的图像,则下列说法正 确的是( ) A.y=f(x)是奇函数 π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 2 对称 B.y=f(x)的周期为π

? π ? D.y=f(x)的图像关于点?- ,0?对称 【答案】D ? 2 ? π? π? ? ? 7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ7] 在函数①y=cos|2x|, ②y=|cos x|, ③y=cos?2x+ ?, ④y=tan?2x- ?中, 6? 4? ? ? 最小正周期为π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 【答案】C 8.[2014· 天津卷 8] 已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω>0), x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点 π 中,若相邻交点距离的最小值为 3 ,则 f(x)的最小正周期为( ) π 2π A. 2 B. 3 C.π D.2π 【答案】C 9.[2014· 安徽卷 7] 若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图像向右平移 φ 个单位,所得图像关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是( ) π π 3π 3π A. B. C. D. 【答案】C 8 4 8 4 π π? ? 10.[2014· 辽宁卷 11] 将函数 y= 3sin ?2x+ ? 的图像向右平移 2 个单位长度,所得图像对应的函数 3 ? ? ( ) ?π 7π ? ?π 7π ? A.在区间? , ?上单调递减 B.在区间? , ?上单调递增 12 12 ? ? ?12 12 ? ? π π? ? π π? C.在区间?- , ?上单调递减 D.在区间?- , ?上单调递增 【答案】B 3? 3? ? 6 ? 6 π 11.[2014· 江苏卷 5] 已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π ),它们的图像有一个横坐标为 3 的 交点,则 φ 的值是________. 【答案】 ?
6

3 12. [2014· 山东卷 12] 函数 y= 2 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 【答案】 ? π π? ? 13.[2014· 重庆卷 13] 将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω >0,- ≤φ < ?图像上每一点的横坐标缩短为原 2 2? ? π ?π ? 来的一半,纵坐标不变,再向右平移 6 个单位长度得到 y=sin x 的图像,则 f? ?=________. ?6? 2 【答案】 2 14.[2014· 新课标全国卷Ⅱ14] 函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x 的最大值为________. 【答案】1 15.[2014· 全国卷 14] 函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. 【答案】
3 2

16.[2014· 全国卷 16] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3),则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. 【答案】 二、解答题: 5 ?π ? 1.[2014· 江苏卷 15] 已知 α∈? ,π ?,sin α = 5 . ?2 ? ?π ? ?5π ? ?的值. (1)求 sin? +α?的值;(2)求 cos? - 2 α ?4 ? ? 6 ? 解: (1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 2 5
2

4 3

s i n? ? ? ? s i?n 4 4

?

?

?2 ? ?

5

5

? c o? s
5

?c o s ? ? s2 in 4 2
2

; ? ?( c o ?s ? 1 ? s0 in
10
2

)

(2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 3
5

∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 .
6 6 2 5 2 10

?6

? 5?

?π ? 2.[2014· 江西卷 16] 已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f? ?=0, ?4? 其中 a∈R,θ ∈(0,π ). π? 2 ?π ? ? ?α? (1)求 a,θ 的值;(2)若 f?4?=-5,α∈? ,π ?,求 sin?α + ?的值. ? ? 3? ?2 ? ? 解: (1)因为 f ? x ? ? ? a ? 2cos2 x ? cos ? 2x ? ? ? 而 y1=a+2cos2x 为偶函数,所以 y1= cos ? 2 x ? ? ?

?? ? ? ? ? , 得 ? ? . 所以 f ? x ? = ? sin 2 x( ? a ? 2cos2 x) 为奇函数, 又 ? ? ? 0, 由 f ? ? ? 0, 得(a+1) =0, 即 a ? ?1. 2 ?4?
1 4 3 ? ? ? ? (2)由(1)得: f ? x ? ? ? sin 4 x, 因为 f ? ? ? ? sin ? ? ? ,得 sin ? ? , 又 ? ? ? ,? ? ,所以 cos ? ? ? , 2 5 2 5 5 ?4? ?2 ?
1 2

?

?

?? ? ? ? 4?3 3 . 因此 sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? sin cos ? ? 3 3 3
? ?
10

? 3.[2014· 四川卷 17] 已知函数 f ( x) ? sin(3 x ? ) (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; 4 ? 4 ? (Ⅱ)若 ? 是第二象限角, f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 3 5 4 ? ? ? ? 2 ? 2 解: (1) ? ? 2k? ? 3x ? ? ? 2k? ? ? ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) ; 2 4 2 4 3 12 3

? 4 ? (2)由已知,有 sin(? ? ) ? cos(? ? ) cos 2? , 4 5 4
4 即 sin ? ? cos ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? )(sin ? ? cos ? ) ,. 5

若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 cos ? ? sin ? ? ? 2 ,
4 5 若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 1 ? (cos ? ? sin ? )2 ? cos ? ? sin ? ? ? . 5 2

综上得, cos ? ? sin ? 的值为 ? 2 或 ?

5 . 2

? π? ?5π ? 3 2 4.[2014· 广东卷 16] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= 2 . 3 ? ? ? 12 ? π? ? ?π ? (1)求 A 的值;(2)若 f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2? ? ?6 ?
解 : (1) f ( 5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 12 12 3 4 2 2 2 ? 3.

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ?

?

3

),

? f (? ) ? f ( ?? ) ? 3 sin(? ?

?
3

) ? 3 sin( ?? ? 3 ? cos ? sin

?
3

)

? 3(sin ? cos ? 6 sin ? cos ? 3sin ? ? ? sin ? ? ?f( 3 , 3 3

?

?
3

) ? 3(sin( ?? ) cos

?
3

? cos( ?? ) sin

?
3

)

?

3

? ? (0, ?
3

?
2

),? cos ? ?

1 ? sin 2 ? ?

6 3 6 ? 3 6

?
6

? ? ) ? 3sin(

?
6

?? ?

) ? 3sin(

?
2

? ? ) ? 3 cos ? ? 3 ?

π? ? 5.[2014· 北京卷 16] 函数 f(x)=3sin?2x+ ?的部分图像如图所示. 6? ? (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π? ? π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上的最大值和最小值. 12? ? 2 7? 解: (I) f ? x ? 的最小正周期为 ? , x0 ? , y0 ? 3 . 6 ? ? ? 5? ? (II) 因为 x ? [? , ? ] , 所以 2 x ? ? [? , 0] , 于是当 2 x ? ? 0 , 2 12 6 6 6 ? ? ? ? 即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最大值 0;当 2 x ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最小值 ?3 . 12 6 2 3

6.[2014· 福建卷 18] 已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). ?5π ? (1)求 f? ?的值;(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. ? 4 ? 5? 5? 5? 5? ? ? ? (sin ? cos ) ? ?2 cos (? sin ? cos ) ? 2 解法一: (1) f ( ) ? 2 cos 4 4 4 4 4 4 4 ? (2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4 2? ?? . 所以 T ? 2 ? ? ? 3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,得 k? ? 2 4 2 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z . 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? 8 8 ? 解法二:因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 5? 11? ? ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 (1) f ( ) ? 2 sin 4 4 4 2? ?? (2) T ? 2 ? ? ? 3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,得 k? ? 2 4 2 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? 8 8 7. [2014· 湖北卷 18] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t) π π =10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天上午 8 时的温度;(2)求实验室这一天的最大温差. 解: (Ⅰ) f (8) ? 10 ? 3cos( ? 8)? sin( ? 8) ? 10 ? 3cos
1 3 ? 10 ? 3 ? ( ? ) ? ? 10 . 2 2

π 12

π 12

2π 2π ? sin 3 3

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (Ⅱ)因为 f (t ) ? 10 ? 2(
3 π 1 π π π cos t ? sin t ) = 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

又 0 ? t ? 24 ,所以 ? 当 t ? 2 时, sin(

π 3

π π 7π π π , ?1 ? sin( t ? ) ? 1 . t? ? 12 3 3 12 3

π π π π t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3

于是 f (t ) 在 [0, 24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.



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