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人教版数学选修1-1第1章1.1.1



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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学

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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标

1.1

命题及其关系

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1.1.1

命题

教师用书独具演示

●三维目标 1.知识与技能 理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为 命题,能判断命题的真假;能把命题改写成“若 p,则 q”的形 式.

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易 错 易 误 辨 析

2.过程与方法 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养 他们的分析问题和解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣.

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●重点、难点 重点:命题的概念、命题的构成. 难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假.

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●教学建议 命题的概念在初中已经学习过,可以通过回顾初中知识引 入,讲清命题概念中的两个问题,判断是否为陈述句,能否判 断真假;重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中,基于 教材内容简单且以前曾经接触过,可以采用提问式、讨论式的 教学方法,让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识,增长 技能,进而突破重难点.

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●教学流程

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演示结束

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1.了解命题的概念及构 成.(重点) 课标解读 2.会判断命题的真假. (难点、易错点)

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命题的概念
【问题导思】 观察下列实例: ①一条直线l,不是与平面α平行就是相交; ②4是集合{1,2,3,4}的元素; ③若x∈R,方程x2-x+2=0无实根; ④作△ABC∽△A′B′C′ 上述语句中,哪些能判断真假?
【提示】
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①、②、③、④是祈使句不能判断真假.

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1.定义 在数学中,把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的 陈述句 叫做命题. 2.分类 ①真命题: 题:
判断为假 判断为真

的语句叫做真命题;②假命

的语句叫做假命题.

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命题的形式
【问题导思】 1.“同位角相等”是命题吗?如果是命题,是真命题还 是假命题?
【提示】 是命题,为假命题.

2.你能把“同位角相等”写成“若??,则??”的形 式吗?

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【提示】

若两个角为同位角,则这两个角相等.

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命题的形式:“若p,则q”,其中命题的条件是 p ,结论 是q .

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命题的判断

判断下列语句是否为命题,并说明理由. (1)x-2>0; (2)梯形是不是平面图形呢? (3)若a与b是无理数,则ab是无理数; (4)这盆花长得太好了! (5)若x<2,则x<3.

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【思路探究】 (1)这些语句是陈述句吗?(2)你能判断它 们的真假吗?
【自主解答】 不能判断真假. (2)不是命题,疑问句不是命题. (3)是命题,因为此语句是陈述句且是假的.(反例a=b= 2) (4)不是命题,感叹句不是命题. (5)是命题,因为此语句是陈述句且是真的.
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(1)不是命题,因为变量x的值没有给定,

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判断一个语句是否为命题的步骤: (1)语句格式是否为陈述句,只有陈述句才有可能是命题. (2)该语句能否判断真假,语句叙述的内容是否与客观实际 相符,是否符合已学过的公理、定理,是明确的,不能模棱两 可.

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判断下列语句是否为命题,并说明理由. (1)一条直线l,与平面α不是平行就是相交; (2)若xy=1,则x,y互为倒数; (3)作△ABC∽△A′B′C′.

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【解】 (1)是命题.直线l与平面α有相交、平行、l在平 面α内三种关系,为假. (2)是命题.因xy=1时,x,y互为倒数,为真. (3)不是命题,祈使句不是命题.

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命题真假的判定

判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假, 并说明理由. (1)函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π; (2)若x=4,则2x+1<0; (3)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列; (4)求证:x∈R时,方程x2-x+2=0无实根.

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【思路探究】 真假命题
【自主解答】

命题 判定是否 证明?举反例? 语句 ――→ ――→ 定义 是命题

(1)(2)(3)是命题,(4)不是命题. 2x,显

命题(1)中,y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos 然其最小正周期为π,为真命题. 命题(2)中,当x=4,2x+1>0,是假命题.

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命题(3)中,当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数 列为递减数列,是假命题. (4)是一个祈使句,没有作出判断,不是命题.
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1.真假命题的判定方法: (1)真命题的判定方法: 真命题的判定过程实际就是利用命题的条件,结合正确的 逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的 关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法. (2)假命题的判定方法: 通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题 为假命题的常用方法. 2.解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握.
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在本例中,把不是命题的改为命题后,再把假命题改为真 命题.

【解】 (2)是假命题,改为真命题为:若x=4时,则2x+ 1>0. (3)是假命题,改为真命题为:一个等比数列的公比大于 1,首项大于零时,该数列为递增数列. (4)不是命题,改为真命题为:若x∈R,则方程x2-x+2= 0无实根.
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命题的形式及改写

把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断 命题的真假. (1)两个周长相等的三角形面积相等; (2)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2; (3)当m>1时,x2-2x+m=0无实根; (4)当abc=0时,a=0且b=0且c=0.

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【思路探究】 (1)这些命题的条件与结论分别是什么? (2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理?
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【自主解答】

(1)若两个三角形周长相等,则这两个三角

形面积相等,假命题; (2)已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2,假命 题; (3)若m>1,则x -2x+m=0无实根,真命题; (4)若abc=0,则a=0且b=0且c=0,假命题.
2

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1.解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论,进而 化成“若p,则q”的形式. 2.对于命题的大前提,应当写在前面,不要写在条件 中;对于改写时语句不通顺的情况,要适当补充使语句顺畅.

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把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真 假. (1)奇数不能被2整除; (2)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1; (3)两个相似三角形是全等三角形; (4)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行.

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【解】 题;

(1)若一个数是奇数,则它不能被2整除,是真命

(2)若(a-1)2+(b-1)2=0,则a=b=1,是真命题; (3)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三 角形,是假命题. (4)在空间中,若两条直线平行于同一个平面,则这两条直 线平行,是假命题.

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因知识欠缺,导致对命题真假判断失误 判断下列命题的真假. 1 1 (1)若a>b,则a<b; (2)x=1是方程(x-1)(x-2)=0的一个根.
【错解】 (1)真命题. (2)假命题.

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【错因分析】

(1)误认为“两数比较大小时,大数的倒数

1 反而小”,而忽视a、b的条件,当a>0,b<0时,a>b但 a > 1 . b (2)因为方程的根为x=1或x=2,解题时误认为x=1不全 面,而没有分析清逻辑关系.

【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解 透彻.
【正解】
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(1)假命题

(2)真命题

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1.判断一个语句是否是命题要注意两点: (1)是不是陈述句; (2)能否判断真假. 2.命题的真假判断要结合已有知识,进行严格 的逻辑推理,对于描述较为简洁的命题可以分清条件 和结论后改写成“若p,则q”的形式再加以判断.

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1.下列语句中是命题的是( π A.2是无限不循环小数

)

B.3x≤5

C.什么是“温室效应” D.《非常学案》真好呀!

【解析】 疑问句和祈使句不是命题,C、D不是命题, 对于B无法判断真假,只有A是命题.
【答案】 A

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2.下列命题中是假命题的是( A.5是15的约数 C.对顶角相等

)

B.对任意实数x,有x2<0 D.0不是奇数

【解析】 对任意实数x,有x2≥0,所以B为假命题.A、 C、D均为真命题.
【答案】 B

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3.把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写 成“若p,则q”的形式为________. 【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面,则这两条直 线互相平行

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4.判断下列语句是否为命题,若是命题,判断其真假. (1)求证: 2是无理数. (2)若 G2=ab,则 a、G、b 成等比数列. (3)末位数字是 0 的整数能被 5 整除. (4)你是高二的学生吗?
【解】 (1)不是命题,(2)假命题,(3)真命题,(4)不是命题.

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课时作业(一)

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下列四个命题: ①若向量a,b满足a· b<0,则a与b的夹角为钝角; ②已知集合A={正四棱柱},B={长方体},则A∩B=B;

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③在平面直角坐标系内,点M(|a|,|a-3|)与N(cos α,sin α) 时 在直线x+y-2=0的异侧;
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④规定下式对任意a,b,c,d都成立.
?a ? ?c ? ?-sin α ? ? ? cos α

b? ? d? ?

2



?a ? ?c ?

b? ? d? ? 0? ? . 1? ?

·

?a ? ?c ?

b? ? d? ?



?a2+bc ? ? ?ac+cd

ab+bd? ? 2 ? ,则 bc+d ?

? cos α? ?2 ?1 ? =?0 sin α? ?

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其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填 上).

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【解析】

当a与b的夹角为π时,有a· b<0,但此时的夹

角不为钝角,所以①是错误的;因为正四棱柱的底面是正方 形,所以A∩B=A,故②也是错误的;因为|a|+|a-3|-2≥|a -a+3|-2=1>0,cos α+sin α-2=
? π? 2sin ?α+4? -2<0,所 ? ?

以点M,N在直线x+y-2=0的异侧,故③是真命题;根据题 意有

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?-sin α ? ? ? cos α

?-sin α cos α? ?-sin α cos α? cos α? ?2 ? ?? ? = · ? ?? ? sin α? ? ? cos α sin α? ? cos α sin α? ? ? -sin αcos α+cos αsin α? ? ?1 0? ?=?0 1?, αsin α cos2α+sin2α ? ? ?

??-sin α?2+cos2α =? ? ?-sin αcos α+cos

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所以④是真命题,故填③④.
【答案】 ③④

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把下面命题补充完整,使其成为一个真命题. 若函数f(x)=3+log2x(x>0)的图象与g(x)的图象关于x轴对 称,则g(x)=________.
【解析】 设g(x)图象上任一点(x,y),则它关于x轴的对

称点为(x,-y),此点在f(x)的图象上,故有:-y=3+log2x成 立,即y=-3-log2x(x>0).
【答案】 -3-log2x(x>0)

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