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高三数学暑假作业答案.



第1练 一、填空题
1、 ?1,3, 6, 7? 2、{x|-1≤x≤5} 6、 {x|x?1} 10、26 11、 B

集合

1? 3、 ?? 5,?

4、{0,-1/4} 8、4

5、 {-2,0,2} 9、6 13、①②④

7、{1,2,3,6,7}

/>
12、 ?? ?,?5? ? ?5,?? ?

14、{1/2,1/3,4}

二、解答题
15、解析:当 2a-1=9 即 a=5 时,
9? ∴a2=25,a-5=0,1-a=-4,此时 A ? B ? ?-4, 不满足题意,舍;

当 a2=9 即 a=±3 时, 当 a=3 时 2a-1=5,a-5=-2,1-a=-2,此时 B 中有两个元素相等与集合元 素互异性矛盾,不满足题意,舍; 当 a=-3 时 2a-1=-7,a-5=-8,1-a=4,满足题意, 此时 A∪B={-4,-7,9,-8,4} ∴a=-3,A∪B={-4,-7,9,-8,4}
? ?2 ? a ? 1 ? 16 解析:(1)由于 M ? N,则 ?5 ? 2 a ? 1 , ? 2a ? 1 ? a ? 1 ?

解得 a ?

.

(2)①当 N=

时,即 a+1>2a-1,有 a<2;
? ?2 ? a ? 1 ? ,则 ?5 ? 2 a ? 1 , ? 2a ? 1 ? a ? 1 ?

②当 N≠

解得 2≤a≤3,

综合(1)(2)得 a 的取值范围为 a≤3. 17 解析:由 S= ?3 , a 2 ? 且 S∩T= ?1? 得 a 2 ? 1 , 则 a ? ?1 ,而 S= ?3 , 1?
1 故当 a ? 1 时, T ? ? x | 0 ? x ? 1 ? 3 , x ? Z ? 即 T ? ?0 ,? 满足 S∩T= ?1? 3 当 a ? ?1 时 , T ? ? x | 0 ? x ? 1 ? 3 , x ? Z 即 T ? ?2 ,? 不 满 足 S ∩ T= ?1? ?
所以 P ? S ∪ T ? ?0 ,1 ,3? 那么 P 的子集有:

1

?,0?, ?,3?,0,,0, ,, ,0,3? ? ?1 ? ? 1? ? 3? ?1 3? ? 1,

18、.解析:

(1)? 2 ? A

?

1 1 ? A, ? A ,即 ?1? A ,? 1 ? (?1) 1? 2

1 即 ? A, 2

(2)假设 A 中仅含一个元素,不妨设为 a, 则 a ? A, 有 又 A 中只有一个元素 ? a ?
1 1? a

1 ?A 1? a

即 a2 ? a ? 1 ? 0

此方程 ? ? 0 即方程无实数根.?不存在这样的 a. 19、解:利用韦恩图解,由题设条件知 A ? B ? {2}, (CU A) ? B ? {1,9}
(CU A) ? (CU B) ? {4, 6,8},





(CU

? B)?

A {

于3

, 是

5

,

7

A={2,3,5,7},B={1,2,9}. 20、解析:∵

A? B ? B

∴ B?A ,

由 A={0,-4},∴B=Φ ,或 B={0},或 B={-4},或 B={0,-4} 当 B=Φ 时,方程 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 无实数根,则= 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 整理得 a ? 1 ? 0 解得 a ? ?1 ; 当 B={0}时,方程 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 有两等根均为 0,则
?? 2(a ? 1) ? 0 ? 2 ? a ?1 ? 0

解得 a ? ?1;

当 B={-4}时,方程 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 有两等根均为-4,则
?? 2(a ? 1) ? ?8 无解; ? 2 ? a ? 1 ? 16

当 B={0,-4}时,方程 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 的两根分别为 0,-4,则
?? 2(a ? 1) ? ?4 解得 a ? 1 ? 2 ? a ?1 ? 0

综上所述: a ? ?1或a ? 1

2

第2练
一、填空题
1、0 或 1 个 6、 x ? 2 11、 (3) 2、 [?4,2) ? (2,4] 7、 [0,2] 12、②③ 3、0
?3

函数
4、 f ( x) 2 x ? 1 ? 9、[-1,1] 14、 ?a ? 2, b ? 2? 5、[3/4,3] 10、4/3

8、 f ( x) ? x 13、m>4/3

二、解答题
15、解:依题有 3m ? 1 ? 4 或 3m ? 1 ? 7 或 3m ? 1 ? 13
2 2 2

解之得 m ? ?1 或 m ? ? 2 或 m ? ?2 又 m ? 1且 m ? 2 所以 m ? ?1 或 m ? ? 2 或 m ? ?2 16、 (1)解:因为 2 f ( x) ? f ( ) ? 把①中的 x 换成 由①②得 f ( x) ?

1 x

3 -------------① x

1 1 得 2 f ( ) ? f ( x) ? 3x ------------② x x

2 ?x x

(2)解:由题意设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c , ∵ f (1) ? 1 , f (?1) ? 5 ,且图象过原点,
?a ? b ? c ? 1 ? ∴ ? a ? b ? c ? ?5 ?c ? 0 ? ?a ? 3 ? ∴ ?b ? ?2 ?c ? 0 ?

∴ f ( x) ? 3 x 2 ? 2 x .
3x2-1 17、 (1)解:由 y= 2 可知,x∈R 且 yx2+2y=3x2-1 x +2 即(3-y)x2=2y+1 若 y=3 时,则有 0=7,这是不可能的. ∴y≠3 2y+1 得:x2= 3-y 2y+1 1 ∵x2≥0 ∴ ≥0 解得:- ≤y<3 2 3-y

1 ∴函数值域为[- ,3) 2 (2)解:∵1—x≥0 ∴x∈(—∞,1 ] ∴y=2—2t2+t ∴y=—2(t—
2 令 t= 1 ? x 则得:x= 1 ? t

1 2 17 )+ 4 8

3

∵x ? 1

∴t≥0 根据二次函数图象可得 (—∞,

17 ] 8

18、解:单调递增.

x 0 证明:设 x1 、 2 ? ? ?? , ? ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 。

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (?

1 1 1 1 x ? x2 ? 1) ? (? ? 1) ? ? ? 1 ?0 x1 x2 x 2 x1 x1 x 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )
故 f ( x) ? ?

1 ? 1 在区间 (??,0) 上是单调增函数 x
f ?1? ? 1 ? 0
2

19、解:(1) 令 x ? 1 ,由②可得:



f ?1? ? 1



? 1?1 ? f ?1? ? ? ? ?1 f ?1? ? 1 ? 2 ? 又由③得: ,∴ .
(1) 由

f ? ?1? ? 0

,即 a ? b ? c ? 0 ;

f ?1? ? 1

,即 a ? b ? c ? 1;



b ? a?c ?

1 2 .??????????? ? i ?

1 f ? x ? ? x ? ax 2 ? ? b ? 1? x ? c ? ax 2 ? x ? c ? 0 2 ∵ 对于任意实数 x , 都有
恒成立,

? 1? 1 ? ? ? ? ? ? 4ac ? 0 ac ? ? 2? 16 ,且 c ? 0 .???? ? ii ? ∴ a ? 0, ,即

2



? i ? 、 ? ii ? 得:
a?c?

a ? c ? 2 ac ? 2

1 1 1 ? a?c? 16 2 ,则 4,



1 1 1 1 1 b? f ? x ? ? x2 ? x ? 4, 2. 4 2 4.

20、分析:弄清“日销量” “价格” “日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式. 解:前 40 天内日销售额为: 1 1 109 1 7 1 S=( t+22) (- t+ )=- t2+ t+779 4 3 3 12 4 3 1 37849 ∴S=- (t-10.5)2+ 12 48 后 60 天内日销售额为:

4

1 1 109 1 213 5668 S=(- t+52) (- t+ )= t2- t+ 2 3 3 6 6 3 1 25 ∴S= (t-106.5)2- 6 24 ∴得函数关系式

?-12 (t-10.5) + 48 (0<t≤40且t∈N ) S=?1 25 ?6 (t-106.5) -24 (40<t≤100且t∈N )
1
2

37849

+

2

+

由上式可知:对于 0<t≤40 且 t∈N*,有当 t=10 或 11 时,Smax≈809 对于 40<t≤100 且 t∈N*,有当 t=41 时,Smax=714,综上所述得:当 t=10 或 11 时, Smax≈809 答:第 10 天或 11 天日售额最大值为 809 元

第3练 一、填空题
1.{1,2} 2. {2,0, -2} 3. (0,2]

函数

4. R

5. f ( x) ? x ? 1( x ? 0)
2

6. [-6, 3) ? (3,6] ? 11.[0,4]

7. f ( 2 ) ? f (?

?
2

) ? f (?3)

8.0

9.13

10. ?? ?,?3?

12.(1.25,1.5)

13.(-1,0)∪(0,1)

14.(1,2-1)

二、解答题
?2 x 2 ? 3x ? 1 x ? 0 ? 15、 f ( x) ? ?0 x?0 ??2 x 2 ? 3x ? 1 x ? 0 ?
16、解: (1)由已知, x ? 1 ? 0 得 x≠0
2

∴函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? R且x ? 0} (2)由函数 f ( x) ? x(

1 1 ? ) 可得: 2 ?1 2
x

f (? x) ? ? x(


1 1 1 1 ? ) ? ? x( ? ) 1 2 ?1 2 ?1 2 2x 2x 1 2x 1 ? ? x( ? ) ? x( x ? ) x 1? 2 2 2 ?1 2
?x

5

f (? x) ? f ( x) ? x(


2x 1 1 1 ? ) ? x( x ? ) x 2 ?1 2 2 ?1 2 x 2 1 ? x( x ? x ? 1) ? 0 2 ?1 2 ?1
又由(1) f ( x) 的定义域关于原点对称 ,

∴ f (? x) ? f ( x) ∴函数 f ( x) ? x(

1 1 ? ) 是偶函数 2 ?1 2
x

17、 (1)令 x ? 0, y ? 0 得 2 f (0) ? 2 f (0) , f (0) ? 0或1 ,又 f (0) ? 0 所以 f (0) ? 1
2

(2)令 x ? 0 ,则 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) ? f ( y) ,又 f (0) ? 1 ,即 f (? y) ? f ( y) , 则 f (x) 为偶函数 18、解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车为 所以租出了 88 辆车; (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为

3600 ? 3000 ? 12 辆, 50

x ? 3000 ? x ? 3000 ? f ?x ? ? ?100 ? ? 50 ,整理得 ??x ? 150 ? ? 50 ? 50 ?

f ?x ? ? ?

x2 1 2 ? 162 x ? 21000 ? ? ?x ? 4050 ? ? 307050 50 50

所以当 x ? 4050 时, f ? x ? 最大,其最大值为 f ?4050 ? ? 307050 答:当每辆车的月租金定为 4050 元时, 租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 307050 元. 19、 (1) f (0) ? 0, f (?1) ? ?

1 2

(2)设 x ? ?0,1?, 则 - x ? ?? 1,0? f (? x) ?

?x x2 ?1

因为函数 f(x)为偶函数,所以有 f (? x) ? f ( x) 即 f ( x) ?

?x x2 ?1

? ?x , x ? ?0,1? ? 2 所以 f ( x) ? ? x ? 1 x ? 2 , x ? ?? 1,0 ? ?x ?1
(3)设 0 ? x1 ? x2 ? 1

6

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?
∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 )

? x2 x2 ? 1
2

?

? x1 x1 ? 1
2

?

( x 2 ? x1 )( x1 x 2 ? 1) ( x 2 ? 1)( x1 ? 1)
2 2

∴ x2 ? x1 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 ∴f(x)在 ?0,1? 为单调减函数

20、解: (1)在②中令 x ? 1,有 1 ? f ?1? ? 1 ,故 f ?1? ? 1 . (2)当 x ? R 时, f (x) 的最小值为 0 且二次函数关于直线 x ? ?1 对称,故设此二次函数 为 f ? x ? ? a? x ? 1? ?a ? 0? .因为 f ?1? ? 1 ,的 a ?
2

1 1 2 .所以 f ?x ? ? ?x ? 1? . 4 4 1 1 2 2 (3)求实数 m 的取值范围.记 h?x ? ? f ?x ? ? x ? ?x ? 1? ? x ? ?x ? 1? , 4 4
显然 h? x ? ? 0 , f ? x ? 在区间 ?m ? 1, m?上恒有 f ?x ? ? x ? 1 ,即 h? x ? ? 1 , 令 h? x ? ? 1 ,得 x ? 解得 0 ? m ? 3 .

?? 1,3? ,由 h?x ?的图像只须 ?m ? 1 ? ?1 , ?
? m?3

7

第4练 一、填空题

指数函数对数函数和幂函数

1 1 1、 , (- 0)∪(0, +∞); 2、 (2,1) 3、 ; ; - 2 2

1 4、 ; 3

5、?0.5 ? x ? 1 ; 6、a ? b ? c ; 11、0; 12、 ?1, 2 ? ;

7、(3,+∞); 8、 (0,1]; 9、(1,3); 10、(-4,4]; 13、③ [解析] ①不正确,因为 y=2 x2-2x-3 的定义域为 R; ④不正确,因为 x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, 1 1 ∴2 x2-2x-3≥2-4= ,即值域为[ ,+∞); 16 16 ③正确,因为 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x). 14、

1 [解析] 函数 y=log2x 的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 m(m>0) 4

x 倍,得到函数 y=log2 的图像,将 y=log2x 的图像向上平移 2 个单位,得到函数 y=log2x m x 1 +2,依题意有 2+log2x=log2 ,所以 m= . m 4

二、解答题
1 2 1 1 15、 [解析] (1)原式=log2.52.52+lg10-2+lne +2?2log23=2-2+ +6=6 . 2 2 (a-a-1)2 a-a-1 (2)原式= = (a2+a-2)(a2-a-2) (a2+a-2)(a+a-1) 由 a-1-a=1 有 a-2+a2=3,而(a-1+a)2=a-2+2+a2=5, -1 5 ∴a-1+a=± 5,则原式= =± . 15 3?(± 5) 1 1 16、[解析] 因为 f(x)是偶函数,所以 f(- )=f( )=0, 2 2 又 f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以 f(x)在(-∞,0)上是减函数. 1 1 1 所以 f( log 4 x )>0? log 4 x > 或 log 4 x <- ,解得:x>2 或 0<x< , 2 2 2 1 则不等式 f( log 4 x )>0 的解集是{x|x>2,或 0<x< }. 2 17、 [解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格, 利润=收益-成本, 列出方程即可求解. (1)根据题意有 Q1 = Q2 , 144? ( ) +12=6? 2 ,即( 2 )2-2? 2 -24=0. 解得 2 =6, 2 =-4(舍去).∴P= log 2 6 ,故 P0 =P= log 2 6 .
p p

1 2

p

p

p

p

8

即均衡价格为 log 2 6 元. (2)由于利润=收益-成本,故 1 L= Q1 P-C=36 log 2 6 -(10+ ?36)=36 log 2 6 -22, 3 故 P= P0 时,利润为(36 log 2 6 -22)元. 也可以是( 36log 2 3 ? 14 )元 18、 3 1 f(x)=( log 2 x -1)( log 2 x -2)=( log 2 x )2-3 log 2 x +2=( log 2 x - )2- . 2 4

1 1 又∵-3≤log1 x≤- ,∴ ≤ log 2 x ≤3. 2 2 2 3 1 ∴当 log 2 x = 时,f(x)min=f(2 2)=- ; 2 4 当 log 2 x =3 时,f(x)max=f(8)=2.

b ?1 ? 0 ? b ?1 19、 (1)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 a ? 2
1? 2 a ? 2 x ?1
x

? f ( x) ?

1 1? 2 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 又由 f(1)= -f(-1)知 1?
f ( x) ? 1 ? 2x 2 ? 2 x ?1 设 x1>x2,
x2

(2)由(Ⅰ)知

1? 2 1? 2 x1 ?1 2 ? 2 x2 ?1 x1 ?1 2 ? 2 - 2 ? 2 x2 ?1 = 2 ? 2 则 f(x1)-f(x2)= <0
x1

?

4 ? 2 x2 ? 2 x1 ?

??

?

∴f(x1)<f(x2)

∴ f ( x) 在 (??, ??) 上为减数

(3)因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:
2 2

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0
2

等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t )
2 2 2 因 f ( x) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,

1 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3 从而判别式
20、(1)因为 y ? f ( x) 为偶函数,所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) ,

即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于 ?x ?R 恒成立.

9

x 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9x ? 1) ? log9 9 ? 1 ? log9 (9 x ? 1) ? ? x 恒成立, 9x

而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 . 2 (2)由题意知方程 log 9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log9 (9 x ? 1) ? x ? b 无解. 2 2 令 g ( x) ? log9 (9x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.
x 因为 g ( x) ? log9 9 ? 1 ? log9 ?1 ? 1x ? ? ? 9x ? 9 ?

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 9 x1 ? 9 x2 ,从而 1 ? 1 . 9 x1 9 x2 于是 log9 ?1 ? 11 ? ? log9 ?1 ? 12 ? ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数. ? ? ? ? ? 9x ? ? 9x ? 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ?1 ? 1x ? ? 0 .所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?. ? ? ? 9 ? 9 (3)由题意知方程 3x ? 1 ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根. 3 3x 令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根. 3 若 a=1,则 t ? ? 3 ,不合, 舍去; 4 若 a ? 1,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由 ? ? 0 ? a ? 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ; 4 4 2 2 方程(*)的两根异号 ? ? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1, ? ?) .

第5练 一、填空题

指数函数对数函数和幂函数

4

1、 (?1, 0) ? (0, log4 5) ; 6、b>a>c;

2、 (-1,1) ;

3、 x 15 ;

4、256;

5、(

3 6 , ); 3 3

7、(0,1);

8、 10

N -1 ; M

9、 y ? log 2 ( x ? 1) ? 1 ;

2 1 1 10、-1,1,3,5; 11、 (??,?6) ;12、 x ? 2, 0 ? a ? 1 ;13、 ( , ) ? ( , ? ?) ; 14、 (0,1]; 9 4 3

二、解答题
15、奇函数,函数是减函数。 ∵ x ? R, f (? x) ? lg

?

x 2 ? 1 ? x , f ( x) ? lg
10

?

?

x2 ? 1 ? x

?

? ? x ?1 ? x ? ? lg ? x ?1? x ? ? lg1 ? 0 即 f ( x) ? ? f (? x) ,∴函数 f ( x) ? lg ? x ? 1 ? x ? 是奇函数。
∴ f ( x) ? f (? x) ? lg

?

x 2 ? 1 ? x ? lg

2

2

2

2

设 x1 ? x2 , x1 , x2 ? R ,设 u ( x) ? 则 f ( x1 ) ? lg

?

x12 ? 1 ? x1 , f ( x2 ) ? lg

且 u( x2 ) ? u( x1 ) ?

?

?

x2 ? 1 ? x ,

x22 ? 1 ? x2 ?

? ?

?

x22 ? 1 ? x2

x12 ? 1 ? x1 ?

? ?

?

x2 2 ? 1 ? x12 ? 1 ? ? x2 ? x1 ?

?

?

? x ? x ? x 2 ?1 ? x 2 ?1 ? 2 1 ? ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? x2 ? x1 ?? 2 1 2 2 2 2 ? ? x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 ? ? x2 2 ? x12
2 2

∵ x2 ? 1 ? x2 ≥ x2 , x1 ? 1 ? x1 ≥ x1 ,∴ x2 ?

x2 2 ? 1 ? 0, x1 ? x12 ? 1 ? 0

∴ u ( x2 ) ? u ( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴函数 f ( x) ? lg 16、 解: u=x2+2x=(x+1)2-1 令 x∈[-

?

x2 ? 1 ? x 在定义域内是减函数。
当 x=0 时, max=0 u

?

3 , 0] ∴当 x=-1 时, min=-1 u 2

?b ? a 0 ? 3 ?a ? 2 ? 1)当a ? 1时? 5 解得? ?1 ?b ? 2 ?b ? a ? 2 ? ? ?b ? a ?1 ? 3 ?a ? ? ? 2)当0 ? a ? 1时? 解得? 5 b ? a0 ? ? ?b ? 2 ? ? ? 2 ? ?a ? 3 ?a ? 2 ? 综上得? 或? . ?b ? 2 ?b ? 3 ? 2 ? 2 3 2 2

17、解: (1)因为f(x)的定义域为R,所以ax2+2x+1>0对一切x ? R成立.

?a ? 0, 1 1 解得a>1. 又因为ax2+2x+1=a(x+ )+1- >0, a a ?? ? 4 ? 4a ? 0, 1 所以f(x)=lg(a x2+2x+1) ? lg(1- ),所以实数a的取值范围是(1,+ ? ) , a
由此得 ? f(x)的值域是 ?lg ?1 ? 1 ?,?? ? ? ? ?
? ? ? a? ? ?

( 2 ) 因为f(x)的值域是R,所以u=ax2+2x+1的值域 ? (0, + ? ). 当a=0时,u=2x+1的值域为R ? (0, + ? ); a ? 0, 当a≠0时,u=ax2+2x+1的值域 ? (0, + ? )等价于 ?

? ? 4a ? 4 ? 4 a ? 0. ?

解之得0<a ? 1.

所以实数a的取值范围是[0.1]

当a=0时,由2x+1>0得x>-

1 , 2

f (x)的定义域是(-

1 ? ,+ ); 当0<a ? 1时,由ax2+2x+1>0 2
a

解得 x ? ? 1 ? 1 ? a 或x ? ? 1 ? 1 ? a
a

11

? ? ? ? f (x)的定义域是 ? ? ?,? 1 ? 1 ? a ? ? ? ? 1 ? 1 ? a ,?? ? . ? ? ? ? a a ? ? ? ?

18、解: (1) 2 x ? 1 ? 0 即 x ? 0

?定义域为 ?x x ? 0?
(2)由 f (x) 是奇函数,则对任意 x ? x x ? 0?

?

2?x ? a a ? 2x ?1 2x ? a f (? x) ? ? x ?? x ? ? f ( x) ? ? x 2 ?1 2 ?1 2 ?1
化简得 (a ? 1)2 ? a ? 1
x

?a ?1
x

? a ? 1 时, f (x) 是奇函数

(3)当 a ? 1 时, f ( x) ?

2 ? 1 的单调递减区间为 (??,0) 和 (0,??) . 2 ?1

任取 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? x2 ? x1 2 x1 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)( 2 x2 ? 1)

? 0 ? x1 ? x 2

y ? 2 x 在 R 上递增

? 2 x2 ? 2 x1 ? 1

? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
综上: f ( x) ?
x

同理: f (x) 在 (??,0) 上单调递减. ? f (x) 在 (0,??) 上单调递减.

2 ? 1 在 (??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递减. 2 ?1 19、解:设日销售金额为 y(元) ,则 y=p ? Q. 2 ? ?t ? 20t ? 800, 0 ? t ? 2 5 t, ? N , ? ?y ?? 2 ?t ? 140t ? 4000, 2 5? t ? 3 0t, ? N . ? , ??(t ? 10) 2 ? 900, 0 ? t ? 2 5 t ? N , ? ?? 2 2 5? t ? 3 0t, ? N . ?(t ? 70) ? 900, ?
当 0 ? t ? 25, t ? N ,t=10 时, y max ? 900 (元); 当 25 ? t ? 30, t ? N ,t=25 时, y max ? 1125 (元) . 由1125>900,知ymax=1125(元) ,且第25天,日销售额最大. 20、解: (1)过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴,垂足为A1,B1,C1, 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C.

t 2 ? 4t 4 ? log 2 (1 ? 2 ) 2 t ? 4t ? 4 t ? 4t 2 2 (2)因为v= t ? 4t 在 [1,??) 上是增函数,且v ? 5, ? log 1

12

4 9 ? 9? v ? 1 ? 在?5. ? ? ? 上是减函数,且1<u ? ; S ? log 3 u在?1, ? 上是增函数, v 5 ? 5? 4 所以复合函数S=f(t) ? log 2 (1 ? 2 ) 在 [1,??) 上是减函数 t ? 4t 9 (3)由(2)知t=1时,S有最大值,最大值是f (1) ? log 2 5

第6练
1.、-3 2、 8. ?

三角函数
56 6、P<Q<R 65

3 2

3、既不充分也不必要 4、 a ? b 5、 9. ??

7.

2 5

4 3 或? 3 4

? 1 1? , ? ? 2 2?

10.②

11、解: ∵

3? 3? ? ? < ? <? < ∴? ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? ? 4 2 4 2 3 12 5 4 ∵sin( ? + ? )=- ,cos( ? ? ? )= ∴cos( ? + ? )= ? sin( ? ? ? )= 5 13 13 5
∴ sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] = ?

12、解: 由 sin(

? 2a) ? sin( ? 2a) = sin( ? 2a) ? cos( ? 2a) 4 4 4 4 1 ? 1 1 = sin( ? 4a) ? cos 4a ? , 2 2 2 4 1 ? ? 5? 得 cos 4a ? 又 a ? ( , ) ,所以 a ? . 2. 4 2 12
2

?

?

56 . 65

?

?

于是

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 cos 2? 2 sin ? ? tan? ? cot? ? 1 ? ? cos 2? ? ? ? cos 2? ? sin ? cos? sin 2? 3 5 5? 5? ? 2 3) ? 3 == ? (cos ? 2 cot ) = ? (? 2 2 6 6 2 13、解:∵sinA+cosA= 2 cos(A-45°)= , 2 1 ∴cos(A-45°)= . 2
又 0°<A<180°, ∴A-45°=60°,A=105°. ∴tgA=tg(45°+60°)=

1? 3 1? 3

=-2- 3 .

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2? 6 . 4

2? 6 3 1 1 AC?AbsinA= · 2?3? = ( 2 + 6 ). 4 2 2 4 3 1 ? 14、解: (Ⅰ)∵sinx+ 3 cosx=2( sinx+ cosx)=2 sin(x+ ), 2 2 3
∴SABC=
13

∴方程化为 sin(x+

a ? )=- . 2 3

∵方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解, ∴sin(x+ 又 sin(x+

3 ? ? )≠sin = . 3 3 2

3 ? )≠±1 (∵当等于 和±1 时仅有一解), 2 3 3 a a ∴|- |<1 . 且- ≠ . 即|a|<2 且 a≠- 3 . 2 2 2
∴ a 的取值范围是(-2, - 3 )∪(- 3 , 2). (Ⅱ) ∵α 、 β 是方程的相异解, ∴sinα + 3 cosα +a=0 sinβ + 3 cosβ +a=0 ①. ②.

①-②得(sinα - sinβ )+ 3 ( cosα - cosβ )=0. ∴ 2sin ∴tan

???
2 2
=

cos

???
2

-2 3 sin

???
2

sin

???
2

=0, 又 sin

???
2

≠0,

???

3 . 3

2 tan
∴tan(α +β )=

???
2 ? ? ?

2

= 3.

2 ? tan

2
3 , 2

15、解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 中得 cos ? ? 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

π . 6 2π 2π ? ? 2. T π
3 . 2

由已知 T ? π ,且 ? ? 0 ,得 ? ?

(2)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?π ?2

? ?

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

π ? ,3 ? . 2 ?
5π ? 3 π? π ? , ? 的图象上,且 ≤ x0 ≤ π ,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6 ? 2 6? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2 cos ? 2 x ?

? ?

7? 5? 19? 5π 11π 5π 13π ,从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? , ? 4 x0 ? ? ? ? 6 6 6 6 6 6 6 2π 3π 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4

14

第7练
一.填空题
1. 答案:?

三角函数

?π ,π ?∪(π ,5π ) ? 4 ?4 2?

7+4 3 2. 答案: 9 3. 答案:π 4. 答案:20°,140°,260° 1 5.答案:- 3 6. 答案:b<a<d<c 2 7. 答案: 3 8.答案:1

9.答案:③④ 10 答案:⑤

二、解答题
2 2 1 2 sin α + cos α 3 4 2 1 2 2 11.解:(1) sin α + cos α = 2 2 3 4 sin α +cos α 2 1 2 1 2 2 tan α + ?3 + 3 4 3 4 5 = = 2 = . 2 tan α +1 3 +1 8 1 (2)由 =1 得 tanα =2, tanα -1 1 sin α +cos α = 2 2 1+sinα cosα sin α +cos α +sinα cosα = tan α +1 tan α +tanα +1
2 2 2 2 2

2 +1 5 = 2 = . 2 +2+1 7

? π? 12. 解:(1)由 sinx-cosx>0? 2sin?x- ?>0, 4? ?
15

π 5π ? ? ∴定义域为?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 4 4 ? ?

? π? ? 1 ? ∵ 2sin?x- ?∈(0, 2],∴值域为?- ,+∞?. 4? ? ? 2 ?
(2)∵定义域关于原点不对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. 1 (3)∵f(x+2π )=log [sin(x+2π )-cos(x+2π )] 2 1 =log (sinx-cosx)=f(x), 2 ∴已知函数是周期函数,且最小正周期 T=2π .

a?2 a a 1 1 3 a 1 ? 2 13. 解:y=1-cos x+acosx- a- =-cos x+acosx- - =-?cosx- ? + - - . 2? 4 2 2 2 2 2 2 ?
2

2

设 cosx=t,∵-1≤cosx≤1,∴-1≤t≤1.

? a?2 a a 1 ∴y=-?t- ? + - - ,-1≤t≤1. ? 2? 4 2 2
a 3 3 (1)当 <-1,即 a<-2 时,t=-1,y 有最大值- a- . 2 2 2
3 3 5 由已知条件可得- a- =1,∴a=- >-2(舍去). 2 2 3

2

a a a a 1 (2)当-1≤ ≤1 时,即-2≤a≤2 时,t= ,y 有最大值 - - . 2 2 4 2 2
由已知条件可得 - - =1,解得 a=1- 7或 a=1+ 7(舍去). 4 2 2

2

a2 a 1

a a 3 (3)当 >1,即 a>2 时,t=1,y 有最大值 - . 2 2 2 a 3 由已知条件可得 - =1,∴a=5. 2 2
综上可得 a=1- 7或 a=5.



2π 14.解:(1)T= . 3
16

? π ? (2)由题设可知 A=4 且 sin?3? +φ ?=1, ? 12 ?
π π π 则 φ + = +2kπ (k∈Z),得 φ = +2kπ (k∈Z). 4 2 4 π? π ? ∵0<φ <π ,∴φ = .∴f(x)=4sin?3x+ ?. 4? 4 ? π? π? 12 ?2 ? (3)∵f? α + ?=4sin?2α + ?=4cos2α = , 12? 2? 5 ?3 ? 3 ∴cos2α = . 5 1 1 5 2 ∴sin α = (1-cos2α )= .∴sinα =± . 2 5 5 1 15. .解:(1)∵sinA+cosA= ① 5 1 ∴两边平方得 1+2sinAcosA= , 25 12 ∴sinA?cosA=- . 25 12 (2)由(1)sinAcosA=- <0,且 0<A<π , 25 可知 cosA<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形. (3)∵(sinA-cosA) =1-2sinAcosA 24 49 =1+ = , 25 25 又 sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0, 7 ∴sinA-cosA= ② 5 4 3 ∴由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 sinA ∴tanA= = cosA 4 =- . 3 3 - 5 4 5
2

17

第8练
一、填空题 1、 7、5

导数的应用一

2cos x ? x sin x
8、1 9、3

2、1 10、

3、 (0, 2) 11、32

4、 e

5、2 13、③

6、 5x ? y ? 2 ? 0 14、

8 3

12、2

32 3 3

二、解答题 15、解: (1) b ? 3 , c ? 0 (2)单调增区间 (??, ? 2),( 2, ??) 当 x ? ? 2 时,取极大值 4 2 , 当 x ? 2 时,取极大值 ?4 2 , 单调减区间 ( ? 2, 2)

16、解: (1) f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 (2)最大值 4 2 ? 3 ,最小值-43.
3 2

17、 (1)1; (2) a ?

6 5 1 2

18、解: (1)单调增区间 (0, ), (1, ??) ( 2 ) 当

a ?1





[f

(x ) n m ? ] i

f ?

( ; a)当 1 ? a ? e ? 1 2
2





[f

(x ) n m ? ] i

2 f ? a (? ) a ?

? a ;当 a ? a 时, [ f ( x)]min ? f (e) ? e ? 2ae ? e ? a 。 el na

(3) a ?

e 2 ? 2e e ?1

第9练
1、此题删掉 2、①
4 3、 ? 0, ? ? ? ? 3?

导数的应用二 5、6,9 6、36 7、①②

4、a<-1

8、0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) 9、 [1,+∞) 10、(-∞,2) 11、0.686 12、此题删掉 13、 (-1,0] 14、6 2 15、解 (1)f′(x)=3x -x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥0. 2 即 3x -x+b≥0, 2 2 ∴b≥x-3x 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x . 当 x= 时,g(x)max=
1 6 1 12

,∴b≥

1 12

.

(2)由题意知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2. 2 2 x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c 即可. 因 f′(x)=3x -x-2,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- .∵f(1)=- +c,
18
2

2 3

3 2

f( ? )=

2 3

1 22 +c,f(-1)= +c,f(2)=2+c. 2 27
2

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c .解得 c>2 或 c<-1, 所以 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 16、解 (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 l1 与抛物线 C 的切点,∵y′=4x, ∴直线 l1 的斜率 k=-4,

∴直线 l1 的方程为 y-2=-4(x+1),即 4x+y+2=0. (2)点 A 的坐标为(-1,2) , 2 由条件可得点 B 的坐标为(a,2a ) , 点 D 的坐标为(a,-4a-2) , ∴△ABD 的面积 S1 为 S1= ?|2a -(-4a-2)|?|-1-a| =|(a+1) |=-(a+1) . (3) 此题删掉
2 17、解 设 P(x0,y0) ,则 y0= x 0 ,
3 3

1 2

2

1 2

∴过点 P 的切线斜率 k=x0, 当 x0=0 时不合题意,∴x0≠0. ∴直线 l 的斜率 kl=- =1 2 1 k

1 , x0 1 (x-x0). x0

2 ∴直线 l 的方程为 y- x 0 =-

此式与 y= x 联立消去 y 得 x+
2

1 2

2

2 2 x- x 0 -2=0. x0

设 Q(x1,y1),M(x,y).∵M 是 PQ 的中点,
x0 ? x1 ? 1 ?? ?x ? 2 x0 ∴? , ? 2 ? y ? ? 1 (? 1 ? x ) ? 1 x 2 ? 1 ? x 0 ? 1 0 0 2 ? x0 x0 2 2 x0 ?

消去 x0,得 y=x + ∴y=x +
2

2

1 2x 2

+1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由 x≠0 知 x >0,
1 2x 2

2

1 2x 2

+1≥2 x 2 ?
2

+1= 2 +1.
1 时成立, 2

上式等号仅当 x =

1 2x 2

,即 x=± 4

19

所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 +1. 18、解 (1)∵f′(x)=2(1+x)=2?
x 2 ? 2x ? 1 ? a , 1? x

2a x ?1

依题意 f(x)在(-2,-1)上是增函数, 在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2 时, f(x)有极小值, ∴f′(-2)=0. 代入方程解得 a=1, 2 2 故 f(x)=(1+x) -ln(1+x) . (2)由于 f′(x)=2(1+x)2 2 x( x ? 2) = , x ?1 1? x

令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=-2. (由于 x∈ ? ? 1, e? 1? ,故 x2=-2 舍去) , ? ?
1 ?e ?

易证函数在 ? ? 1,0? 上单调递减, ? ?
1 ?e ?

在[0,e-1]上单调递增,
1 2 1 1 且 f( ? 1 )= 2 +2,f(e-1)=e -2> 2 +2, e

e

e

故当 x∈ ? ? 1, e? 1? 时,f(x)max=e -2, ? ?
1
2

?e

?

因此若使原不等式恒成立只需 m>e -2 即可. (3)若存在实数 b 使得条件成立, 2 方程 f(x)=x +x+b 2 即为 x-b+1-ln(1+x) =0, 2 令 g(x)=x-b+1-ln(1+x) , 则 g′(x)=12 x ?1 = , x ?1 x ?1

2

令 g′(x)>0,得 x<-1 或 x>1, 令 g′(x)<0,得-1<x<1, 2 故 g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,要使方程 f(x)=x +x+b 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根,只需 g(x)=0 在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,
? g ( 0) ? 0 于是有 ? g (1) ? 0 ? 2-2ln2<b≤3-2ln3, ? ? g ( 2) ? 0 ?

故存在这样的实数 b,当 2-2ln2<b≤3-2ln3 时满足条件.

第 10 练
? .2. 13.3、 3 6

解三角形
2 2

1.

4、 2 ? x ? 2 2 5.直角三角形

6.

20

7、

8、

9、a≥3

10、Q>R>P

11、注意:题(2)中,分子改为 1? sin 2B (1)证明:∵b2=ac,∴cosB=

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? . 2ac 2ac 2ac 2

又∵0<B<π,∴0<B≤

? . 3

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ? (2)解:y= =sinB+cosB= 2 sin(B+ ). ? sin B ? cos B sin B ? cos B 4
∵0<B≤

? ? 7? ? ,∴ ? B ? ? . 4 4 12 3
4 ?

∴当 B+

?

?
4

,即 B=

2 ? ? ? 时,ymax= 2 .当 B+ ? 时,ymin= 2 × =1. 2 4 4 4

∴y∈(1, 2 ). 12、证法一:∵2B=A+C,又 A+B+C=180° , ∴B=60° ,C=120° -A. 由正弦定理得

a c 1 , ? ? sin A sin C sin 60?
2 3 2 3 (sinA+sinC)= [sinA+sin(120° ]=2sin(A+30° -A) )≤2, 3 3

再由合分比定理得 a+c=

再由两边之和大于第三边,∴1<a+c. ∴1<a+c≤2. 证法二:先得 B=60° (同上得).

a2 ? c2 ? b2 1 a2 ? c2 ? b2 再利用余弦定理知 cosB= ,即 ? , 2 2ac 2ac
即(a+c)2-1=3ac≤ 3(

a?c 2 ) . 2

解得 a+c≤2. 又∵a+c>1,∴1<a+c≤2.

13、解:(I)由正弦定理得:




21



????4 分,

(II)

由余弦定理:

得:

14、注意:题(2)中, a ? b ?

2 ? 1 改为 a ? b ? 2 ? 1
10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10
2

解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ?

又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?

3 , 5

? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

?0 ? A ? B ? ?
?A? B ?

?

4

????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?

2 3? ,? sin C ? . 2 4
22

由正弦定理

a b c 得 ? ? sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b

Q a ? b ? 2 ?1, ? 2b ? b ? 2 ? 1 ,?b ? 1
? a ? 2,c ? 5
??????????????12 分

15.解析: (Ⅰ)在 △ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4cos Asin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan Acot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4

第 11 练
一.填空题
1. 答案: 6 3

解三角形

3 2. 答案:30° 3.答案. 4 6.答案 50 2m 10.答案:60°
23

4.答案:等腰直角三角形 π 8. 答案: 6

3+ 3 5.答案: 3 9.答案:2+ 5

7. 答案:4

二、解答题:
1 1 11.解:由 a+b=a +b 及正弦定理得 tanA tanB sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB, π π π π 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4

? π? ?π ? 即 sin?A- ?=sin? -B?. 4? ? ?4 ?
又 0<A+B<π , π π π 故 A- = -B,A+B= , 4 4 2 π 所以 C= . 2 12. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c,即 a =b +c +bc. 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π ),故 A=120°. 2 (2)由(1)得 sin A=sin B+sin C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 13.解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 cos∠ADC= 100+36-196 1 =- , 2?10?6 2 ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

AD2+DC2-AC2 = 2AD?DC

AB

AD

∴ = AB

AD·sin∠ ADB 10sin60° = = sinB sin45°

10×

3 2

2 2

=5 6.

14. 解: )根据正弦定理, (Ⅰ

c a sin C ,所以 c ? ? a ? 2a ? 2 5 sin C sin A sin A

24

(Ⅱ)根据余弦定理,得 cos A ? 于是 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

c2 ? b2 ? a 2 2 5 ? 2bc 5

4 5 ,从而 sin 2 A ? 2sin A cos A ? 5 5 3 ………12 分 5

cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ?
所以 sin(2 A ?

?
3

) ? sin 2 A cos

?
3

? cos 2 A sin

?
3

?

4?3 3 10

第 12 练

平面向量、复数
5、 13 6、-1. 7、C

1、120° 2、垂心 3、120° 4、 (10,-5)

8、 15

9、-

2 2 i 2 2

10、x+2y-4=0

11、解: (Ⅰ) 由 z 2 =z1+2i , 两边同时取共轭复数可得: z2= z1 -2i .

25

代入已知方程得: z1( z1 -2i )+ 2i z1-2i( z1 -2i)+1=0. 即|z1| -2i z1 -3=0. 令 z1=a+bi , 即可得到 a2+b2-2i(a-bi)-3=0. 即 (a2+b2-2b-3)- 2ai =0. 解得 a=0, b=3,或 a=0, b=-1. ∴z1=3i, z2=-5i, 或 z1=-i , z2=-i . (Ⅱ)由已知得 z1= ∴|
2

2iz 2 ? 1 . 又∵|z1|= 3 , z 2 ? 2i

2iz 2 ? 1 |= 3 . z 2 ? 2i
2 2

∴| 2i z2-1| =3|z2+ 2i| . ∴(2i z2-1)( -2i z 2 -1)=3(z2+ 2i)( z 2 - 2i). 整理得: z2 z 2 +4i z2-4i z 2 -11=0. 即(z2-4i)( z 2 +4i)=27. 2 ∴| z2-4i| =27, 即| z2-4i|=3 3 . ∴存在常数 k=3 3 , 使得等式| z2-4i|=k 恒成立.

CQ BC 12、注意:题中“??, PQ · 的值最大” ,改为: “??, BP · 的值最大”

AC 解法一:∵ AB ⊥ AC ,∴ AB · =0.
∵ AP = - AQ , BP = AP - AB , CQ = AQ - AC ,

CQ ∴ BP · =( AP - AB )?( AQ - AC )
= AP ? AQ - AP ? AC - AB ? AQ + AB ? AC = -a - AP ? AC + AB ? AP = -a - AP ?( AB - AC ) = -a +
2 2 2 2

C Q A

B

1 PQ · BC 2
2

= -a + a cosθ .

P

CQ 故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · 最大,最大值为 0. 解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角 坐标系. y 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(0,0),C(0,0). 且|PQ|=2a,|BC|=a. C 设点 P 的坐标为(x,y),则 Q(-x, -y), Q
∴ BP =(x-c, y), CQ =( -x, -y- b).

BC =(-c, b), PQ =(-2x, -2y).
CQ BP · =( x-c)(-x)+ y(-y- b)= - (x2+y2)+ c x- b y .

cx ? by ∵cosθ = , ? a2 PQ BC
∴c x- b y= a2 cosθ . P

PQ ? BC

A

B

x

CQ ∴ BP · = -a + a cosθ .
26

2

2

CQ 故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · 最大,最大值为 0.
13、解(Ⅰ)记 P(x, y), 由 M(-1,0), N(1, 0)得 PM = - MP =(-1-x, -y) PN = - NP =(1-x, -y),

MN = - NM =(2, 0), MN =2(1+x), PM · =x2+y2-1, NM · =2(1-x). PN NP ∴ MP ·
于是 MP ? MN,PM ? PN,NM ? NP 成公差小于零的等差数列等价于

1 [2(1+x)+ 2(1-x)],且 2(1-x)- 2(1+x)<0, 解得 x2+y2=3 (x>0). 2 所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 半径为 3 的右半圆.
x2+y2-1=

PN (Ⅱ) 点 P 的坐标为(x0, y0), PM · =x02+y02-1=2,
1 | PM |· PN |= ( ? x 0) ? y 0 ? (1 ? x 0 ) ? y 0 ? |
2 2 2 2 2 (4 ? 2 x 0 )( 4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 .

∴cosθ =

PM ? PN PM PN
2

?

1
2 4 ? x0

. ∵0< x0≤ 3 ,



1 ? < cosθ ≤1, 0≤θ < . 2 3

∵sinθ = 1 ? cos ? ? 1 ? 14、本题可不做 证: ∵|z1- z 2 |=|1- z1z2|

1 sin? 2 , ∴tanθ = ? 3 ? x0 ? |y0|. 2 4 ? x0 cos?

∴|z1- z 2 | =|1- z1z2| . ∴(z1- z 2 (z1 ? z 2) ) =(1- z1z2) (1 ? z1 z 2 ) . ∴(z1- z 2 )( z1 - z2)=( 1- z1z2)(1- z1 z 2 ). 化简后得 z1 z1 + z2 z 2 =1+ z1z2 z1 z 2 . 2 2 2 2 ∴|z1| +|z2| =1+|z1| ?|z2| . 2 2 2 2 ∴(|z1| -1)(|z2| -1)=0. ∴|z1| =1,或|z2| =1. ∴|z1|,|z2|中至少有一个为 1. ???? ???? ? 15、⑴由 A, M , N 三点共线,得 AM / / AN ,

2

2

??????????2 分

???? ? ???? ? ? 1 ??? ???? ? 1 ??? ??? 设 AM ? ? AN ? ? ? R ? ,即 ( AE ? AF ) ? ? ( AB ? AC ) , ??????????4 分 2 2 ??? ? ???? ??? ???? ? 所以 mAB ? nAC ? ? ( AB ? AC ) ,所以 m ? n . ??????????6 分

???? ???? ???? ? ? 1 ??? ???? 1 ??? ??? ? ? ? ??? 1 ? ???? 1 ⑵因为 MN ? AN ? AM = ( AB ? AC ) ? ( AE ? AF ) ? (1 ? m) AB ? (1 ? n) AC , 2 2 2 2 ???? 1 ? ??? 1 ???? ? 又 m ? n ? 1 ,所以 MN ? (1 ? m) AB ? mAC , ??????????10 分 2 2 ???? ? ??? 2 1 ???? 2 1 ? ??? ???? ? 1 所以 | MN |2 ? (1 ? m)2 AB ? m2 AC ? (1 ? m)mAB?AC 4 4 2

1 1 1 1 1 3 = (1 ? m)2 ? m2 ? (1 ? m)m ? (m ? )2 ? 4 4 4 4 2 16 ???? ? 3 1 故当 m ? 时, | MN |min ? . ??????????14 分 4 2

27

第 13 练

平面向量及复数

一.填空题
1.答案:(-1,1) 2.答案:-2i 3.答案:2 4.答案:最大值为 3 ,最小值- 3 5.答案 6
6. 【答案】5:4

7.答案:-2 8. 答案:北偏西 30° 9.答案:1 10. 答案:2 3

二、解答题:
11.解:(1)若 z 为纯虚数, 则有 ?

?lg (m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? 2 ? m ? 3m ? 2 ? 0 ?

即?

? m 2 ? 2m ? 2 ? 1 ?(m ? 1)(m ? 2) ? 0

??

?(m ? 3)(m ? 1) ? 0 ?(m ? 1)(m ? 2) ? 0

∴m=3; (2)若 z 为实数,则有 ? ? m=-1 或 m=-2; (3)若 z 对应的点在复平面内的第二象限,

? m 2 ? 2m ? 2 ? 0 ? 2 ? m ? 3m ? 2 ? 0 ?

? m 2 ? 2m ? 2 ? 0 ?lg (m ? 2m ? 2) ? 0 ? 2 ? 则有 ? ? m ? 2m ? 2 ? 1 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ? ?(m ? 1)(m ? 2) ? 0 ?
2

28

?m ? 1 ? 3或m ? 1 ? 3 ? ? ??1 ? m ? 3 ?m ? ?2或m ? ?1 ?
? -1<m<1- 3 或 1+ 3 <m<3. 12.解:在复平面内三点坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得

??? ???? ? AB?AC <0,且 B?A?C 不共线,
由(-3,-4)?(c-3,2c-10)<0 解得 c>

49 , 11

其中当 c=9 时, AC ? (6,8) ? ?2 AB ,三点共线,故 c≠9. ∴c 的取值范围是 c>
2

????

??? ?

49 且 c≠9. 11
2 2

13. 解:∵a?b=x +x-x =x. ∴m(a?b) -(m+1)a?b+1<0?mx -(m+1)x+1<0. (1)当 m=0 时,x>1. 1 (2)当 m≠0 时,m(x- )(x-1)<0,
2

m

1 ①当 m<0 时,x>1 或 x< .

m

1 ②当 0<m<1 时,1<x< .

m

③当 m=1 时,x∈?. 1 ④当 m>1 时, <x<1.

m

14. 解:(1)设点 C 的坐标为(x0,y0), 又 AC ? AD ? AB =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5), ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)设 P(x,y), 则 BP ? AP ? AB =(x-1,y-1)-(6,0) =(x-7,y-1),

??? ?

???? ??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

???? ???? ???? 1 ??? ? ? ? ???? AC ? AM ? MC = AB ? 3MP
2 =

? ??? 1 ??? ? ? 1 1 ??? ? AB ? 3( AP ? AB) 2 2 2

29

=3 AP ? AB =(3(x-1),3(y-1))-(6,0) =(3x-9,3y-3). ∵ | AB |?| AD | ,∴?ABCD 为菱形. ∴ BP ⊥ AC , ∴(x-7,y-1)?(3x-9,3y-3)=0, 即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0. ∴x +y -10x-2y+22=0(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆且去掉与直线 y=1 的两个交点. 4 15. 解:(1)∵cosα = , 5sinx ∴y=cos x-sin x+ =cos2x+sin x 1-cos2x 1 1 =cos2x+ = cos2x+ , 2 2 2 ∴该函数的最小正周期是 π .
2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

??? ?

????

??? ?

????

4sinx 5cosα

ON =cosα cosx+sinα sinx (2)∵ OM ?
12 =cos(α -x)= ,且 α -x 是锐角, 13 5 2 ∴sin(α -x)= 1-cos (α -x)= , 13

???? ???? ?

???? ??? ? ? 4 ∵ OM ∥ PQ ,∴-cosα sinx+ -sinα cosx=0, 5
4 即 sin(α +x)= . 5 3 2 ∵α +x 是锐角,∴cos(α +x)= 1-sin (α +x)= , 5 ∴cos2α =cos[(α +x)+(α -x)] =cos(α +x)cos(α -x)-sin(α +x)sin(α -x) 3 12 4 5 16 16 = × - × = ,即 cos2α= . 5 13 5 13 65 65

第 14 练 等差数列

30

1、180

2、 等比 3、2n+2

4、11

5、34 9、8

6、

8、 a n ? 4n ? 3 注意:本题中 b 改为 6 11、解: (Ⅰ)依题意,有 S12 ? 12 a1 ?

12 ? (12 ? 1) ?d ? 0 2

7 1 ? 6 n ?1 28 10、 17

7、

3 或1 4

S13 ? 13a1 ?

?2a1 ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) ? d ? 0 ,即 ? 2 ? a1 ? 6d ? 0 ( 2)
(3)

由 a3=12,得 a1=12-2d

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ,∴ ? ? d ? ?3 . ? 7 ? 3? d ? 0

(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0,则 Sn 就是 S1,S2,?,S12 中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. 由此得 a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,?,S12 中 S6 的值最大. 12、解: a1=-250, d=2, an=-250+2(n-1)=2n-252 同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=-112, b2=a77=-98,?, bn′=a196=140 其公差 d′=-98-(-112)=14. 由 140=-112+(n′-1)14, 解得 n′=19 ∴{bn}的前 19 项之和 S ? 19 ? (?112 ) ?

19 ? 18 ? 14 ? 266 2

13、2m+n-1 14、(1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3) 由 a1=23,d=-4,则 S n =

1 n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12. 2
2 2

15、(1)设公共根为 p,则 ai p ? 2ai ?1 p ? ai ? 2 ? 0 ① ai ?1 p ? 2ai ? 2 p ? ai ?3 ? 0 ②则②-① , 得 dp2+2dp+d=0,d≠0 为公差,∴(p+1)2=0.∴p=-1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为 - 1).(2) 另 一 个 根 为 mi , 则 mi + ( - 1)=

? 2ai ?1 2d 2d ? ?2 ? . ∴ mi +1= ? ai ai ai



a 1 1 1 ? ? i ,易于证明{ }是以- 为公差的等差数列. mi ? 1 2d mi ? 1 2

第 15 练
1、32 2、 ①②③

等比数列 5、1 或 ?

2 56 ? 2 211 ? 2

3、100

4、2

1 3

6、 an ? 3n ? 2

7、

2n n ?1

8、

31

9、100a100

10、

n 2( n ? 2)

1 ? ?bn ? (a n ? a n ?1 ) 11、依据题设条件,有 ? 由此可得 2 ? a n ?1 ? bn bn ?1 ?

bn ?

1 1 ( bn?1bn ? bn bn?1 ) = bn ( bn?1 ? bn?1 ) .∵ bn >0,则 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 。 2 2

( n ? 1) 2 ∴{ bn }是等差数列.∴ bn = . 2

2 a n ? bn ?1bn ?

n 2 ( n ? 1) 2 ? n( n ? 1) ? 1 =? ? ? ,∴ a n = 2 n(n ? 1) 2 2 ? 2 ?

2

12、解:由 a1+d=5,10a1+45d=120 得 a1=3,d=2 所以 an=2n+1,bn=a2n=2n+1+1 所以 Tn ? 2
n?2

? n ? 4 , Tn ?1 ? 2n ?3 ? n ? 3

Tn?1 ? 2Tn ? 5 ? n 当 n>5 时, Tn?1 ? 2Tn ,当 n=5 时,
Tn?1 ? 2Tn ,当 n<5 时, Tn?1 ? 2Tn
13、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+ a1=2a2.∴a2=6. 由 Sn+1+Sn=2an+1,??(1) Sn+2+Sn+1=2an+2,??(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1 即 an+2=3an+1 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ?

?

3, 当n ? 1时,
n ?1

?2 ? 3

, 当n ? 2时.

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 2+?+2× n – 1=3+ 3 3 14、解:①由 a2+a1=3—54 ? a2 ? ?31 又 an ?1 ? an ? 3n ? 54 an ? 2 ? an ?1 ? 3n ? 51 当 n 为奇数时, an ?

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

? an ? 2 ? an ? 3

3n ? 43 2 3n ? 68 1 6 ? 111 n 25 当 n 为偶数时, an ? ? an ? [ ?( ? n)1 1? ] 2 2 2 2 3 2 105 已当 n 为奇数时, Sn ? a1 ? n ? 27n ? 4 4

32

当 n 为偶数时, Sn ?

3 2 n ? 27n 4

所以当 n=18 时,Sn 与 an ?1 ? an 同时最小。
n n ?1

15、解(1) an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? (?1) ? 2an ?1 ? (?1) 即 an ?

化简即 an ? 2an ?1 ? 2(?1)

n ?1

2 2 2 (?1)n ? 2[an?1 ? (?1) n?1 ] 由 a1=1,故数列{ an ? (?1) n } 3 3 3 2 是以 a1 ? (?1) 为首项,公比为 2 的等比数列。 3 2 1 1 2 2 故 an ? (?1) n ? ? 2n ?1 即 an ? ? 2n ?1 ? (?1) n ? [2n ? 2 ? (?1) n ] 3 3 3 3 3
(2)由已知得

? 1 1 1 3? 1 1 1 ? ?? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? m?2 n ? a4 a5 am 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1) ?

?

? 3 ?1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 9 ? 15 ? 33 ? 63 ? ? ? 2m ? 2 ? ( ?1) m ? 2? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ?) ? (1 ? ? ? ? ? ?) 2 3 5 11 21 2 3 5 10 20 1 1 (1 ? m?5 ) 1 4 2 2 1 1 4 5 2 ? [ ? ] ? ( ? ? ? m?5 ) 1 2 3 5 5 2 2 3 1? 2 13 1 1 13 104 105 7 ? ? ( )m?5 ? ? ? ? 15 5 2 15 120 120 8


1 1 1 7 ? ??? ? (m ? 4) a4 a5 am 8

第 16 练

数列通项与求和

33

1、72 8、1

2、19

3、243

4、1
2

5、 n (2n ? 3) 11、 a n ? (n ? 1) 2

6、8

7、1 13、2
2008

9、10 10、 k+3) π (2

12、2003

14、93

15. [解法 1]由已知 a1 ? a 4 ? 2a7 , a1 ? a1 q 3 ? 2a1 q 6 ,?1 ? q 3 ? 2q 6 . 当 q ? 1时, 2S3 ( S12 ? S4 ) ? 2S3 (a7 ? a3 ? ? ? a12 ) ? 2S4 (a1q 6 ? a2 q 6 ? ?a6 q 6 ) ? 2S3 S6 q 6

? (1 ? q 3 ) S 3 S 6 ? (1 ? q 8 ) ?

a1 (1 ? q 3 ) a (1 ? q 6 ) ? S6 ? 1 ? S 6 ? S 62 . 1? q 1? q

2 当 q ? 1时, S 3 ? 3a1 , S 6 ? 6a1 , S12 ? S 6 ? 6a1 ,同样有2S 3 ( S12 ? S 6 ) ? S 6 ,

所以, 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列. [解法 2]由已知 a1 ? a 4 ? 2a7 , a1 ? a1 q 3 ? 2a1 q 6 ,?1 ? q 3 ? 2q 6 ,
2 当 q ? 1时,2S 2 ( S12 ? S 4 ) ? 2 ? 3a1 (12 a3 ? a1 ) ? 36 a3 , 2 2 2 S 6 ? (6a1 ) 2 ? 36 a3 . ? 2S 2 ( S12 ? S 6 ) ? S 6 . ? 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.

当 q ? 1时,

S6 1 1? q6 1 1 ? ? ? (1 ? q 3 ) ? ? 2q 6 , 3 2S 3 2 1 ? q 2 2

∴ 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列. 综上, 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列. 16 解: (I)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,则

?6a1 ? 15 d ? 60, ? 2 ?a1 (a1 ? 20 d ) ? (a1 ? 5d )
解得 ?

?d ? 2, ?a1 ? 5.

? an ? 2n ? 3 .
Sn ? n(5 ? 2n ? 3) ? n(n ? 4) 2
? bn ? bn?1 ? a n?1 (n ? 2, n ? N ? ).

(II)由 bn ?1 ? bn ? a n ,

34

当n ? 2时, bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? ((b2 ? b1 ) ? b1 ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a1 ? b1 ? (n ? 1)( n ? 1 ? 4) ? 3 ? n(n ? 2). 对b1 ? 3也适合,
? bn ? n(n ? 2)( n ? N ? )

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ? ) 2 3 2 4 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

?

3n 2 ? 5n 4(n ? 1)( n ? 2)

2 2 17.解: (1)? a1 a n ? 2a1 a5 ? a 2 a8 ? 25, ? a3 ? 2a3 a5 ? a5 ? 25 ,

又 a n ? 0, ? a3 ? a5 ? 5 又 a3与a5 的等比中项为 2,? a3 a5 ? 4 而 q ? (0,1), ? a3 ? a5 , ? a3 ? 4, a5 ? 1

?q ?

1 1 , a1 ? 16, ? a n ? 16 ? ( ) n ?1 ? 2 5?n 2 2

(2) bn ? log 2 a n ? 5 ? n

? bn?1 ? bn ? ?1

?{bn }是以b1 ? 4 为首项,-1 为公差的等差数列

? Sn ?

S n(9 ? n) 9?n , ? n ? 2 n 2 Sn S S ? 0 ;当 n ? 9 时, n ? 0 ;当 n ? 9 时, n ? 0 n n n S S1 S 2 S 3 ? ? ? ? ? n 最大. 1 2 3 n
a2 ? 10 , a1

?当n ? 8 时,

?当 n ? 8 或 9 时,

18.解: (1)依题意, a 2 ? 9a1 ? 10 ? 100 , 故 当 n ? 2时, a n ? 9S n ?1 ? 10



35

又 a n ?1 ? 9S n ? 10 ②-①整理得:



a n ?1 ? 10, 故{a n } 为等比数列, an

且 a n ? a1 q n ?1 ? 10 n ,? log a n ? n

? lg a n ?1 ? lg a n ? (n ? 1) ? n ? 1,即{lg a n }n ? N * 是等差数列.
(2)由(1)知, Tn ? 3(

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 3 ? ? ?? ? ? ) ? 3? 2 2 3 n n ?1 n ?1 3 3 1 ? Tn ? , 依题意有 ? (m 2 ? 5m), 解得 ? 1 ? m ? 6, 2 2 4 ? 3(1 ?
故所求最大正整数 m 的值为 5.

第 17 练
1. 【答案】100。

数列综合应用

【解析】记 a n ?1 ? a n ? bn ,则数列 ?bn ? 为等差数列, b1 ? 4, b4 ? 28 ,所以公差为 8,故

S10 ? b1 ? ? ? b5 = 5 ? 4 ?
2. 【答案】 15 。

5? 4 ? 8 ? 100 。 2

【解析】因为{an}为等差数列,所以 a3 ? a8 ? a6 ? a5 ? 22 ,因为 a6 ? 7 ,所以 a 5 ? 15 。 3. 【答案】13。

5? 4 ? ?S 5 ? 5 ? a1 ? ? d ? 25 ?a1 ? 1 【解析】 ? ?? ? a7 ? 13 。 2 ?d ? 2 ? a 2 ? a1 ? d ? 3 ?
4. 【答案】 a n ? ?

? 4 ?2 n ? 3

?n ? 1? 。 ?n ? 2?
2 2

【解析】当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n ? 4n ? 1 ? ?n ? 1? ? 4?n ? 1? ? 1 ? 2n ? 3 ; 当 n ? 1时, a n ? S1 ? 4 ;因为 2 ?1 ? 3 ? 5 ? 4 ,所以 a n ? ?

? 4 ?2 n ? 3

?n ? 1? ?n ? 2?

5. 【答案】an=3n-1。 1 【解析】由 a1 ? S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1=1 或 a1=2,由假设 a1=S1>1,因此 a1=2。 6

36

1 1 又由 an+1=Sn+1- Sn= (a n?1 ? 1)(a n?1 ? 2) ? (a n ? 1)(a n ? 2) , 6 6 得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项为 an= 3n-1。

6. 【答案】 a n ?

3 。 n?2
1 a n ?1 ?
?1? 1 1 1 ? ? ? ? 是等差数列,公差为 。 an 3 3 ? an ?

【解析】 3a n ? 3a n ?1 ? a n ?1 a n ?

所以,

1 1 1 n?2 3 ? ? (n ? 1) ? d ? 1 ? ?n ? 1? ? ? ,则 a n ? 。 a n a1 3 3 n?2

n?n ? 1? ?1。 2 【解析】∵ a1 ? 2, an ?1 ? an ? n ? 1 ∴ an ? an ?1 ? ? n ? 1? ? 1 , an ?1 ? an ? 2 ? ? n ? 2 ? ? 1 ,
7. 【答案】

an?2 ? an?3 ? ? n ? 3? ? 1 , ? , a3 ? a2 ? 2 ? 1 , a2 ? a1 ? 1 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? 1
将以上各式相加得: an ? ?? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 3? ? ? ? 2 ? 1? ? n ? 1 ? ?

?

? n ? 1? ?? n ? 1? ? 1? ? ?
2

? n ?1 ?

? n ? 1? n ? n ? 1 ? n ? n ? 1? ? 1 。
2 2

8. 【答案】1023. 【解析】 a n ?1 ? c ? 2?a n ? c ? ? a n ?1 ? 2a n ? c ? c ? 1 ,所以数列 ?a n ? 1?为等比数列, 公比为 2。所以 a10 ? 1 ? ?a1 ? 1? ? 2 9. 【答案】 a n ? 2 ? 3 。
n 10?1

? 210 ,则 a10 ? 210 ? 1 ? 1023 。

【解析】 S n ?

3 3 ,当 n ? 2 时, S n ?1 ? a n ?1 ? 3 (2) (1)—(2)得, , an ? 3 (1) 2 2

an ?

3 3 a n ? a n ?1 , 2 2 3 an ? 3 中,令 n ? 1得 a1 ? 6 , 2

则 a n ? 3a n?1 ,所以数列 ?a n ?为等比数列,公比为 3。S n ? 所以 a n ? 2 ? 3 。
n

10. 【答案】4。

【解析】∵等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S4 ? 10, S5 ? 15

4?3 ? ? S 4 ? 4a1 ? 2 d ? 10 ∴? ? ? S ? 5a ? 5 ? 4 d ? 15 1 ? 5 ? 2

?2a1 ? 3d ? 5 即? ? a1 ? 2d ? 3

5 ? 3d 5 ? 3d ? ? 3d ? ?a4 ? a1 ? 3d ? ∴? 2 2 ? a4 ? a1 ? 3d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? 3 ? d ?

37

5 ? 3d ? a4 ? 3 ? d , 5 ? 3d ? 6 ? 2d , d ? 1 2 ∴ a4 ? 3 ? d ? 3 ? 1 ? 4 故 a4 的最大值为 4 。 2n 11. 【答案】 。 n ?1 1 1 2 1 1 【解析】 a n ? ? ? ? 2( ? ) n?n ? 1? n?n ? 1? 1? 2 ? 3 ??? n n n ?1 2
∴ 所以 S n ? 2?1 ?

? ?

1 1 1 1 1 ? 1 ? 2n ? 。 ? ? ??? ? ? ? 2?1 ? ?? 2 2 3 n n ? 1? ? n ? 1? n ? 1

12. 【答案】 ? 40 。 【解析】 S 20 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? 1 ? (?5) ? 9 ? ?(?13? ? ? ? 73 ? (?77 )

? ?1 ? 5? ? ?9 ? 13? ? ? ? ?73 ? 77 ? ? ?4 ? 10 ? ?40 。
13. 【答案】—95。 【解析】 a n ? 7n ? 40 ? 0 ? n ? 5 项和最小, S 5 ? 14. 【答案】 ??

? 33 ? (?5) ? 5 ? ?95 。 2

40 ,所以从第六项开始为正值,前五项均为负值,则前 7

? 24 8 ? ,? ? 。 ? 7 3?

【解析】 以(n,an)为坐标的点均在直线 y=2kx-(k-12)上,所以 a n ? 2kn ? ?k ? 12 ? ,

4 ? ?a5 ? 0 ?10 k ? ?k ? 12 ? ? 0 ? k ? ? 3 从 a 5 开始各项均小于零,则 ? ,即 ? , ?? 12 ?a 4 ? 0 ? 8k ? ?k ? 12 ? ? 0 ?k ? ? 7 ?
所以 k ? ??

? 12 4 ? ? 24 8 ? ,? ? 。因为 d ? 2k ,所以 d 的取值范围为 ?? ,? ? 。 ? 7 3? ? 7 3?

15.解:设数列 ? an ? 的公差为 d ,则

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .
由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,
2

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2

整理得 10d ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 . 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 .
2

当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 ,
38

20 ?19 d ? 20 ? 7 ?190 ? 330 . 2 16.解 由题设得:当 n ? 2 时, an ? 1 ? c(an ?1 ? 1) ? c 2 (an ?2 ? 1) ? ? ? c n ?1 (a1 ? 1) ? (a ? 1)c n?1
于是 S20 ? 20a1 ?

∴ an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1

∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 。 1 (2) 由(1)得 bn ? n(1 ? a)c n ?1 ? n( ) n 2 1 1 2 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2( ) ? ? ? n( )n 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n ?1 Sn ? ( ) ? 2( ) ? ? ? n( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? ? ( )2 ? ? ? ( )n ? n( )n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( )2 ? ? ? ( )n?1 ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 n ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) 2 17.解: (1)由已知得: an ?1 ? an ? 1 , 所以数列是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列;即 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n
(2)由(1)知 bn ?1 ? bn ? 2

n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式。

? 2n bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ??? ? (b2 ? b1 ) ? b1
an

1 ? 2n ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 1 ? ? 2n ? 1 1? 2 2 n n?2 bnbn ? 2 ? bn ?1 ? (2 ? 1)(2 ? 1) ? (2n ?1 ? 1) 2 ? ?5 ? 2n ? 4 ? 2n ? ?2n ? 0
n ?1 n?2 n ?3

所以: bn ? bn ? 2 ? bn ?1

2

18. (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q n ?1
? S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 依题意有 ? ① ? S 2b2 ? (6 ? d ) q ? 64 6 ? ?d ? ? 5 ?d ? 2 ? ,或 ? 解得 ? (舍去) ?q ? 8 ? q ? 40 ? 3 ? n ?1 故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8
(2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2
39

3 2n ? 3 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? )? ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) 2 2 n ?1 n ? 2

第 18 练
一、填空题: 1.1 8. ?0,10? 2。三 3。-6 4。

直线方程

4 3

5。

1 26
10。 ?

6。-4
1 3

7。(4, 3) 11。 [?2,2]

9。 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0

12. 3x ? 2 y ? 7 ? 0 或 4 x ? y ? 6 ? 0 二、解答题:

13。P(5,6)

14。 ??

? 2 4 ? , ,1? ? 3 3 ?

15.解: (1) 由条件, 可设 l1 的方程为 3x+4y+m=0, 以 x=-1, y=3 代入, 得 -3+12+m=0, 即得 m=-9, ∴直线 l1 的方程为 3x+4y-9=0; (2) 由条件, 可设 l1 的方程为 4x-3y+n=0, 令 y=0, 得 x ? ? 于是由三角形面积 S ?
′ ′



n n , 令 x=0, 得 y ? , 4 3

1 n n 2 ? ? ? ? 4 , 得 n =96, ∴ n ? ?4 6 2 4 3

∴直线 l1 的方程是 4 x ? 3 y ? 4 6 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 4 6 ? 0 16.解:直线 BC 方程为 2x+5y-22 = 0,|BC| = 到 BC 的距离为 ∴y?
| 11y ? 28 | 29
29 ,设点 A 坐标(3y-3,y),则可求 A

,∵ ? ABC 面积为 21,∴

1 | 11y ? 28 | 29 ? ? 21, 2 29

70 14 177 70 75 14 )或( ? ,? ) 或 ? ,故点 A 坐标为( , 11 11 11 11 11 11

17. x ? y ? 0 18.(1) 2 x ? y ? 6 ? 0 ; (2) x ? y ? 5 ? 0

第 19 练
一、填空题: 1.2x+y=0 2。 ?2 ? 5 ? a ? ?2 ? 5 5。 相离

直线与圆

3。 82

4。

5 注意:题中: “最知距离” 4
7。

改为: “最短距离”

6. 直角三角形, 注意: 题中: “的确良” 改为: “的” 9。 y ? x ? 2或y ? ? x ? 2

x+y-1=0

8。 3 ? 2 2

40

10. [?5 2 ,5]

11。3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0

12。 y 2 ? 6? x ? ?
?

?

1? 2?

13.1<R<3 二、解答题:

14。 (??,?

4 3 4 3 )?( ,??) 3 3
1 5

15.解:解方程组消 x 得 5y -20y+12+c = 0, y1 ? y 2 ? (12 ? c) ,
1 2 消 y 得 5x +10x+4c-27 = 0, x1 ? x2 ? (4c ? 27) , 5 y y 12 ? c 4c ? 27 ∵OP ? OQ,∴ 1 ? 2 ? ?1 ,∴ ,解得 c = 3. ?? x1 x 2 5 5

2

16.解:把 y =-2x+b 代入 x +y -4x+2y-15 = 0, 整理得 5x -4(b+2)x+b +2b-15 = 0,令 ? = 0 得 b =-7 或 b =13,]
2 2

2

2

∵方程有等根, x ?

2(b ? 2) ,得 x =-2 或 x = 6, 5

代入 y = -2x-7 与 y = -2x+13 得 y =-3 或 y = 1, ∴所求切点坐标为(-2,-3)或(6,1). 17.解:设圆心坐标为 P(a, b), 则圆的方程是(x-a) +(y-b) =25, ∵ (-2, 6)在圆上,∴ (a+2) +(b-6) =25, 又以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 , ∴ |PM| =r - 5 , 即(a-5) +(b-4) =20, 联立方程组 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?(a ? 2) 2 ? (b ? 6) 2 ? 25 7a ? 3 ? , 两式相减得 7a-2b=3, 将 b= 代入 2 2 2 ? ?(a ? 5) ? (b ? 4) ? 20

得 53a -194a+141=0, 解得 a=1 或 a=
2 2

141 414 , 相应的求得 b1=2, b2= , 53 53 141 2 414 2 ) +(y- ) =25 53 53

∴ 圆的方程是(x-1) +(y-2) =25 或(x- 18 . 解 : (1) 设 圆

C

方 程 为

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , 则

?F=0 ?4D+4E+F+32=0 ?(4+2 3)D+2E+F+32+16

3=0
2 2

解得 D=-8,E=F=0.所以圆 C:(x-4) +y =16. (2)当斜率不存在时,l:x=2 被圆截得弦长为 4 3,符合题意; 当斜率存在时,设直线 l:y-6=k(x-2),即 kx-y+6-2k=0, |4k+6-2k| 因为被圆截得弦长为 4 3,所以圆心到直线距离为 2,所以 =2,解得 k= 2 1+k
41

4 4 - ,所以直线 l:y-6=- (x-2),即 4x+3y-26=0. 3 3 故所求直线 l 为 x=2,或 4x+3y-26=0.

第 20 练
一、填空题: 1. 7 2.

椭圆、双曲线和抛物线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25
5.

3. 2 ,注意:题中印刷不清部分为: 若 “

c ? d ” 4. 1, 或2

x2 y 2 ? ? ?1 20 5
8.

6. (??, ?4) ? (1, ??)

7. 1

(?

3 5 3 5 , ) 5 5

9.

5 2

10. [-

5 5 , ] 2 2

11. 24 二、解答题:

12.

x2 ? y2 ? 1 2

13. ?

b2 a2

14. M (2 3, 3) ?

15. 解:由共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? 2 ?1; a 2 a ? 25

双曲线方程为

y2 x2 16 9 ? ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 ? 1, a 2 ? 40 2 2 b 25 ? b a a ? 25
b 25 ? b
2

双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b 2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ?1 40 15 16 9

16. 解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) ,

x 2 ? 2 y ? 4cos2 ? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4
令 T ? x ? 2 y,sin ? ? t , (?1 ? t ? 1) ,
2

T ? ?4t 2 ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ?


b 4

b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ; 4

42

当0 ?

b ? 1,即0 ? b ? 4 时, 4
? ( x ? 2 y ) max
2

Tmax

b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ? ? 4, 0 ? b ? 4 ?? 4 ?2b, b ? 4 ?

17. 证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

y ?y x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,得 k AB ? 2 1 , x2 ? x1 2 2

b 2 x12 ? a 2 y12 ? a 2b 2 , b 2 x2 2 ? a 2 y2 2 ? a 2b 2 , 得 b2 ( x2 2 ? x12 ) ? a 2 ( y2 2 ? y12 ) ? 0,


y2 2 ? y12 b2 x ?x ? ? 2 , AB 的垂直平分线的斜率 k ? ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1 a y2 ? y1

AB 的垂直平分线方程为 y ?

y1 ? y2 x ?x x ?x ? ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 2 y2 ? y1 2

当 y ? 0 时, x0 ?

y2 2 ? y12 ? x2 2 ? x12 b2 x ? x ? (1 ? 2 ) 2 1 2( x2 ? x1 ) a 2

而 ?2a ? x2 ? x1 ? 2a ,??

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a
y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4
2

18. 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?
2 2 2 2
2 2 2

而 3x1 ? 4 y1 ? 12, 3x2 ? 4 y2 ? 12, 相减得 3( x2 ? x1 ) ? 4( y2 ? y1 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4 x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? ?m? 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则 。 13 13 4 3

第 21 练
1. 5 5. (4, 2)

抛物线及圆锥曲线综合应用
3. 4, 或 ?

2. (7, ?2 14) 6. ? ??, 2 ? 10. ?2,2 ?

5 4

4. ?1 8. 2 15

7. ( ? 7, 0)

9. 注意:本题删掉

? 11.

x2 y2 ? ?1 16 8

43

12.( ?

15 1 3 ,?1 ) 13. 或 3 2 2

14.②

二、解答题: 15.解:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 9 16

F1 F2 2 ? PF12 ? PF2 2 ? 2 PF1 ? PF2 cos 600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
得 PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? ( PF1 ? PF2 ) ? PF1 ? PF2 ? 100
2 2 2

PF1 ? PF2 ? 64, S ?
2

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 2
4t ? 4t 2 ? 5 17 ? 4t 2 ? 4t ? 5 17

16. 解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ? 当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P( ,1) 为所求的点。 2 2

17. 解析: (I)由题意知

c 3 ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 。 e? ? a 2
x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 。 4



C1



C2

的方程分别为

(II) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx
2 ? y ? x ?1

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 。 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

故 MA ? MB ,即 MD ? ME 。 18. 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1. 所以 e ?

a 2 ? b2 ? 3

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3, 0), ( 3, 0). ,离心率为 e ? (Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1,

c 3 ? a 2

44

点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 2 2

3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3

? y ? k ( x ? m), ? 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), 由 ? x 2 2 ? ? y ? 1. ?4
得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ?4k 2 m2 ? 4 ? 0 。
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

8k 2 m 1 ? 4k 2
2

, x1 x 2 ?
2

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得

| km | k ?1
2

? 1,即m2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

? (1 ? k 2 )[

64 k 4 m ? 4 ( 4 k 2 m 2 ? 4) ? 4 3 | m | . ? ] m2 ? 3 (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 所以 | AB |?

3,

4 3|m| , m ? (??,?1] ? [1,??) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2

第 22 练

推理证明
2

1、 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?? ? [n ? (2n ? 2)] ? (2n ? 1) 4、大前提错误 8、 1000 5、- cos x
n

2、③

3、500 7、 f ( x) ?

2 2 2 2 6、 S ?BCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB

9、 f (2 ) ?

n?2 2

10、 f (n) ?

n?2 2n ? 2

2 x ?1

45

11、证:设(1 ? a)b >

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a < 64
2



又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ?
1 , 4

1 ? (1 ? a ) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a )a ? ? ? ?4 2 ? ?

(1 ? c)c ?

1 4 1 64

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

与①矛盾
3 2

∴原式成立

12、解:一般形式: sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60 ? ) ? sin 2 (? ? 120 ? ) ?

证明

左边 =

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120 ? ) 1 ? cos(2? ? 240 ? ) ? ? 2 2 2

3 1 ? [cos 2? ? cos(2? ? 120 ? ) ? cos(2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 = ? [cos 2? ? cos 2? cos120 ? ? sin 2? sin120 ? ? cos 2 cos 240 ? ? 2 2
=

sin 2? sin 240 ? ]
=

3 1 1 3 1 3 3 ? [cos 2? ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] = ? 右边 2 2 2 2 2 2 2

∴原式得证 (将一般形式写成 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?
2

?

2

2

?

3 , 2

sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ?

3 等均正确) 2

13、证明:假设 2 、 3 、 5 为同一等差数列的三项,则存在整数 m,n 满足

3 = 2 +md



5 = 2 +nd


2 2 2

① ? n-② ? m 得: 3 n- 5 m= 2 (n-m)

两边平方得: 3n +5m -2 15 mn=2(n-m)

左边为无理数,右边为有理数,且有理数 ? 无理数 所以,假设不正确。即

2 、 3 、 5 不能为同一等差数列的三项

14、简证:令 x1 ? x2 ,则有 f ? 0 ? ? 1 ,再令 x1 ? ? x2 ? x 即可 15、[解] 2 3 ? 13 ? 3 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1

33 ? 23 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1
┅┅
46

43 ? 33 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1

(n ? 1) 3 ? n 3 ? 3 ? n 2 ? 3 ? n ? 1
将 以 上 各 式 分 别 相 加 得 :

(n ? 1) 3 ? 13 ? 3 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3? ? n) ? n
所以: 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ?

1 1? n [( n ? 1) 3 ? 1 ? n ? 3 n] 3 2

?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

第 23 练
一、 1. 2 2 ; 6.16;
3 2. [?2, ] ; 2

不等式
5. [ 2,6)

3. (??, ?1) ? (?1,1) ; 4. (??, ?2] ? [3, ??) ; 8.2 2 ; 9.[ 2, ??) ;

7.1;

10.[ 2, ??) ;

二、 11.解:∵|x-1|≥a,∴x-1≥a 或 x-1≤a,∴ x≥a+1 或 x≤1-a, 又对于集合 B:∵ ? 如图:
O O O O

? 2 x ? 1 ? 3 x ? 5 ? x ? ?6 ? -6<x<4; ∴? ?5 x ? 2 ? 3 x ? 6 ? x ? 4

1-a ∵A∩B=φ ∴ ?

-6

4

1+a

?1 ? a ? ?6 ?a ? 7 ∴? ∴a≥7 ?1 ? a ? 4 ?a ? 3

因此所求 a 的范围是 a≥7。

? f (0) ? 0 ? 12.解: 由已知得: ? f (1) ? 0 ? ? f (2) ? 0 ? ? 2b ? 0 ?b ? 0 ? ? ? a ? 2b ? 1 ? 0 ? ? a ? 2b ? 1 ? 0 ? 2a ? 2b ? 4 ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?
其表示得区域 M 如图:

b?2 表示 C (1, 2) 与 M 区域中的点 (a, b) 连线的斜率。 A(?3,1), B(?1, 0) a ?1
b?2 ?1 ? 1 ? ? ,1? 。 kCA ? , kCB ? 1 ,从图中可知 a ?1 ? 4 ? 4
47

13.解:设 BC ? am(a ? 1,4), CD ? bm. 连结 BD.

1 则在 ?CDB 中, (b ? )2 ? b2 ? a 2 ? 2ab cos60?. 2
1 1 a2 ? 4 . ? b ? 2a ? 4 ? 2a. ?b ? a ?1 a ?1 a2 ?
设 t ? a ? 1, t ?

2.8 ? 1 ? 0.4, 2

1 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 则 b ? 2a ? t 4t 等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4. (t ? 1)2 ?
答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低。

14. (1) f ( x) ? x 即 x (b ? 1) x ? c ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ? b , x1 x 2 ? c ,
2

x 2 ? x1 ? 1,即 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 , (1 ? b) 2 ? 4c ? 1 ,故 b 2 ? 2(b ? 2c) ;
(2) f (t ) ? x1 = f (t ) ? f ( x1 ) ? (t ? x1 )(t ? x1 ? b) , 因为

t ? x1 ? b ? t ? x1 ? 1 ? x1 ? x2 ? t ? ( x2 ? 1) ? 0 ,所以 f (t ) ? x1 。

15. 【解析】 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ? a | a |? 1 ? ?

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x)min

2 ? f (a ), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? ?? a ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? ? f ( ? a ), a ? 0 ? ?2a , a ? 0 ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ?

综上 f ( x) min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 。 ,a ? 0 ? ? 3

48

第 24 练
一、 1.①②; 6.96; 二、 2.垂直; 7. 4? ; 3.
a ; 3

直线与平面参考答案
5.5 或 65; 10. 5 3 ;

4.侧棱相等; 9.无数;

8.①③;

11.证明:∵α ∩β =BC,A∈α ,又∵E、F 分别是 AB 和 AC 上的点, ∴E∈α ,F∈α .∴EF?α.又∵EF∩GH=P,∴P∈EF,∴P∈α . 同理,P∈β ,又∵α ∩β =BC,∴P∈BC,即 P 点必在 BC 上.

12.解:以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图 所示的正方体,则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球. 由图知正方体的棱长为 2 6 a,正方体的对角线长为 a,设正四面体 2 2 6 6 a,∴R= a,于是球的表面积 2 4

的外接球的半径为 R,则 2R= S=4π?(

6 2 3 2 4 6 6 a) = πa ,球的体积 V= π( a)3 = πa3. 4 2 3 4 8

13.证明:(1)在△CBB1 中,∵D、E 分别为 BC、B1C 的中点, ∴DE∥BB1,又∵BB1?平面 ABB1A1,DE?平面 ABB1A1, ∴DE∥平面 ABB1A1. (2)∵三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱 ∴BB1⊥平面 ABC,∵AD?平面 ABC,∴BB1⊥AD ∵在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC ∵BB1∩BC=B,BB1、BC?平面 B1BC,∴AD⊥平面 B1BC 又∵AD?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 B1BC.

49

14.证明:(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD⊥AB, ∴AD⊥平面 ABE,AD⊥AE.∵AD∥BC,则 BC⊥AE. 又 BF⊥平面 ACE,则 BF⊥AE. ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE,∴AE⊥BE. (2)设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 BF⊥CE.而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. 在△ACE 中,FG∥AE,∵AE?平面 BFD,FG?平面 BFD,∴AE∥平面 BFD.

15.解:(1)证明:∵EP⊥面 ABCD, ∴EP⊥DP,又 ABCD 为矩形,AB=2BC,P、Q 为 AB、CD 中点, 1 ∴PQ⊥DC 且 PQ= DC,∴DP⊥PC,∵EP∩PC=P,∴DP⊥面 EPC. 2 (2)如图所示,假设存在 F 使平面 AFD⊥平面 BFC. ∵EP⊥平面 ABCD,EP?平面 EAB ∴平面 EAB⊥平面 ABCD. 又∵CB⊥AB,平面 EAB∩平面 ABCD=AB.∴CB⊥平面 EAB ∵AF?平面 EAB,∴CB⊥AF. ∴只要 AF⊥FB 的点 F 就符合题意, ∵P 为 AB 中点,FP⊥AB,∴当 AF⊥FB 时 FP FP =1,∴当 =1 时,平面 AFD⊥平面 BFC. AP AP

第 25 练
一、1.(0,-1,0); 2. 150? ;

立体几何与空间向量参考答案
3.2,-5,-8; 4.

2 3 a ; 12

5.5;

6. 14 ; 二、

7.1;

8. 2 3 ;

9.

3 ; 4

10.①②④;

11.证明:? AB ? CD, ? AB ? CD ? 0 .

又? AB ? CB ? CA ,

? (CB ? CA) ? CD ? 0



CB ? CD ? CA ? CD

.……①

? AD ? BC, ? AD ? BC ? 0 .
又? AD ? CD ? CA ,? (CD ? CA) ? BC ? 0 即 CD ? BC ? CA ? BC .……②
50

由①+②得: CA ? CD ? CA ? BC ? 0 即 CA ? BD ? 0 .? AC ? BD . 12.解:建立如图所示的直角坐标系, (1)不妨设正方体的棱长为 1, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) D1 (0,0,1) , , z

1 1 ) ,F(0, ,0) , 2 2 1 则 D1 F =(0, ,-1) D A =(1,0,0) , , 2 1 , AE =(0,1, ) 则 D1 F ? DA =0, 2 D1 F ? AE =0, ? D1 F ? DA , D1 F ? AE . ? D1 F ? 平面 ADE;
E(1,1,

D1 B1 E D F x A B

C1

A1

C

y

(2) B1 (1,1,1) ,C(0,1,0) ,故 CB1 =(1,0,1) EF =(-1,- ,

1 1 ,- ) , 2 2

? EF ? CB1 =-1+0-
则 cos EF , CB ? 1

1 3 =- , 2 2
? ? 3 2

EF ? 1 ?

1 1 ? ? 4 4

3 , CB 1 2

? 2,

EF ? CB1 EF ? CB1

??

3 ? 2 2

3. 2

EF , CB1 ? 150 ?

??? ???? ???? ? ? 13.解 (1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC , DD1 为单位正交基底建立如图所示的空间

直角
1 0 坐标系 D ? xyz .则 A(1,0,0), O 1 ,1 , , C ? 0,, ? ,D1(0,0,1), 0 2 2 ???? ? ???? 1 E 1 ,1 ,1 , 于是 DE ? 1,1 ,1 , CD1 ? ? 0,? 1, ? . 4 4 2 4 4 2 ???? ???? ? ???? ???? ? DE ? CD1 3 ? 由 cos ? DE,CD1 ? = ????? ???? = . 6 | DE |? | CD1 |

?

?

?

? ?

?

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

3 . 6

???? ? ??? ? CD (2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1,z1),由 m· =0,m· 1 =0 CO

? 1 x ? 1 y ? 0, ? 得 ?2 1 2 1 取 x1=1,得 y1=z1=1,即 m=(1,1,1) . ?? y1 ? z1 ? 0, ? ???? 由 D1E=λEO,则 E ? ? , ? , 1 ? , DE = ? ? , ? , 1 ? . ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? 又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n· =0,n· =0. CD DE

51

? y2 ? 0, ? 得 ? ? x2 取 x2=2,得 z2=-λ,即 n=(-2,0,λ) . ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

因为平面 CDE⊥平面 CD1F,所以 m· n=0,得 λ=2. 14.如图所示,以点 C 为坐标原点,以 CB、CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴、y 轴和 z 轴, 建立 空间直角坐标系 C—xyz.? 设 AB=a,BE=b,CF=c,则 C(0,0,0) ,A( 3 ,0,a) ,? B( 3 ,0,0) ,E( 3 ,b,0) ,F(0,c,0).? (1)证明 , , ,? AE =(0,b,-a) CB =( 3 ,0,0) BE =(0,b,0)

所以 CB · =0, CB · =0,从而 CB⊥AE,CB⊥BE.? AE BE AE∩BE=E,所以 CB⊥平面 ABE.?因为 CB⊥平面 DCF,? 所以平面 ABE∥平面 DCF,AE ? 平面 ABE.? 故 AE∥平面 DCF.? (2)解 因为 EF =(- 3 ,c-b,0) CE =( 3 ,b,0).? , 解得 ?
?b ? 3, ?c ? 4,

??3 ? b(c ? b) ? 0, ? CE EF · =0,| EF |=2,所以 ? 2 ? 3 ? (c ? b ) ? 2 , ?

所以 E( 3 ,3,0) ,F(0,4,0).? 设 n=(1,y,z)与平面 AEF 垂直,? 则 n· =0,n· =0,解得 n=(1, 3 , AE EF
3 3 ).? a

又因为 BA⊥平面 BEFC, BA =(0,0,a) ,? 所以|cos〈n, BA 〉|=
9 2

BA ? n BA ? n

?

3 3a a 4a 2 ? 27

?

1 ,? 2

解得 a= .?所以当 AB 为 时,二面角 A—EF—C 的大小为 60° .

9 2

15.(1) 证明 如图,建立空间直角坐标系,? 则 A(0,0,0),B( 2 ,0,0),C(0,2,0),? A1(0,0, 3 ),C1(0,1, ∴D 点坐标为 ? ?
3 ).?∵BD∶DC=1∶2,∴ BD =
1 BC ,? 3

?2 2 2 ? , ,0 ? ,? ? ? 3 3 ?

52

∴ AD = ? ?

?2 2 2 ? , ,0 ? , BC =(- 2 ,2,0), AA1 =(0,0, 3 ).? 3 3 ? ? ?

∵ BC · 1 =0, BC · =0,? AA AD ∴BC⊥AA1,BC⊥AD.又 A1A∩AD=A,? ∴BC⊥平面 A1AD.又 BC ? 平面 BCC1B1,? ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.? (2)解 ∵BA⊥平面 ACC1A1,取 m= AB =( 2 ,0,0)为平面 ACC1A1 的法向量.? 设平面 BCC1B1 的法向量为 n=(x,y,z),? 则 BC · n=0, CC1 · n=0, ∴? ?
?? 2 x ? 2 y ? 0 ?? y ? 3 z ? 0 ?

?∴x= 2 y,z=

? 3? 3 ? ,? y ,可取 y=1,则 n= ? 2 ,1, ? 3 ? 3 ? ?
3 3 3 2 ) 3

2 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 ?

cos〈m,n〉=

=

( 2 ) 2 ? 0 2 ? 0 2 ? ( 2 ) 2 ? 12 ? (

15 ,? 5

即二面角 A—CC1—B 的余弦值为

15 . 5

第 26 练
一、填空题 1.答案:49 15 2.答案: 16 3.答案:3,6,12 4.答案:4 x 5. 答案:y←3 6.答案:③ 7.答案:(4) 1 8.答案:

算法与统计答案

n

? ai
i ?1

n

样本均值

9.答案:7 11 10. 答案: 45 二、解答题 11.解:总体容量为 6+12+18=36(人).当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样

53

36 n n n n 的间隔为 ,分层抽样的比例是 ,抽取工程师 ?6= (人),抽取技术员 ?12 n 36 36 6 36 = (人), 抽取技工 ?18= (人). 所以 n 应是 6 的倍数, 的约数, n= 6,12,18,36. 36 即 3 36 2 当样本容量为(n+1)时, 总体容量是 35 人, 系统抽样的间隔为 所以 n 只能取 6,即样本容量 n=6. 12.解: 35 35 , 因为 必须是整数, n+1 n+1

n

n

n

13. 解:(1)图 1 中程序的功能是求 2+4+6+8+?+2n 的和,当 n=20 时,S=2+4 +6+?+40=420. 图 2 中程序功能是求 2+4+6+?+2n 的和,当 n=20 时,S=2+4+6+?+40 =420. 所以甲、乙两位同学编写的程序输出的结果是一致的. (2)修改后部分流程图为

14.解:(1)频率分布表如下: 成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 频数 2 3 10 15 12
54

频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24

频率/组距 0.004 0.006 0.02 0.03 0.024

[90,100) 合计 (2)频率分布直方图和折线图为:

8 50

0.16 1

0.016 0.1

(3)所求的学生比例为 0.2+0.3+0.24=0.74=74%. (4)所求的学生比例为 1-(0.12+0.16)=1-0.28=0.72=72%. 15.解:(1)A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名. (2)(ⅰ)由 4+8+x+5+3=25,得 x=5, 6+y+36+18=75,得 y=15. 频率分布直方图如下:

55

从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小. 4 8 5 5 3 (ⅱ) x A= ?105+ ?115+ ?125+ ?135+ ?145=123, 25 25 25 25 25

x B= ?115+ ?125+ ?135+ ?145=133.8, x=
25 75 ?123+ ?133.8=131.1. 100 100

6 75

15 75

36 75

18 75

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的
估计值分别为 123,133.8 和 131.1.

第 27 练
一、填空题 1 1.答案: 2 3 2.答案: 5 3.答案:① 19 4.答案: 36 12 5.答案: 125 π 6.答案: 4 1 7.答案: 5 2 8.答案: 11 2 9.答案: 3 7 10.答案: 9 二、解答题

概率答案

1 11.解:(1)设从 A 中任取一个元素是(1,2)的事件为 B,则 P(B)= ,所以从 A 中任取一个 36 1 元素是(1,2)的概率为 . 36 (2)设从 A 中任取一个元素, +y≥10 的事件为 C, x 则有(4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)共 6 种情况, 1 于是 P(C)= , 6

56

1 所以从 A 中任取一个元素,x+y≥10 的概率为 . 6 (3)Y 可能取的值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. 1 36 4 36 5 36 2 36 5 36 4 36 3 36 6 36

P(Y=2)= ,P(Y=3)= ,P(Y=4)= , P(Y=5)= ,P(Y=6)= ,P(Y=7)= , P(Y=8)= ,P(Y=9)= ,P(Y=10)= , P(Y=11)= ,P(Y=12)= .
1 2 3 4 5 6 5 4 则 E(Y)=2? +3? +4? +5? +6? +7? +8? +9? + 36 36 36 36 36 36 36 36 3 2 1 10? +11? +12? =7. 36 36 36 12.解:(1)一条生产线上熟练工人数不得少于 3 人有 C8+C8C2种选法.工人的配置合 C8+C8C2 13 理的概率 = . 4 C10 15 (2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验,因两次检验得出工人的配置合 13 理的概率均为 ,故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合 15 13 52 113 格的概率为 C2 (1- )= . 15 15 225 13.解:(1)由题意可得
3 q3 2 ?q ? L1=(164-3q)?q-? -3q +20q+10?=- +144q-10(q>0). 4 3 1 4 3 1

3 36

2 36

1 36

?3

?

3

同理可得 L2=- +81q-10(q>0),L3=- +50q-10(q>0). 3 3 (2)由期望定义可知 Eξ q=0.4L1+0.4L2+0.2L3

q

3

q

3

? ? ? ? ? ? =0.4??- +144q-10?+0.4??- +81q-10?+0.2??- +50q-10? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?
=- +100q-10. 3 (3)由(2)可知 Eξ q 是产量 q 的函数,设 f(q)=Eξ q=- +100q-10(q>0),得 f′(q) 3 =-q +100. 令 f′(q)=0.解得 q1=10,q2=-10(舍去). 由题意及问题的实际意义(或当 0<q<10 时,f′(q)>0,当 q>10 时,f′(q)<0)可知,当 q= 10 时,f(q)取得最大值,即 Eξ q 最大时的产量 q 为 10. 14.解:(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1,
2

q3

q3

q3

q3

q3

57

解得 a=0.2. ∴X 的概率分布列为

X P

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

∴E(X)=0?0.1+1?0.3+2?0.4+3?0.2=1.7. (2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”;事件 A1 表示“两个月内有一个月被 投诉 2 次,另外一个月被投诉 0 次”;事件 A2 表示“两个月内每个月均被投诉 1 次”. 则由事件的独立性得 P(A1)=C1P(X=2)P(X=0)=2?0.4?0.1=0.08, 2 P(A2)=[P(X=1)]2=0.32=0.09, ∴P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17.

15.解:(1)由不放回抽样可知,第一次从 6 个球中取一个,第二次只能从 5 个球中取一 个,第三次从 4 个球中取一个,基本事件共 6?5?4=120 个,又事件 A 中含有基 本事件 3?2?4?3=72 个,(第一个是红球,则第 2,3 个是黄球,取法有 2?4?3 种,第 2 个是红球和第 3 个是红球取法一样多), 72 3 ∴P(A)= = . 120 5 第 3 次取到红球对前两次没有什么要求, 1 因为红球数占总球数的 ,每一次取到都是随机地等可能事件, 3 1 ∴P(B)= . 3 (2)由放回抽样知,每次都是从 6 个球中取一个,有取法 6 =216 种,事件 A 含基本事件 3?2?4?4=96 种. 96 4 ∴P(A)= = . 216 9 第三次抽到红球包括 B1={红,黄,红},B2={黄,黄,红},B3={黄,红,红},B4={红, 2?4?2 2 4?4?2 4 红,红}四种两两互斥的情形,P(B1)= = ,P(B2)= = , 216 27 216 27
3

P(B3)= P(B4)=

4?2?2 2 = , 216 27 2?2?2 1 = , 216 27

∴P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 2 4 2 1 1 = + + + = . 27 27 27 27 3

58

第 28 练
一、填空题 1.【答案】 1080 2.【答案】30 3. 【答案】30 4. 【答案】91 5.【答案】

排列、组合与二项式定理

1 (2k ? 1)( 2k ? 2)

6. 【答案】18 7. 【答案】14 8. 【答案】2 9. 【答案】0. 10【答案】 .10 二、解答题 1 1.解:(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本有 C6种选法;再从余下的 5 本中选 2 本有 2 3 1 2 3 C5种选法;最后余下 3 本全选有 C3种方法,故共有 C6C5C3=60 种. (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)题基础上,还应 1 2 3 3 考虑再分配,共有 C6C5C3A3=360 种. 2 2 2 (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C6C4C2种方法,但是这里出现了重 复.不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD, 2 2 2 第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 C6C4C2种分法中还有(AB,EF, CD)、(CD,AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB,CD),共 A3 3 3 种情况,而这 A3种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法, C6C4C2 故分配方式有 3 =15 种. A3
2 2 2

2.证明: (1)当 n ? 1 时, 3 ? 8 ?1 ? 9 ? 64 ,能被 64 整除,命题成立.
4

(2)假设 n ? k 时,命题成立,即 3 则当 n ? k ? 1 时, 3 因为 3
2k ?2
2( k ?1) ? 2

2k ?2

? 8k ? 9 能被 64 整除,

? 8(k ? 1) ? 9 ? 9(32 k ? 2 ? 8k ? 9) ? 64k ? 64 .

? 8k ? 9 能被 64 整除,

59

所以 3

2( k ?1) ? 2

? 8(k ? 1) ? 9 能被 64 整除.

即当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 由(1)和(2)可知,对任何 n ?N ,命题成立.
?

1 1 2 1 2 3.解:依题意,前三项系数的绝对值是 1,Cn( ),Cn( ) , 2 2

1 1 2 1 2 且 2Cn? =1+Cn( ) , 2 2 即 n -9n+8=0,∴n=8(n=1 舍去), ∴展开式的第 r+1 项为 C8( x)
r
8-r 2

(-
r

1

)

r

4 2 x 1 r r 8-r r C8 16-3r r =(- ) C8?x ?x- =(-1) ? r?x . 2 2 4 2 4 (1)证明:若第 r+1 项为常数项, 16-3r 当且仅当 =0,即 3r=16, 4 ∵r∈Z,∴不存在 r,∴展开式中没有常数项. 16-3r (2)若第 r+1 项为有理项,当且仅当 为整数, 4 ∵0≤r≤8,r∈Z,∴r=0,4,8, 即展开式中的有理项共有三项,它们是:

T1=x4,T5= x,T9=

35 8

1 -2 x . 256

4.解:设 f(x)=(2x-1) =a0+a1x+a2x +?+a5x , 则 f(1)=a0+a1+a2+?+a5=1, f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243. 5 (1)∵a5=2 =32, ∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31. (2)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a5| =-a0+a1-a2+a3-a4+a5 =-f(-1)=243. (3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5), 244 ∴a1+a3+a5= =122. 2 (4)(a0+a2+a4) -(a1+a3+a5) =(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5) =f(1)?f(-1)=-243.
2 2

5

2

5

60

5. 解:(1)由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1. ∴b2=

b1 1 = . 2 1 ? 4a1 3

1 a2=a1·2= . b 3 1 1 ∴点 P2 的坐标为( , ), 3 3 ∴直线 l 的方程为 2x+y=1. (2)①当 n=1 时, 2a1+b1=2?1+(-1)=1 成立. ②假设 n=k(k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1 成立, 则 2ak+1+bk+1=2ak·k+1+bk+1= b

bk (2ak+1) 2 1 ? 4a k



bk 1 ? 2a k ? =1, 1 ? 2a k 1 ? 2 a k

∴当 n=k+1 时,命题也成立. 由①②知,对 n∈N*,都有 2an+bn=1, 即点 Pn 在直线 l 上.

第 29 练
1.解: (Ⅰ)由条件得矩阵 M ? ?

矩阵

?2 ?0

0? ?1 ? ? ,它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ?0 ? 及 3? ? ?

?0 ? ? ( ?1 ? ; Ⅱ ) M ?1 ? ? 2 ? ? ?
? ? 0

?1

? 0? x2 y 2 ,椭圆 ? ? 1 在 M ?1 的 作 用 下 的 新 曲 线 的 方 程 为 ? 4 9 1? 3? ?

x 2 ? y 2 ? 1.
2、解:矩阵 M 的特征多项式为 f(λ )=?

?λ -1 -2? ?=(λ -1)(λ -x)-4. ?-2 λ -x?

因为 λ 1=3 方程 f(λ )=0 的一根,所以 x=1. 由(λ -1)(λ -1)-4=0 得 λ 2=-1,
? ?x? ?-2x-2y=0, 设 λ 2=-1 对应的一个特征向量为 α =? ?, ? 则 ? ?y? ?-2x-2y=0,

得 x=-y, x=1, 令

? 1? 则 y=-1,所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 α =? ?. ?-1?
3
61

?a 4、 (1)设 A?1 = ? ?c

b? ? a b ? ?1 ?2 ? ? a ? 3b ?2a ? 7b ? ?1 0 ? ? ,则 ? c d ? ?3 ?7 ? = ?c ? 3d ?2c ? 7 d ? = ?0 1 ? . d? ? ? ? ? ? ? ? ?

?a ? 3b ? 1, ?a ? 7, ??2a ? 7b ? 0, ?b ? ?2, ?7 ?2 ? ? ? ∴? 解得 ? ∴ A?1 = ? ?. ? 3 ?1? ?c ? 3d ? 0, ?c ? 3, ??2c ? 7 d ? 1. ?d ? ?1. ? ?
?7 ?2 ? ?3? ?19 ? (2) X ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ?1? ?1? ? 8 ?
5.解:矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
?2

?2

? ?1

? (? ? 1)(? ? 1) ? 4 = ?2 ? 2? ? 3 .

令 f (? ) ? 0, 得矩阵 M 的特征值为-1 和 3 . 当 ? ? ?1时,联立 ?

? -2 x ? 2 y ? 0 , 解得x ? y ? 0 ??2 x ? 2 y ? 0 ?1? ?. ? ?1?

所以矩阵 M 的属于特征值-1 的一个特征向量为 ?

当 ? ? 3时,联立 ?

? 2x ? 2 y ? 0 , 解得x ? y ??2 x ? 2 y ? 0 ?1? ?1?

所以矩阵 M 的属于特征值 3 的一个特征向量为 ? ? .
? 2 ? ? 2 ? 2 ?? 6、解: (1) ? 2 ? 2 2? x? ? ? 2 ? ?x ? ? 2 = ? ? 2 ? ? y? ? 2 x? ? ?? 2 ? ? 2 2 2 2 2 ? y? x? ?=? ? ? y? ? ? ? ? y? ?

? ? 2 2 x? y ?x ' ? ?x ? ? 2 2 得到 ? ,得到 ? ? ?y' ? ? 2 x ? 2 y ?y ? ? ? ? 2 2 ?

2 2 x? ? y? 2 2 代入 y 2 ? x 2 2 2 x? ? y? 2 2

? 2 ,得 y ?

1 x

(2) (法一)曲线 y 2 ? x 2 ? 2 的焦点坐标是 (0, ?2),(0, 2) ,渐近线方程 x ? y ? 0 ,

62

? 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? 2

? 2 2? ? ? 0 ? ?? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?=? 2 ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? 2

2? ? 2 ? ? 0? = ? 2 ? , ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?

设 x ? y ? 0 上任意点 ( x, y ) 变换后对应的点为 ( x?, y ?)
? 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? 2 2? ? ? 2 2 x' ? x? y ? ?x ? ? 2 ? ? x ? = ? x? ? ,得 ? 2 2 ,求得 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? y ? ? y? ? ?y' ? ? 2 x ? 2 y ?y ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?
2 x? ? 2 2 x? ? 2 2 y? 2 代入 x ? y ? 0 ,得到 x ? 0 和 y ? 0 2 y? 2

矩阵变换后,曲线 C ? 的焦点坐标是 (?

2, ? 2),( 2, 2) 。曲线 C ? 的渐近线方程为 x ? 0 和 y ? 0



(法二)曲线 y 2 ? x 2 ? 2 的焦点坐标是 (0, ?2),(0, 2) ,渐近线方程 x ? y ? 0 ,
? 2 2 x? y ?x ' ? ? 2 2 将点 (0, ?2),(0, 2) 分别代入 ? ,得到 (? 2, ? 2),( 2, 2) ?y' ? ? 2 x ? 2 y ? ? 2 2 ? ?x ? 将? ? ?y ? ? ? 2 x? ? 2 2 x? ? 2 2 y? 2 代入 x ? y ? 0 ,得到 x? ? 0 和 y? ? 0 2 y? 2



矩阵变换后,曲线 C ? 的焦点坐标是 (?
? 7. 依题设有: ? bnn?11 ? ? ? ? ? 0

2, ? 2),( 2, 2) 。曲线 C ? 的渐近线方程为 x ? 0 和 y ? 0



a

? 2 3 ? ? an ? ? 2 3? 4 ?? ? 令 A ? ? ? ,则 M ? A 2 ? ?bn ? ? ? 0 2?

? 2 3 ?? 2 3 ? ? 4 12 ? A2 ? ? ?? ??? ? ? 0 2 ?? 0 2 ? ? 0 4 ?
2 ? 4 12 ? ? 4 12 ? ?16 96 ? M ? A4 ? ? A2 ? ? ? ?? ? ?? ? ? 0 4 ? ? 0 4 ? ? 0 16 ?

8、解:MN = ?

?1 0? ? 1 ? ?2 ?0 2 ? ? 0 ?

? ?1 0? ? = 2 ? ?0 1? ?

? ? x? ? x ?? ? ? 1 x ? 0? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? y? ? y ??? ? 2 y ? 2? ? ? ?

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x

?a b ? 9、设矩阵 A ? ? ? ,这里 a , b , c , d ? R , ?c d ? ?1? ?1 ? a ? b ? ?1? ?0 ? 因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?1 ? 1 的特征向量,则有 ? ? 1 ? d ? ?1? ?0 ? ?1? ? ?c ?? ? ? ?
①,

?1 ? ? 2 ? a ? b ? ?1 ? ? 0 ? 又因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?2 ? 2 的特征向量,则有 ? ②, ? 1 ? d ? ?0? ?0? ?0 ? ? ?c ?? ? ? ?

63

?1 ? a ? b ? 0 , ? ?c ? 1 ? d ? 0 , ? 2 ? 1? ? 根据①②,则有 ? 从而 a ? 2 , b ? ?1, c ? 0 , d ? 1, 因此 A ? ? ? , ?0 1? ?2 ? a ? 0 , ? ?c ? 0 , ?

10、解: (Ⅰ) M 1 ? ?

?0 ?1? ? 2 ? ?0 ?1? ? 2 ? ? ?1? ? , M 1 ?1 ? ? ?1 0 ? ?1 ? ? ? 2 ? 所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的 ?1 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 ?1? ? x? ? ,设 ? y ? 是变换后图像上任一点, ?1 0 ? ? ?

点 P ' 的坐标是 P '( ?1, 2) 。 (Ⅱ) M ? M 2 M 1 ? ?

与之对应的变换前的点是 ?

? x0 ? ?则M ? y0 ?
2

? x0 ? ? x ? ? x0 ? y0 ? x ? x0 ? y 也就是 ? , ? 即 , ? y ? ? ? y? , ? x0 ? y ? y0 ? y ? x ? 0? ? ?

所以,所求曲线的方程是 y ? x ? y 。

? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? ? ? ? = ? ? , ∴ 2 ? 2a ? ?4 ? a ? 3 . ? 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ? ? 2 3? (2)由(1)知 M ? ? ? ,则矩阵 M 的特征多项式为 ? 2 1? ? ? 2 ?3 f (? ) ? ? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 ? ? 2 ? 3? ? 4 ?2 ? ? 1 令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4. ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ? x? y ?0 当 ? ? ?1 时, ? ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?1? ∴ 矩 阵 M 的 属 于 特 征 值 ?1 的 一 个 特 征 向 量 为 ? ? ; ? ?1?
11、解: (1)由 ?



??4 时 ,

?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ?3? ? 2 x ? 3 y ? 0 ∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? . ? ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?2?

?a b ? 12、解:设矩阵 A ? ? ? ,这里 a , b , c , d ? R , ?c d ? ?1? ?1 ? a ? b ? ?1? ?0 ? 因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?1 ? 1 的特征向量,则有 ? ? 1 ? d ? ?1? ?0 ? ?1? ? ?c ?? ? ? ?
①,

?1 ? ? 2 ? a ? b ? ?1 ? ? 0 ? 又因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?2 ? 2 的特征向量,则有 ? ②, ? 1 ? d ? ?0? ?0? ?0 ? ? ?c ?? ? ? ?

64

?1 ? a ? b ? 0 , ? ?c ? 1 ? d ? 0 , ? 根据①②,则有 ? ?2 ? a ? 0 , ? ?c ? 0 , ?

? 2 ? 1? 从而 a ? 2 , b ? ?1, c ? 0 , d ? 1, 因此 A ? ? ? , ?0 1?

?1 0 ? 13、解:该变换为切变变换,设矩阵 M 为 ? ?, ? k 1? ?1 0 ? ? ?1? ? ?1? ?1 0 ? 则? ? ? 2 ? ? ?0 ? . ∴ ?k ? 2 ? 0 ,解得 k ? 2 . 所以,M 为 ? 2 1 ? . ? k 1? ? ? ? ? ? ?

f (? ) ?
14、解: (1)矩阵 A 的特征多项式为

? ?1
1

?2

? ? 4 ? ? 2 ? 5? ? 6 ? 0
?1? ? ?.

得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ,当

?1 ? 2时, 解得?1 ? ? ? 1

?2? ? ? ,当

?2 ? 3时, 解得? 2 ? ? ? 1

? 2m ? n ? 7 得m ? 3, n ? 1 ? m?n?4 (2)由 ? ? m?1 ? n? 2 得 ? .
5 5 5 5 由(2)得: A ? ? A (3?1 ? ? 2 ) ? 3( A ?1 ) ? A ? 2

?2? ?1? ? 435? ? 3(?15?1 ) ? ?25? 2 ? 3 ? 25 ? ? ? 35 ? ? ? ? ? ?1 ? ?1? ?339 ?

15、

65

第 30 练

极坐标及参数方程练习卷答案
2 cos(? ? ) 所截的 4

4 ? ? x ? 1 ? 5 t ( t为参数 )被曲线 ? ? ? 1. (坐标系与参数方程)求直线 ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ? ? 弦长,将方程 ? ? 4 x ? 1? t 5 ,? ? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

?

2 cos(? ? ) 分别化为普通方程: 4

?

3x ? 4 y ? 1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0, )
1 1 2 1 1 1 7 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ? d 2 ? 2 ? ? . 2 2 2 10 2 100 5
2、C.解:曲线 C1 直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 ? 4 x 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得 y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 .

? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0
??? ??? ? ? ∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB .

3.解: 因为 ? ? 2 cos ? , 所以 ? ? 2 ? cos ? ,
2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x, 即 ( x ? 1) ? y ? 1.
2 2 2 2

又 直线的参数方程为 ?

? x ? ?4 ? t , 所以直线的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0. ? y ? 3 ? t. 1? 0 ?1 2 - 1 ? 2 - 1.
?
6
, 设 M ( ? ,? ) 是过 P 点的圆 C 的切线上的

所以点 M 到直线距离的最小值为

4、解:由题设知,圆心 C ( 3,0), P(0,1) ,??PCO ?
任一点,则在 Rt ?PMC 中,有 ? cos(? ?

5? ) ? 2 ,即为所求切线的极坐标方程. 6

5.解:直线 l 的普通方程为: x ? 3 y ? 3 6 ? 0 ,设椭圆 C 上的点到直线 l 距离为 d .

6 sin(? ? ) ? 3 6 | 3 cos ? ? 3 sin ? ? 3 6 | 4 d? ? 2 2 ? ? ∴当 sin(? ? ) ? 1 时, d max ? 2 6 ,当 sin(? ? ) ? ?1 时, d min ? 6 . 4 4

?

66

? 10 ? t cos ? ?x ? 6.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ? 0. 2

3 10 cos ? 2 设 M , N 分别对应与 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ? , t1 ? t2 ? . 2 1 ? sin 2 ? 1 ? sin ?
⑴若点 P 恰为弦 MN 的中点,则 t1 ? t2 ? ?

10 cos ? ? ? 0 ,∴ ? ? . 2 1 ? sin ? 2

此时,直线的方程为 x ?

10 . 2

3 2 ⑵ PM ? PN ? t1t2 ? , 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 当 sin 2 ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? . 2 4 2
7. 将 极 坐 标 系 内 的 问 题 转 化 为 直 角 坐 标 系 内 的 问 题 点 O, A, B 的 直 角 坐 标 分 别 为

? 0, 0 ? , ? 0, 6 ? , ? 6, 6 ? ,故 ? OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形,
进而易知圆心为 ? 3,3? ,半径为 3 2 ,圆的直角坐标方程为

? x ? 3?

2

? ? y ? 3? ? 18 ,即 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 0
2

将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入上述方程,得

? 2 ? 6 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 0 ,即 ? ? 6 2 cos ? ? ? ?
?
8、 解:消去参数,得直线的普通方程为 y ? 2 x ? 1

??
? 4?

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin ? ? cos ? ) ,
4
两边同乘以 ? 得 ? ? 2( ? sin ? ? ? cos ? ) ,
2

( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2

(2)圆心 C 到直线的距离 d ?

| 2 ?1?1| 2 2 ? 12

?

2 5 ? 2 ,所以直线和⊙ C 相交. 5

67

? y ? sin ? ? 1 ? y ? 1 ? sin ? 9、由 ? 得? ,两式平方后相加得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , x ? cos ? x ? cos ? ? ?
∴曲线 C 是以 (0,1) 为圆心,半径等于的圆.令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代入并整理得 ? ? 2sin ? .即曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . 10、解略
ì x = 4 cos q, ? 11、 【解】由题设得 ? 0 ( q 为参数, q ? R). í ? y0 = 3sin q ? ? 于是 2 x0 ? y0 ? 8cos ? ? 3sin ? ? 73 cos(? ? ? ) ,

所以 ? 73≤2 x0 ? y0 ≤ 73 .
1 ? ?x ? t ? t , ? 12、解:曲线 ? (t为参数) 可以化为 x 2 ? y 2 ? 4 . 1 ?y ? t ? ? t ?

将直线的参数方程代入上式,得 s 2 ? 6 3s ? 10 ? 0 . 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2 ,∴ s1 ? s2 ? 6 3,s1s2 ? 10 . AB ? s1 ? s2 ? ( s1 ? s2 ) 2 ? 4s1 s2 = 2 17 . 13、解: (1)曲线 C 2 :
?? ?
4 ( ? ? R )表示直线
2 2

y?x
即 ( x ? 3) ? y ? 9 .
2 2

2 曲线 C1 : ? ? 6 cos? ,即 ? ? 6 ? cos? ,所以 x ? y ? 6 x

(2) ? 圆心(3,0)到直线的距离

d?

3 2 2 ,r

? 3 所以弦长 AB = 3

2.

14、解析:将曲线 C 的参数方程?
2

?x=a+2cosθ ? ? ?y=a+2sinθ

(θ 为参数)转化为普通方程,即(x-a)

2

+(y-a) =4,由题意可知,问题可转化为以原点为圆心,以 2 为半径的圆与圆 C 总相交, 根据两圆相交的充要条件得 0< 2a <4,∴0<a <8,解得 0<a<2 2或-2 2<a<0. 15、
2 2

68

综合试卷一参考答案
一.填空题 1. ? 0,1? 2. 必要不充分 3. y ? sin( x ? 8.

?
3

)

4. 4

5. 2

6. 3

7. (1, 2) 14.

?? 1,1? 或 ?? 3,1?

9.

3 8

10.

4 ? 3

11.

1 3 。 12. -2008 13. 4 n(n ? 1)

? ??. ? 2? ? ?0? ? ? 2, ?? ?
二. 解答题 15. 解: A ? x ? 2 ? x ? 3 , B ? x x ? ?4, 或x ? 2 , A ? B ? x x ? ?4, 或x ? ?2

?

?

?

?

?

?

CU ( A ? B ) ? ? x ? 4 ? x ? ?2? ,而 C ? ? x ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0? ??? 7 分
(1)当 a ? 0 时, C ? x a ? x ? 3a ,显然不成立 ??? 9 分 (2)当 a ? 0 时, C ? ? ,不成立 ??? 11 分 (3)当 a ? 0 时, C ? x 3a ? x ? a ,要使 CU ( A ? B ) ? C ,只要 ?

?

?

?

?

?3a ? ?4 ,即 ?a ? ?2

4 ?2 ? a ? ? 。 ??? 14 分 3
69

16. 解: (1)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC, 又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1, 又 AC ? 平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. (2)解:∵A1C1∥AC, A1C1 ? 平面 B1AC ∴A1C1∥平面 B1AC ∴C1 到平面 B1AC 的距离就是求 A1 到平面 B1AC 的距离 过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连结 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC.
从而A1C ? 3a, 又A1 M ? sin A1CM ? 2 a, 2

A1 M 6 ? . 到平面 B1AC 的距离为 2 A1C∴C16
2

(3)解:∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角, ∴∠B1CB=30°. 可得 B1C=2a,BC= 3a, AC ? ∴ VA1 ? AB1C ? VB1 ? ABC ?

2a ,

2 3 a 6

17.解: (1)a+b+c=6,b?=ac,不妨设 a ? b ? c,
2 2 2 2 2 由余弦定理得 cos B ? a ? c ? b ? a ? c ? ac ? 2ac ? ac ? 1 2ac 2ac 2ac 2

故有 0 ? B ? (2)又 b ?

?
3



ac ?

a ?c 6?b ? , 从而 0 ? b ? 2 。 2 2
3 ?b? 2. 2

又 a+b>c =6-a-b,所以 所以 S ?

1 1 1 ? ac sin B ? b 2 sin B ? ? 22 ? sin ? 3 ,即 S max ? 3 2 2 2 3

2 2 2 2 2 (3)所以 BA ? BC ? ac cos B ? a ? c ? b ? (a ? c) ? 2ac ? b 2 2

(6 ? b) 2 ? 3b 2 ? ? ?(b ? 3) 2 ? 27 2
??? ??? 27 ? ? 3 . ? b ? 2,? 2 ? BA ? BC ? 2 4 18. 解: (1)由 2b ? 2 ,得 b ? 1 ?
70

?????1 分

又由点 M 在准线上,得

2 a2 ? 2 ,故 1 ? c ? 2 ,? c ? 1 c c

从而 a ?

2

?4 分

所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

?????5 分

(2)以 OM 为直径的圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 ?1 4
?????7 分

t2 t 其圆心为 (1, ) ,半径 r ? ?1 4 2
因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

r 2 ?1 ?

t 2

?????9 分

所以

3 ? 2t ? 5 5

?

t ,解得 t ? 4 2
2 2

所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 (3)方法一:由平几知: ON 2 ? OK ? OM 直线 OM: y ?

?????10 分

t 2 x ,直线 FN: y ? ? ( x ? 1) 2 t

?????12 分

t ? ?y ? 2 x t2 t2 t2 4 4 ? 2 ? ON ? 1 ? xK ? 1 ? xM ? (1 ? ) ? 2 ?2 ? 2 由? 得 xK ? 2 4 4 4 t ?4 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?
所以线段 ON 的长为定值 2 。 ?????15 分

???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) 方法二、设 N ( x0 , y0 ) ,则 ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 ) ???? ???? ? ? FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2
又? MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x0 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 2
2

???? ?

????

所以, ON ?

x0 2 ? y0 2 ? 2 为定值。

19. 解(1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元 由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2

x

71

1 1 ,故 k1= 4 4 5 5 又 g (4) ? ,? k 2 ? 2 4 1 5 从而 f ( x) ? x( x ? 0), g ( x) ? x ( x ? 0) 4 4
由图知 f(1)= (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?

1 5 x? 10 ? x (0 ? x ? 10) 4 4

10 ? t 2 5 1 5 65 令 t ? 10 ? x 则 y ? ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16
当t ?

5 65 时, y max ? , 此时x ? 3.75 2 16 65 万元 16

答:当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为 20 解析: (1) b6 ? 94 (2) bn ?1 ? a( n ?1)1 ? a( n ?1)2 ? ... ? a( n ?1)( n ?1)

? n ? 1 ? (an1 ? an 2 ) ? ... ? (an ( n ?1) ann ) ? n ? 1

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

? 2(an1 ? an 2 ? ... ? ann ) ? 2
= 2bn ? 2 ; (3)∵ bn ?1 ? 2bn ? 2 ,∴ bn ?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) 所以 {bn ? 2} 是以 b1 ? 2 ? 3 为首项,2 为公比的等比数列, 则 bn ? 2 ? 3 ? 2
n ?1

6分 8分 9分

[来源:学科网]

? bn ? 3 ? 2n?1 ? 2.
*

11 分

若数列 {bn } 中存在不同的三项 bp , bq , br ( p, q, r ? N ) 恰好成等差数列, 不妨设 p ? q ? r ,显然 {bn } 是递增数列,则 2bq ? bp ? br 即 2 2(3 ? 2
q ?1

12 分

? 2) ? (3 ? 2 p ?1 ? 2) ? (3 ? 2r ?1 ? 2) ,化简得:
14 分

2 ? 2q ?r ? 2 p ?r ? 1 ??(*)
由于 p, q, r ? N ,且 p ? q ? r ,知 q ? r ≥1, p ? r ≥2,
*

所以(*)式左边为偶数,右边为奇数, 故数列 {bn } 中不存在不同的三项 bp , bq , br ( p, q, r ? N ) 恰好成等差数列。
*

72

综合试卷二参考答案
一.填空题 1. 8 2. -6 3. ?1, ?? ? 11. y 2 ? 4. 21 5. 85 , 1.6 6. 5 7. ?2,?? ? 13 3 8. -3 或 7 9. 内

心 10. ? 二.

9 2

??1,1? 2 1 12 ? x? 3 9

14 m ? ?5 或 ?1 。

解答题
4 3
2 ? (? 4 ) 3 2 1 ? (4) 3

15.解:⑴由三角函数的定义知 tan ? ? ? ∴ tan 2? ?
2 10

?

24 7

.
1 7

又 由 三 角 函 数 线 知 sin ? ?

, ∵ ? 为 第 一 象 限 角 , ∴ tan ? ?

, ∴

tan(2?

24 ? 1 ? ? ) ? 724 7 1 1? 7 ? 7
3

?

161 73

.
4 5

??7 分 .
7 2 10 2 10

⑵∵ cos ? ? ? ,
5

?
2

? ? ? ? ,∴ sin ? ?
?
2

又 sin ? ?

2 10

,0 ? ? ?

,∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?
4 7 2 10 3

. ?8 分

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
5

? ?
5

?
.

2 2

. ??14 分



?
2

?? ?? ,0 ? ? ?

?
2

,得

?
2

?? ? ? ?

3? 2

,∴ ? ? ? ?

3? 4

16 解:解法:⑴取 AC 中点 D ,连结 SD 、 DB . ∵ SA ? SC , AB ? BC ∴ SD ? AC , BD ? AC , ∴ AC ? 平面 SDB ,又 SB ? 平面 SDB ,∴ AC ? SB . ??4 分 ⑵∵ AC ? 平面 SDB , AC ? 平面 ABC ,∴平面 SDB ? 平面 ABC . 过 N 作 NE ? BD 于 E ,则 NE ? 平面 ABC , 过 E 作 EF ? CM 于 F ,连结 NF ,则 NF ? CM , ?NFE 为二面角 N ? CM ? B 的平面角. ∵平面 SAC ? 平面 ABC , SD ? AC ,∴ SD ? 平面 ABC . 又 NE ? 平面 ABC ,∴ NE / / SD .∵ SN ? NB , ∴ NE ? SD ?
2 1 1 2 SA ? AD
2 2

?

1 2

12 ? 4

? 2 ,且 ED ? EB .
1 1 2

在正 ?ABC 中,由平几知识可求得 EF ? MB ?
4

,

在 Rt ?NEF 中, tan ?NFE ?

EN EF

?2 2
??8 分
1 3 3 2

∴二面角 N ? CM ? B 的正切值为 2 2 .
3 2

⑶在 Rt ?NEF 中, NF ? EF 2 ? EN 2 ? ,∴ S ?CMN ? CM ? NF ?
2

, S?CMB ? BM ? CM ? 2 3 .
2

1

73

设点 B 到平面 CMN 的距离为 h , ∵ VB ?CMN ? VN ?CMB , NE ? 平面 CMB ,∴ S ?CMN ? h ? S ?CMN ? NE ,
3 3 1 1

∴h?

S ?CMB ? NE S ?CMN

?

4 2 3

.即点 B 到平面 CMN 的距离为

4 2 3

.

??

14 分 17.解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a .
? bc cos A ? 9 4 4 3 (Ⅰ) ? tan A ? , A ? , A ? , ? 15 , bc sin cos ? 3 5 5 ?bc sin A ? 12
?bc ? 15 ?b ? 3 sin B b 3 ? ,用余弦定理得 ? cos A ? ? , 由 ? b 3 ? ? sin C c 5 ?c ? 5 ? c?5 ?
a?4

????7 分
12 1 ? (2 x ? y ) 5 5

(Ⅱ) 2S△ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ?

?3x ? 4 y ≤ 12, ? 设 t ? 2x ? y , ? x ≥ 0, 由线性规划得 0 ≤ t ≤ 8 . ? y ≥ 0, ?



12 ≤ x ? y ? z ≤ 4 .????13 分 5

1 18 解:设 BC=x 米(x>1) AC=y 米,则 AB=y- . , 2 1 2 2 2 在△ABC 中,由余弦定理,得(y- ) =y +x -2xycos60?. 2 1 4 所以 y= (x>1) . x-1

x2-

1 4 3 法一:y= =(x-1)+ +2≥2+ 3. x-1 4(x-1)

x2-

3 3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 时,y 有最小值 2+ 3. 4(x-1) 2 1 1 2 2 2x(x-1)-(x - ) x -2x+ 4 4 法二: y′= = 2 2 . (x-1) (x-1) 由 y′=0 得 x=1+ 所以当 x=1+ 3 3 3 .因为当 1<x<1+ 时,y′<0;当 x>1+ 时,y′>0, 2 2 2

3 时,y 有最小值 2+ 3. 2 3 )米.?????14 分 2

答:AC 的最短长度为 2+ 3米,此时 BC 的长度为(1+

74

19 解:设 A(x0,y0),因为 B(0,2),M(

3 ,0) 3

3 3 → → 故 MB =(- ,2), MA =(x0- ,y0). ??????????????2 分 3 3 3 3 → → 因为 MB =-2 MA ,所以(- ,2)=-2(x0- ,y0). 3 3 所以 x0= 3 3 ,y0=-1.即 A( ,-1). 2 2
2 2

??????????????4 分

?a?0 +b?2 =1, ? 1 3 2 因为 A,B 都在曲线 E 上,所以? 解得 a=1,b= . 2 4 ?a?( 2 ) +b?(-1) =1. ?
所以曲线 E 的方程为 x + =1. 4
2 2 2

y2

??????????????6 分

(2) (法一)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x +y =1.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
?2x1+x2= 3, 3 3 → → 因为 MB =-2 MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.

设线段 AB 的中点为 T,则点 T 的坐标为(

x1+x2 y1+y2
2 , 2

),即(

3-x1 y1 ,- ). 2 2

?? 3-x1 y1 ?? 所以 OT =( ,- ), AB =(x2-x1,y2-y1)=( 3-3x1,-3y1). 2 2 ?? ?? 2 2 因为 OT⊥AB,所以 OT ? AB =0,即 3-4 3x1+3x1+3y1=0. 因为 x1+y1=1,所以 x1= 当点 A 的坐标为(
2 2

3 1 ,y1=? . 2 2

3 1 ,- )时,对应的点 B 的坐标为(0,1),此时直线 AB 的斜率 2 2 3 1 , )时, 对应的点 B 的坐标为(0, -1), 此时直线 AB 的斜率 k= 3, 2 2

k=- 3,所求直线 AB 的方程为 y=- 3x+1;
当点 A 的坐标为(

所求直线 AB 的方程为 y= 3x-1. ??????????????16 分 2 2 (法二)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x +y =1.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
?2x1+x2= 3, 3 3 → → 因为 MB =-2 MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.

?x +y =1,??① 因为点 A,B 在圆上,所以? ?x +y =1,??②
2 1 2 1 2 2 2 2

由①?4-②,得(2x1+x2)(2x1-x2)=3.所以 2x1-x2= 3,解得 x1= 3 1 ,得 y1=? . (以下同方法一) 2 2 (法三)如图,设 AB 中点为 T. 由 x1=

3 ,x2=0. 2

75

1 3 则 TM=TA-MA= AB,OM= . 6 3 根据 Rt△OTA 和 Rt△OTM,得? 1 ?36AB +OT =1, 3 即? 解得 AB= 1 AB +OT =1. ?4
2 2 2 2

?TM2+OT2=1, ? ?TA2+OT2=1. ?
1 OT 3,OT= .所以在 Rt△OTM 中,tan?OMT= = 3. 2 TM 3

所以 kAB=- 3或 3.所以直线 AB 的方程为 y=- 3x+1 或 y= 3x-1. 20.解: (1) ∴

{an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22 ,又 a3 ? a4 ? 117 ,

a3 , a4 是方程 x 2 ? 22 x ? 117 ? 0 的两个根

a ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13 又公差 d ? 0 ,∴ 3

? a1 ? 2d ? 9 ? a ? 3d ? 13 ∴ ? 1

?a1 ? 1 ? d ?4 ∴?



an ? 4n ? 3 ,

(2)由(1)知,

Sn ? n ?1 ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n 2 ,



bn ?
b1 ?

Sn 2n 2 ? n ? n?c n?c
1 6 15 b2 ? b3 ? 1? c , 2?c , 3?c ,
是等差数列,∴

∴ ∵

{bn }

2b2 ? b1 ? b3
bn ?

,∴ 2c ? c ? 0 ,
2

c??


1 2 ( c ? 0 舍去) ,

2n 2 ? n ? 2n 1 n? 2

(3)由(2)得,

2Tn ? 3bn ?1 ? 2(n 2 ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 ? 4 ? 4

, n ? 1 时取等号 .

64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ?4 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n , n ? 3 时取等号 15 分
2Tn ? 3bn ?1 ?
(1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以

64bn (n ? 9)bn ?1 .

76

综合试卷三参考答案
1. ? ?1, 2? 2. -1 11. (??,1) 12. 4 3.7 4. (0,2) 5. (?4, ?8) 6. 13. 2 2

3 15 27 1 ? 7. ? 8。 ln 2 ? 1 9. [ , ) 10. 2 2 2 7 6

14. (??,?3] ? [3,??)

15. 解:由 A ? B ? B得B ? A , 而

A ? ??4, 0?

, ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 8a ? 8
2 2

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ? ,符合 B ? A ; 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时,

B ? ?0?

,符合 B ? A ;

? ??4, 0? 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? A ;


B ? ??4, 0?

得 a ?1

∴ a ? 1或a ? ?1 。 16. (I)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD.
又DC ? 面PCD ? 平面PAD ? 平面PCD.

(II)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1,即( ? ) : ? 2 : 1, 解得h ? 2 3 3 2
则 VM ? ABC ? 即 M 为 PB 的中点. (III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,0,0) B(0,2,0) , , C(1,1,0) D(1,0,0) , ,

P(0,0,1) M(0,1, ,

1 ) 2
77

由(I)知平面 PAD ? 平面PCD, 作AQ ? PD ,则

AQ ? 平面PDC , 则 AQ为平面PCD 的法向量。
又? ?PAD 为等腰 Rt?

1 1 ? Q为PD的中点,即Q( ,0, ) 2 2 1 1 1 1 因为 AQ ? AM ? ( ,0, )(0,1, ) ? ? 0, 所以AQ不垂直 AM 2 2 2 4
所以 AM 与平面 PCD 不平行. 17.解: (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立 又∵取 x=2 时, f (2) ? 4a ? 2b ? c ? (2)∵ ?

1 (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8
1 , 2

∴ f (2) ? 2 .

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0
2

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴ b ?

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立. ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1) ? 4a(1 ? 4a) ? 0 ,
2

1 2

解出: a ?

1 1 1 ,b ? ,c ? , 8 2 2

∴ f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? . 8 2 2 m 1 x ? 上方即 2 4

(3)由分析条件知道,只要 f (x) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ? 可,也就是直线的斜率

m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: 2
2 ). 2

1 2 1 1 ? ?y ? 8 x ? 2 x ? 2 ? ? ?y ? m x ? 1 ? 2 4 ?
解法 2: g ( x) ?
2

∴ m ? ( ??,1 ?

1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,??) 必须恒成立, 8 2 2 2 4

即 x ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立. ①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2 ? m ? 1? ; 2 2

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?
18

解出: m ? 1 ?

2 . 2

总之

78

,解: (Ⅰ) 1 ? 即 ∴

tan A 2c sin A cos B 2sin C , ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 1 ,∴ cos A ? . ? sin B cos A sin B 2 π . 3 C ? 1) ? (cos B,cos C ) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . 3 2 6

∵ 0 ? A ? π ,∴ A ?

(Ⅱ)m ? n ? (cos B, 2cos2

?|m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? . 6 6 6 π π 1 2 ∴当 sin(2 B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 . 6 3 2

所以,|m ? n| min ?
2

2 . 2
2 2

19. 解:⑴? b ? ac, a ? c ? 2ac,

? cos B ?

当且仅当 a ? c 时取等号,? 0 ? B ?

?
3

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? , 2ac 2ac 2



由于 f ( B) ? sin B ? 3 cos B ? 2sin( B ? 又B?

?
3

),

? ? 2? ? ? ? , ? ,? 3 ? f ( B) ? 2 , 3 ?3 3 ? 即 f ( B) 的值域为 ? 3, 2 ? . ? ? ⑵? a ? c ? 2b,?sin A ? sin C ? 2sin B, 又 ? 2? B ? B ? A ? C ? , A ? C ? ? ? B,? A ? ? ,C ? ? , 3 3 2 3 2 2? B ? B ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? 2sin B, 3 2 3 2 B B B 展开化简,得 3 cos ? 2 ? 2sin cos , 2 2 2
? cos B B 3 ? 0,? sin ? , 2 2 4

?

? cos B ? 1 ? 2sin 2
20.

B 3 5 ? 1? ? . 2 8 8
3 2 2

20、 (Ⅰ)解: f ?( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4) .

79

10 2 时, f ?( x) ? x(4 x ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2
当a ? ? 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(?∞, 0)
?


0
0
极小值

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? 2 ? ,? ?2 ?
?


2
0
极小值

(2, ∞) ?

?


0
极大值

?


所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2, ∞) 内是增函数,在 (?∞, , ? ,? 内是减函数. 2 ? 0) (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根.
2

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

2

为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9a ? 64 ≤ 0 .
2 2

解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3

8 3

8 3

? 8 8? ? ?

2 (Ⅲ)解:由条件 a ? ? ?2,? 可知 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
2 2

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

, 因此函数 f ( x) 在 ? ?11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 2 , 为使对任意的 a ? ? ?2,? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11? 上恒成立,当且仅当

? f (1) ≤ 1, ? ? f (?1) ≤ 1,

即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

2 ? 在 a ? ? ?2,? 上恒成立.所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 ? ?∞, 4? .

80

综合试卷四参考答案
1、 2 ④ 2.?

2 5 5

3. 6 ;

4.

25 2

5. 36 81,

6. ①

7、 -

3 <k≤0。 8 3

3 2

9 ②⑤

1 ? ?1 ? a,a ≤ 2 ? 10、 (a) ? M = , ?a,a ? 1 ? ? 2

M (a) = min

1 . 11、 2

? 5? ( , ) 、12【解析】 f ( x) 在 R 上是偶函数,故 f ( x) 的图象关于 y 轴对称,作出 f ( x) 的图 3 6
象,截取值域是 ? 0,1? 的一段,发现 a,b 的取值只可能在-2,-1,0,1,2 中取得,但 必须取 0,-2﹑2 必须至少取一个,故有 5 个.14、1 13、 【解析】 BP ? PC ,即 ( BA ? AP) ? ( PA ? AC ) , AC ? BA ? 2 AP ? BC ? 5 ,
2 2 2 2 2 2

AC ? 5 ,
15.解: (I)∵a ? (cos x, 2cos x) , b ? (2 cos x,sin ?? ? x ?) , ∴

f ( x) ? a

?b+1 ? 2cos x ? 2cos x sin(? ? x ) ? 1 2

? 1 ? cos 2x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2

? 2 sin(2 x ? ) ? 2 . 4
∴函数

?

f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? .
2

-

? (II) ? x ? ?0, ? , ? 2? ? ?
∴ 2x ?

? ? ? 5? ? . ? , 4 ?4 4 ? ? ?



当2 x ?
当2 x ?

?
4

?
?

?
2

,即x ?

?
8

时 , f ( x)有最大值 2 ? 2 ;

-

?
4

5? ? , 即x ? 时 , f ( x)有最小值1 . 4 2

16. (本小题满分 14 分)

81

解法一: 证明:连结 OC,

? ?ABD为等边三角形,O为BD的中点,


AO ? BD .
AC ? 6 ,

-? ?ABD和?CBD 为等边三角形,O为BD的中点, AB ? 2 ,

∴ AO ? CO ? 3 . 在 ?AOC 中,? AO ? CO ? AC ,
2 2 2

∴ ?AOC ? 90 , 即 AO ? OC.
o

? BD ? OC ? O,
∴ AO ? 平面 BCD . (II) O 作 OE ? BC于E , 过 连结 AE,
A

? AO ? 平面BCD ,
∴AE 在平面 BCD 上的射影为 OE.
O D

∴ AE ? BC .

B

E

C

∴ ?AEO为二面角 A ? BC ? D 的平面角 . 在 Rt?AEO 中, AO ? ∴ ?AEO ? arctan 2 . ∴二面角 A-BC-D 的大小为 arctan 2 . (III)解:设点 O 到平面 ACD 的距离为 h.

3 , OE ?

3 AO , tan ?AEO ? ? 2, 2 OE

?VO ? ACD ? V A?OCD ,
∴ S?ACD ? h ?

1 3

1 S?OCD ? AO . 3
6 ,

在 ?ACD 中, AD ? CD ? 2, AC ?
2

S ?ACD

? 6? 1 15 ? ? 6 ? 22 ? ? ? 2 ? ? 2 . 2 ? ?

82

而 AO ?

3, S ?OCD ?

3 , 2

∴h ?

S ?OCD 15 . ? AO ? S ?ACD 5

∴点 O 到平面 ACD 的距离为

15 . 5

解法二: (I)同解法一. (II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则

O (0,0,0), A(0,0, 3 ), B (0,1,0), C ( 3 ,0,0), D (0,?1,0)

? AO ? 平面BCD ,
∴ 平面BCD的法向量 AO ? (0, 0, 3) . 设平面 ABC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

????

AB ? (0,1,? 3 ) , BC ? ( 3,?1,0) ,
由?

?n ? AB ? 0 ?

? y ? 3z ? 0 ? ?? ? n ? (1, 3,1) .设 n 与 AO 夹角为 ? , ?n ? BC ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ?
n ? AO
z A

5 则 cos? ? . ? 5 n ? AO
O

D

5 ∴二面角 A-BC-D 的大小为 arccos . 5

B y

C x

, (III)解:设平面 ACD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,又 DA ? (0,1 3)

??? ?

, DC ? ( 3 ,1,0)

?m ? DA ? 0 ? y ? 3z ? 0 ? ? ?? ? m ? (1,? 3,1) . ? ?m ? DC ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ?
设 OA 与 m 夹角为 ? ,

则 cos? ?

m ? OA m ? OA

?

5 5

设 O 到平面 ACD 的距离为 h,

83



h 5 15 , ? ?h? OA 5 5

∴O 到平面 ACD 的距离为 17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 2bx ? 2 .
' 2

15 . 5

∵ x ? 2 是 f (x) 的一个极值点,
∴ x ? 2 是 方 程 x 2 ? 2 b x ? 2 ? 0的 一 个 根 , 解 得 b ?

3 . 2

令 f ( x) ? 0 , 则
'

x 2 ? 3x ? 2 ? 0,解得 x ? 1或 x ? 2 .
(2, +?) .
'

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 (??, 1) ,
'

(Ⅱ)∵当 x ? (1, 2) 时 f ( x) ? 0 , x ? (2,3) 时 f ( x) ? 0 , ∴ f (2) 是 f ( x)

∴ f ( x) 在 (1, 上单调递减, f ( x) 在 2) (2, 上单调递增. 3) 在区间[1,3]上的最小值,且 f (2) ?

2 ?a . 3 2 2 若当 x ?[1, 3] 时,要使 f ( x) ? a 2 ? 恒成立,只需 f (2) ? a 2 ? , 3 3 2 2 即 ? a ? a 2 ? ,解得 0 ? a ? 1. 3 3
18、解: (I)设运动员得 4 分的事件为 A,

2 1 2 1 4 ? ? ? ? 则 P(A)= 3 3 3 3 81 .
(Ⅱ)设运动员得 i 分的事件为

Ai



ξ 的可能取值为 0, 1, 2, 3,4 . P(ξ =0)= P(ξ =4)= P? A0 ? ? P? A4 ? ?
3 3 1 2

4 , 81

20 ? 2 ?? 1 ? 1 ? 1 ?? 2 ? P(ξ = 1) = P(ξ =3) = P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? C ? ?? ? ? C2 ? ?? ? ? ,--10 分 81 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ? 33 ?1? ? 2? ? 2? ?1? P(ξ = 2) = P? A2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? , 81 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
4 4 2 2

ξ

0

1

2

3

4
84

ξ 的分布

P

4 81

20 81

33 81

20 81

4 81

列为:

数学期望 Eξ =0?

4 20 20 4 33 + 1? + 2? + 3? + 4? =2. 81 81 81 81 81
1 1 ? k1 , g (1) ? k 2 ? 8 2

18(文) (1) f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k 2 x , f (1) ?

1 1 , x (x?0) f ( x) ? x ( x ? 0 ) g ( x ) ? 8 2
(2)设:投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20 ? x 万元 x 1 y ? f ( x) ? g (20 ? x) ? ? 20 ? x (0 ? x ? 20) 8 2 1 20 ? t 2 1 令 t ? 20 ? x ,则 y ? ? t = ? (t 2 ? 4t ? 20) 8 2 8 1 2 = ? (t ? 2) ? 3 8 所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, y max ? 3 万元 19.注意题(3)中 ?ABC 应改为: ?APQ

解: (Ⅰ)设椭圆方程为 由已知 a ? 2, e ?

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) , a2 b2

c 1 ? , a 2

∴ c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,

∴ 椭圆方程为 (Ⅱ)解法一

x2 y2 ? ? 1. 4 3

椭圆右焦点 F ?1,0? .

设 直 线 P Q 方 程 为 x ? my? 1 ( m ∈ R ) .

? x ? my ? 1, ? 由 ? x2 y 2 ? 1, ? ? 3 ?4



?3m

2

? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 .①

?

显然,方程①的 ? ? 0 .

设 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ? ,则有 y1 ? y2 ? ?

6m 9 . , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

----7 分

85

PQ ?

?m

2

? 1 ? y1 ? y2 ? ?
2

?

?m

2

? 36 m 2 36 ? ? ?1 ? ? 2 2 ? 3m 2 ? 4 3m ? 4 ? ? ?

?

?

?

? 12
∵ PQ ?

?m ?3m

2 2

?1

? ? 4?
2

2

? 12 ?

m2 ? 1 . 3m 2 ? 4

24 , 7

m 2 ? 1 24 ∴ 12 ? . ? 3m 2 ? 4 7
解得 m ? ?1 . ∴直线 PQ 方程为 x ? ? y ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 解法二: 椭圆右焦点 F ?1,0? . 当直线的斜率不存在时, PQ ? 3 ,不合题意. 设 直 线 P Q 方 程 为 y ? k ( x ? 1) ,

由?

? y ? k ?x ? 1?,
2 2 ?3x ? 4 y ? 12,



?3 ? 4k ?x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .



显然,方程①的 ? ? 0 . , 则



P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ?
8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
PQ ?
2

x1 ? x2 ?

?1 ? k ???x ? x ?
1 2

2

? 4 x1 ? x2

?

?? 8k 2 ? 2 4k 2 ? 12 ? ? ? 4? ?? ? ? ?1 ? k ? ? 2 ? 3 ? 4k 2 ? ?? 3 ? 4k ? ? ?
2

= 12 ∵ PQ ?

?k ? 1? ?4k ? 3?
2 2 2

2

? 12

k 2 ?1 . 4k 2 ? 3

24 , 7

∴ 12

k 2 ? 1 24 ? ,解得 k ? ?1 . 4k 2 ? 3 7

∴直线 PQ 的方程为 y ? ??x ? 1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . --------9 分 (Ⅲ) ?APQ 不 可能 是等 边三 角形. 如果 ?APQ 是 等边三 角形 ,必有

86

AP ? AQ ,
2 2 ∴ ?x1 ? 2? ? y1 ? ?x2 ? 2? ? y2 , 2 2

∴ ?x1 ? x2 ? 4??x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , ∴ ?m? y1 ? y2 ? ? 6?m? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , ∵ y1 ? y2 , ∴ m ? 1 ? y1 ? y2 ? ? 6m ? 0 ,
2

?
?

?

∴ m2 ? 1

? ? 3m6m4 ? 6m ? 0 , ?
2

∴ m ? 0 ,或

m2 ? 1 . ? 1 (无解) 3m 2 ? 4
3 5 ,不能构成等边三角形. 2

而当 m ? 0 时, PQ ? 3, AP ? AQ ? ∴ ?APQ 不可能是等边三角形. 20. 解: (Ⅰ)由题意 S n ? 2 n ,

Sn ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) ,
两式相减得 an ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) . 当 n ? 1时,

21?1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,
∴ an ? ?

? 2 ( n ? 1) ? . n ?1 ( n ? 2) ?2 ?

-

(Ⅱ)∵ bn ?1 ? bn ? (2n ? 1) , ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3 , b4 ? b3 ? 5 ,
………

87

bn ? bn ?1 ? 2n ? 3 .
以上各式相加得

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ?
∵ b1 ? ?1 ,

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2

∴ bn ? n 2 ? 2n .

∴ cn ? ?

?? 2, n ? 1
n ?1 ?(n ? 2) ? 2 , n ? 2





Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n ?1 ,
∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n . ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? (n ? 2) ? 2 n .

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2
n n n

= 2 ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 . ∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n . (3) Tn ? Tn? 2 ? Tn2 1 = [2 ? (n ? 3) ? 2 ] ? [2 ? (n ? 1) ? 2 ?
n n?2

] ? [2 ? (n ? 2) ? 2 n?1 ]2

=4+ 2 ? (n ? 1) ? 2

n? 2

? 2 ? (n ? 3) ? 2 n ? (n ? 3) ? (n ? 1) ? 2 2 n?2

? [4 ? 4 ? (n ? 2) ? 2 n?1 ? (n ? 2) 2 ? 2 2 n? 2 ]
=2
n?3

? (n ? 3) ? 2 n?1 ? 22n?2
∵ 2 n?1 ? 0 , ∴ 需证明

? 2n?1 ? [( n ? 1) ? 2 n?1 ] .
n ? 1 ? 2 n?1 ,用数学归纳法证明如下:
①当 n ? 1时, 1 ? 1 ? 2
1?1

成立.

②假设 n ? k 时,命题成立即 k ? 1 ? 2 k ?1 , 那么,当 n ? k ? 1 时, (k ? 1) ? 1 ? 2
k ?1

? 1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ?1 ? 2( k ?1)?1 成立.

由①、②可得,对于 n ? N * 都有 n ? 1 ? 2 n?1 成立. ∴2
n ?1

? [( n ? 1) ? 2 n?1 ] ? 0 .
88

∴ Tn ? Tn? 2 ? Tn2 1 . ?

综合试卷五参考答案
一、填空题: 1.0 2. 2 3.40 4.

2 5

5.1

6.

3 2

7. 2 ? 1

8.

?2 8

9.

2 2

10.2011

11. [7,8) 二、解答题:

12. 15

13. (3, ? )

9 8

14. (2 6, 2 7]

15.注意题(2)中 f ( ) 应改为: f (

?

2

A ) 2

⑴ f ( x) ? sin(

1 3 π π sin 2 x ????2 分 ? x)sin( ? x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 2 2 4 4

π ? sin(2 x ? ) , ???????????????????????4 分 6 π 6 A A ⑵由 f ( ) ? 1 , f ( ) ?i ( 有 sn 2 2
sin B ? sin C ? sin B ? sin(
因为 0 ? B ? 所以 f ( ) =1 .??????????????????????????????6 分

π π π π 为 所 即 A ? 1 ? ,因 0 ? A ? π , 以A ? ? , A ? . 8分 ) 6 6 2 3
3 3 π 2π cos B ? 3 sin( B ? ) . ? B) = sin B ? 2 2 3 3
E F D
O
??12 分

2π π π π ,所以 ? B ? ? π , 0 ? sin( B ? ) ≤1 , 3 3 3 3 所以 sin B ? sin C 的最大值为 3 .?????14 分
16.⑴设 AC ? BD ? O ,连结 FO . 因为 ABCD 是正方形,所以 O 是 BD 的中点, 因为 BD ? 2EF ,所以 DO ∥EF , 所以四边形 DOFE 是平行四边形, 所以 DE ? OF .??????????????5 分

C

A
第 16 题图

B

因为 DE ? 平面 ACF , OF ? 平面 AFC ,所以 DE ? 平面 ACF .???????7 分 ⑵因为 ABCD 是正方形,所以 BD ? AC ,因为平面 ABCD ? 平面 BDEF , 平面 ABCD ? 平面 BDEF ? BD ,所以 AC ? 平面 BDEF , 因为 BE ? 平面 BDEF ,所以 BE ? AC . ?????????????????10 分 1 因为 BF ? BD ,所以 BF ? BO ,所以四边形 BOEF 是正方形,所以 BE ? OF . 12 分 2 因为 OF ? AC ? O , OF , AC ? 平面 ACF ,所以 BE ? 平面 ACF . ???14 分

89

17.注意题(2)中 ?ABC 应改为: ?AOB

⑴因为 △AOC 的面积与 △BOC 的面积之和等于 △AOB 的面积, 所以 x( 2 ? 6)sin 45? ? y( 2 ? 6)sin 30? ? xy sin 75? ,???????????4 分 即
2 1 6? 2 2 2x x( 2 ? 6) ? y( 2 ? 6) ? xy ,所以 y ? ( x ? 2) . 2 2 4 x?2 1 2 6? 2 3 ? 1 x2 xy = ? 8 2 x?2

1 2

1 2

1 2

????6 分

⑵ △AOB 的面积 S ? xy sin 75? ? =

?????????8 分 ?????12 分

3 ?1 4 3 ?1 (x ? 2 ? ? 4) ≥ ? ? 4( 3 ? 1) . 8 2 x?2 2

当且仅当 x ? 4 时取等号,此时 y ? 4 2 . 故 OA ? 4km , OB ? 4 2km 时,△ OAB 面积的最小值为 4( 3 ? 1)km2 . ????14 分 18.⑴易求 A(2 , , B(?2 , . 1) 1) ?????????????????????2 分

设 P( x0 , 0 ) ,则 y
所以

??? ? ??? ? ??? ? ? x0 ? 2(m ? n) x0 2 , ? y0 2 ? 1 .由 OP ? mOA ? nOB ,得 ? 4 ? y0 ? m ? n

4(m ? n)2 1 1 n ? (m ? n)2 ? 1 ,即 m2 ? n2 ? .故点 Q(m , ) 在定圆 x2 ? y 2 ? 上. 4 2 2 y1 y2 1 ⑵设 M ( x1 ,1 ) , N ( x2 , 2 ) ,则 ?? . y y x1 x2 4

?8 分

平方得 x12 x22 ? 16 y12 y22 ? (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ,即 x12 ? x2 2 ? 4 .

?????????10 分

因为直线 MN 的方程为 ( x2 ? x1 ) x ? ( y2 ? y1 ) y ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 , 所以 O 到直线 MN 的距离为 d ?
1 2
| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 ) 2

,

?????????12 分

所以 △OMN 的面积 S ? MN ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 |? = 故 △OMN 的面积为定值 1 .

1 2

1 x12 y22 ? x22 y12 ? 2 x1 x2 y1 y2 2

x2 x2 1 1 1 x12 (1 ? 2 ) ? x2 2 (1 ? 1 ) ? x12 x2 2 = x12 ? x22 ? 1 . 2 4 4 2 2

???????????????16 分

19.注意题(3)证明结论应改为: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )

x gx 2 ⑴因为 g ?(x) ?2 x ,所以xg ?( ) ? ( ) ? x

2

?x (

2

? ? 21 ? 1 x ? 0 )
2

在(0, ??) 上恒成立,

即 xg ?( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上恒成立,所以 g ( x) ? x ? 1 是 A 型函数.??????2 分 ⑵ h?( x) ? a ?

1 1? a 1? a 1? a , ? 2 ( x ? 0) ,由 xh ?(x ) ?h (x ) ,得 ax ? 1 ? ? ax ? 3 ? ln x ? x x x x
90

因为 x ? 0 ,所以可化为 2(a ? 1) ? 2 x ? x ln x , 令 p( x) ? 2 x ? x ln x , p?( x) ? 3 ? ln x ,令 p?( x) ? 0 ,得 x ? e ,
?3

当 x ? (0, e ) 时, p?( x) ? 0 , p ( x) 是减函数;
?3

当 x ? (e , ??) 时, p?( x) ? 0 , p ( x) 是增函数,
?3

所以 p ( x) min ? p (e ) ? ?e ,所以 2(a ? 1) ? ?e , a ? 1 ? ①当 a ? 0 时,由 h?( x) ?

?3

?3

?3

1? x ? 0 ,得 x ? 1,所以增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ; x2 1? a a( x ? )( x ? 1) a ②当 a ? 0 时,由 h?( x) ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , x2
所以增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ; ③当0 ? a ? ④当 a ?

1 ?3 e .??????4 分 2

1 1? a 1? a 1? a 时,得x ? 1,或 x ? ,所以增区间为(0,1 ,( ) , ??) ,减区间为( ,1 ; ) 2 a a a

1 时, h?( x) ≥ 0 ,所以,函数增区间为 (0, ??) ; 2 1? a a( x ? )( x ? 1) 1 1 ?3 1? a a ⑤ ? a ? 1 ? e 时,由 h?( x) ? ,或 x ? 1 , ? 0 ,得 x ? 2 2 2 a x 1? a 1? a 所以增区间为 (1, ??) , (0, ) ,减区间为 ( ,1) . ??????????10 分 a a
⑶证明:函数 f ( x) 是 (0, ??) 上的每一点处都有导数,且 xf ?( x) ? f ( x) 在 (0, ??) 上恒成 立,设 F ( x) ?

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) , F ?( x) ? ? 0 在 (0, ??) 时恒成立, x x2 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ???????????????12 分 x

所以函数 F ( x) ?

因为 x1 ? 0, x2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? x1 ? 0, x1 ? x2 ? x2 ? 0 ,

所以F (x 1 ?x 2 ) ?F ( 1)F (x x ,

1

x 2 F( ) ? ) ?x 2

,即

f (x 1 ?x 2 ) f ( 1) f ( 1 x ?2) f x 2 x x ( ) ? , ? x1 ? x2 x1 x1 ?2 x x2

,14 分

所以 f ( x1 ) ?

x1 f ( x1 ? x2 ) x f ( x1 ? x2 ) ,两式相加,得 f (x 1) ?f (x 2 ?f (x ) , f ( x2 ) ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2

1

? 2 x )

,16 分

91

20.注意题(3)中

1 的指数应改为: a n ? 8 2

⑴当 k ? 3 , a1a2 a3 ? 6 则 a1 ? a2 ? a3 ? 6 . 设 cn ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ,由 an ?3 ? 3 ? an ,得 cn ?1 ? cn ? 9 ,所以数列 {cn } 是公差为 9 的等差 数列,故 S36 ? c1 ? c2 ? ? ? c12 ? 12 ? 6 ?
12 ? 11 ? 9 ? 666 .????????????4 分 2

⑵若 k ? 2 时, a1 ? a2 ? a1 ? a2 ,又 a1 ? a2 , 所以 a1 ? a2 ? 2a2 ,所以 a1 ? 1 ,此时 1 ? a2 ? a2 ,矛盾. ????????????6 分 若 k ? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 3a3 , a1 ? a2 ? 3 , 所以 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3 ,满足题意. ????????????????????8 分 若 k ≥ 4 时,a1 ? a2 ? ? ? ak ? a1 ? a2 ??? ak , 所以 a1 ? a2 ?? ? ak ? kak , a1 ?a2 ? ?a k1?? k , 即 ? 又因为 a1 ? a2 ?? ? ak ?1 ? 1? 2 ??? (k ? 1) ≥ 2k ? 2 ? k ,所以 k ≥ 4 不满足题意.??10 分 所以, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,且 an ?3 ? 3 ? an , 所以 a3n?2 ? a1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 , a3n?1 ? a2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1 , a3n ? a3 ? 3(n ? 1) ? 3n , 故 an ? n . ??????????????????????????????12 分

⑶又 bn ? bn ?1 ? ?21? ( ) 所以

1 2

an ?8

所以 bn ?1 ? bn ? 2 ? ?21? ( )

1 2

an?1 ?8

bn ? 2 1 1 ? ,所以 ?b2 n ? , ?b2 n ?1? 都是以 为公比的等比数列, bn 2 2

? ? 6 1 n2 1 3 ? 2 ? ( ) , n ≥ 1, n为奇数, ? ? 2 所以 bn ? ? n ??14 ? ( 1 ) 2 ?1 , n ≥ 2, n为偶数 . ? ? 2

????????????????14 分

n?8 ? 1 , ( ) n?8 ? 令 bn ? bn ?1 ? 1 ,即 ?21 ? ( )

1 2

1 2

1 ,所以 n≥13 21

? b n 为奇数时有, b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 1, ,11 ? b12 ? 1, b13 ? b14 ? 1, b15 ? b16 ? 1 ,
从而 T2 ? T4 ? ? ? T12 , T12 ? T14 ? ? ,

n 为偶数时,有 b2 ? b3 ? 1, b4 ? b5 ? 1,? , b12 ? b13 ? 1, b14 ? b15 ? 1, b16 ? b17 ? 1,
92

从而 T1 ? T3 ? ? ? T13 , T13 ? T15 ? ? , 注意到 T12 ? 0, T13 ? 0 ,且 T13 ? b13 ? T12 ? 3T12 ? T12 , 所以数列 ?bn ? 的前 n 项积 Tn 最大时 n 的值为 13 . ???????????

综合试卷六参考答案
2 1 ;4. ;5. 2;6. 2 ;7. 7500;8. k ? 0 或 k ? 4 ; 7 ? 5 2 3 9. 4;10. 360;11. 9;12. y ? 32012 x ? 2 ;13. (1, ) ;14. . 3 4
1. 1 ? i ;2. {3,5} ;3. 15. 解: (1) f ( x ) ?

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 ,????3 分 2 2 2 6 则 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T ? 2? ? ? ; ???7 分 2
(2) f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 ,

6

6

Q0? C ??

?0 ? 2 ? 2 C ?

?? ? ? 2C ? ? ? 11? , 6 6 6
????10 分 ????11 分
2 2

? 2C ? ? ? ? ,? C ? ? , 6 2 3
Q sin B ? 2 sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2

由余弦定理,得 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ,即 a ? b ? ab ? 3 , ②

3

由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 16.(1)证明:在 ?ABC中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60
0

????14 分

2 2 2 ∴ AB ? 2 3 ,∴ AB ? BC ? AC ,∴ AB ? BC

H

由已知 AB ? BB1 , ∴ AB ? 面BB1C1C

故 又∵ AB ? 面ABE, ABE ? 面BB1C1C

…………5 分

G

B

, (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM 在 ?ABC中 FM // AB ,
而 FM ? 平面ABE ,∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点, ∴ C1 M // AE 而 C1M ? 平面ABE ,∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M ∴ 面ABE // 面FMC1 故 C1F // 面AEB ……………10 分
93

(3)取 B1C1 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH ?

1 AB ? 3 , 2

由(1) AB ? 面BB1C1C ,∴ EH ? 面BB1C1C , ∵P 是 BE 的中点,
1 1 1 ∴ VP ? B1C1F ? VE ? B1C1F ? ? S?B1C1F ? EH ? 3 …………………………………14 分 2 2 3

17. 解: (1)当 x ? 0 时,t=0; ∴t ?

当 0 ? x ? 24 时, x ?

1 , ? 2 (当 x ? 1 时取等号) x
……………………4 分

x 1 ? 1? ? 1? ? ? ? 0, ? ,即 t 的取值范围是 ?0, ? . x ?1 x ? 1 ? 2 ? ? 2? x
2

(2)当 a ? ?0, ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 2 3

? 1? ? ?

2

2 ? ? ?t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ?
∵ g ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, 2

……………………6 分

? ?

1? ?

且 g ? 0 ? ? 3a ?

2 ?1? 7 1? ?1? ? , g ? ? ? a ? , g ?0? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? ? ? ?? 故 M ?a? ? ? . 1 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? g ? 0? , ? a ? ? 3 4 2 ? ? 4 2 ?
当a ?

……………………12 分

4 4 4 1 时, M ? a ? ? 2 . 故 0 ? a ? 时不超标,当 ? a ? 时超标.…14 分 9 9 9 2

?c 2 ? ? ? ?a 2 , ? ? a ? 2 , ? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 18. 解: (1)由题设: ? ? 2 ? c ?1 ? ? a ?2 ? c ?

? 椭圆 C 的方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

??????? 4 分

t t2 (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,圆 D 方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ? 1 ? ,? 6 分 2 4 直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 , ?????? 8 分

94

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

t2 )?( 4

2?

t2 ?2 2
2

4?t

)2 ? 6 ,

??????? 10 分

?t 2 ? 4 ,?t ? ?2 ? 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ? 12 分

? t 2 t2 2 ?( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? ②设 P( x0 , y0 ) , 由①知: ? 2 4 , ?2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0
? x 2 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? 即: ? 0 , ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 ?

??????? 14 分

消去 t 得: x0 2 ? y0 2 =2 ? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上.????? 16 分
2 19.解: (1)在 an ? S2 n ?1 中,令 n ? 1, n ? 2 ,

得?

?a1 2 ? S1 , ? ?a 2 2 ? S 3 , ?

即?

?a1 2 ? a1 , ? ?(a1 ? d ) 2 ? 3a1 ? 3d , ?

?????????2 分

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1
2 又? an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1 ??????3 分

? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
??????5 分

1 1 1 1 1 1 n . ?Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
n

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ?????????6 分 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ????????????????7 分 ?此时 ? 需满足 ? ? 25 .

??

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,即需不等式
n

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ??????????8 分 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ?n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ????????????????9 分 ?此时 ? 需满足 ? ? ?21. 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21. ??????????10 分

??

95

(3) T1 ?

1 m n , , Tm ? , Tn ? 3 2m ? 1 2n ? 1
m2 n m 2 1 n . ?12 分 ? ) ? ( ) ,即 2 4m ? 4 m ?1 6 n ?3 2m ? 1 3 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 由

m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ,可得 ? ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , n m2 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3

?1 ?

6 6 .又 m?N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . ? m ? 1? 2 2

T 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, 数列 ? n ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列……16 分
20. 解: (1) m ? 1 ?
n n n n 时, T ( x) ? e x ( x ? 1 ? )(n ? R) ,? T ?( x) ? e x ( x ? 1) ………1 分 2 2 2 2 ①当 n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? 0 , T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x)max ? T (1) ? e ;………2 分

②当 n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? ( x ? ) , T ( x) 在 (? , ??) 上为增函数, 故 T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,此时 T ( x)max ? T (1) ? e ; 分 ③当 n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? ( x ? ) , T ( x) 在 (??, ? ) 上为增函数,在 (? , ??) 上为减函数, 若 0 ? ? ? 1 ,即 n ? ?2 时,故 T ( x) 在 [0, ? ] 上为增函数,在 [? ,1] 上为减函数, 此时 T ( x)max ? T (? ) ? e n (?1 ? m) ? ? ? e n , 若 ? ? 1 ,即 ?2 ? n ? 0 时, T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x)max ? T (1) ? e ;
2 ? 2 ?n ?? e , n ? ?2 ?? n ?e , n ? ?2 ?

n 2

2 n

2 n

………3
2 n

n 2

2 n

2 n

2 n

2 n

2 n

2 n

?

2

2 n

?

2

2 n

综上所述: [T ( x)]max

………………6 分

(2) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ex ? 2x ? m , F ?( x) ? e x ? 2 , 故 F ( x) 在 (0,ln 2) 上单调递减;在 (ln 2, ??) 上单调递增; 故 F ( x) ? ex ? 2x ? m 在 [0,2] 上恰有两个相异实根
? F (0) ? 1 ? m ? 0 ? ? ? F (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? m ? 0 ? 2 ? 2ln2 ? m ? 1 ? 2 ? F (2) ? e ? 4 ? m ? 0

………………8 分

………………11


n 15 (3)由题设: ?x ? R, p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? x ? ? 0 ( ? ) , 2 2

………………12

分 因为 p?( x) ? e x ? 故 p( x) 在 (0,ln ) 上单调递减;在 (ln , ??) 上单调递增; 故( ? ) ? p( x)min ? p(ln ) ? ? ln ?
n 2 n 2 n 2 n 15 1 n ? (n ? n ln ? 15) ? 0 , 2 2 2 2 n 2 n 2 n 2

………………13 分

96

设 h( x) ? x ? x ln ? 15 ? x ? x(ln x ? ln 2) ? 15 ,则 h?( x) ? 1 ? ln ? 1 ? ? ln , 故 h( x) 在 (0,2) 上单调递增;在 (2, ??) 上单调递减;而 h(2e2 ) ? 2e2 ? 2e2 ln e2 ? 15 ? 15 ? 2e2 ? 0 ,且
h(15) ? 15 ? 15ln 15 15 15 ? 15 ? 15(2 ? ln ) ? 15(ln e2 ? ln ) ? 0 , 2 2 2

x 2

x 2

x 2

故存在 x0 ? (2e2 ,15) 使 h( x0 ) ? 0 ,且 x ? [2, x0 ) 时 h( x) ? 0 , x ? ( x0 , ??) 时 h( x) ? 0 , 又 ? h(1) ? 16 ? ln ? 0 , 7 ? e2 ?
1 2

15 , 2

故 n ? N ? 时使 f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方的最大正整数 n ? 14 ;

………16 分

97



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