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2011年卡西欧图形计算器竞赛试卷



“卡西欧杯”2011 年全国高中数学图形计算器应用能力测试


一 1~12 13


二 14 15

(5 月 22 日上午 9∶00~11∶00)
题 得 号 分 总 分

评卷人 复查人 一、填空题(本题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.把答 案

填在题中横线上)

得分

评卷人

1.计算 2.5ln 5 ? cos

13 . π ? 10 ? lg 75 的值为____________________(精确到 0.01) 7

2.若 a ? log π 3 , b ? log 5 2 , c ? log 33 2 ,则将它们按从小到大的顺序用“<”连 接起来为____________________.

5 3.不等式 x2 ? ≥ 3 的解集为____________________(精确到 0.01) . x
4. 记 g (m) 为函数 f ( x) ? mx cos xm ? 1, x ??0,5? 的零点个数, 则 g (1) ? g (2) =__________. 5.下表是 2009 年天津、济南两座城市的月平均气温(单位:摄氏度)数据:
城市 天津 济南 1月 -3.5 -0.2 2月 0.7 5.1 3月 6.7 9.0 4月 15.6 16.7 5月 22.6 21.9 6月 25.8 28.1 7月 27.1 26.5 8月 25.6 25.1 9月 20.9 21.1 10 月 14.9 18.8 11 月 1.6 4.8 12 月 -2.8 0.8

则天津、济南这两座城市 2009 年的年平均气温分别为 (精确到 0.01) ,全年气温变化幅度较小的城市是 .



1 6.已知物体的斜抛公式为 y ? v0 sin ? ? t ? gt 2 (g 为重力加速度, g ? 9.8 米/秒 2) , 2
若已知倾斜角 ? ? 45? ,物体的初速度 v0 ? 300 米 / 秒,当 y ? 938.16 米时,时间 t 的值为 ____________________(精确到 0.1) .
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7.已知函数 f ( x) ? x2 ? 8ln x , g ( x) ? ? x2 ? 14 x .若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解, 则实数 m 的值是____________________(写出精确数值) . 8.某人购买一套 90 平方米的商品房,价格为 1.2 万元/平方米,现需首付房款总额的 30%,余下的部分申请公积金贷款,贷款期限为 20 年,还款方式为等额本息,年利率为 4.7%,月复利. 那么每月需还贷款______________元(精确到 0.01) ; 如果每月只能支付 4000 元,能承担的最大贷款额为____________________元(精确到 0.01). 9.当 a ? 1 时,方程 a| x| ?| loga x | 的根的个数构成的集合为____________________. 10. 古希腊人曾制造过一种“梯子” ,不是用来登高,而是用来求无理数 2 的近似 值,这个梯子如下表所示: ? 169 70 29 12 5 2 1 ? 239/169 99/70 41/29 17/12 7/5 3/2 1/1 ? 239 99 41 17 7 3 1

记表中左边一列数 1,2,5,12?构成的数列为 ?an ? ,其中 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,?;右边 一列数 1,3,7,17?构成的数列为 ?bn ? ,其中 b1 ? 1 , b2 ? 3 ,?;中间一列数由 cn ?
bn an

构成,记为数列 ?cn ? ,数列 ?cn ? 用来逼近 2 ,则 c10 =______________(用分数表示) . 11. 将同时满足被 10 除余 9, 被 9 整除, 被 8 除余 7 的自然数按从小到大的顺序排列, 则前 10 个这样的自然数的和为____________________. 12 . 由 直 线 x ? y ? 60 , y ?

1 x , y ? 0 围成的三角形三边上整点的个数和为 2

? y ? 0, ? 1 ? ___________;由不等式组 ? y ? x, 围成的平面区域内整点的个数为_____________. 2 ? x ? y ? 60 ? ?

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二、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分,解答应写出必要的文字说明、 演算步骤或证明过程) 得分 评卷人 13.(本小题满分 20 分) 如果不等式

x?m ? x 恒成立,求实数 m 的取值组成的集合. ln x

得分

评卷人 14.(本小题满分 20 分)

在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 v (单位:
cm3 / s )与管道半径 r (单位: cm )满足以下数量关系:

半径 r 速率 v

1 5

2 79

3 400

4 1264

5 3086

6 6400

(1) 根据表中提供的数据, 选择最好的函数模型, 使它能够反映气体流量速率 v 与 管道半径 r 的函数关系,写出这个函数模型的解析式; (2)当管道半径在 8.4cm~8.5cm 的范围内变化时,求气体流量速率 v 的变化范围 (精确到 0.01) ; (3)当要求气体流量速率 v 不大于 8000 cm3 / s 时,求符合要求的管道半径 r 的范 围(精确到 0.01) .

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得分

评卷人 15.(本小题满分 20 分)

x . 1? x (1)若 a ? ?1 且 a ? 0 ,试比较 f (a) , g (a) , h(a) 的大小,并说明理由(不需证明) ;
已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) , g ( x) ? x , h( x) ? (2)设数列 {an } 满足: a1 ?

1 , 2nan?1 ? (n ? 1)an (n ? N*) ,请利用(1)中的结论证 2

明: (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ? e2 .

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