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2.3.1 等差数列的前n项和(一)



2.3.1

2.3 等差数列的前 n 项和 等差数列的前 n 项和(一)?第十四课时

教学目标 1、掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 2、会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题.? 教学重点 等差数列的前 n 项和公式的理解、推导及应用.? 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题.? 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等? ? 教学过程 导入新课 1、高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家 出道题目:1+2+…100=?”? 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5 050.”?教师问:“你是如何算出答案的?”? 高斯回答说:因为 1+100=101;2+99=101;…;50+51=101,所以 101× 50=5 050. 2、数列 1,2,3,…,100 是什么数列?而求这一百个数的和 1+2+3+…+100 相当于什么?? 这个 数列是等差数列,1+2+3+…+100 这个式子实质上是求这数列的前 100 项的和. 这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题.? ? 推进新课?[合作探究]? 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中我们取下第 1 层到第 21 层, 得到右图,则图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢?? 师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们是否有简单的 方法来解决这个问题呢?? 答 用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数 均为 22 个,共 21 行.则三角形中的宝石个数就是
(1 ? 21 ) ? 21 2

.?

这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.? 现在我将求和问题一般化:? (1)求 1 到 n 的正整数之和,即求 1+2+3+…+(n-1)+n.(2)如何求等差数列{an}的前 n 项的和 Sn?? 法 1 对于问题(2),因为 Sn=a1+a2+a3+…+an,? S =an+an-1+…+a2+a1,? n 再将两式相加,因为有等差数列的通项的性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,? 所以 S n ?
n ( a1 ? a n ) 2

.(Ⅰ)?
n ( n ? 1) 2 n ( n ? 1) 2

法 2 对于问题(2),因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-1)× ,? d] 所以 Sn=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+ d,?即 Sn=na1+ d.(Ⅱ)?

[教师精讲]? 一种是用“倒序相加法”,后一种是基本量来转化为用我们前面求得的结论,并且我们得到了等差 数列前 n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前 n 项和公式.其中公式 (Ⅰ)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)× 2 相类比,这里的上底是等差数列 高÷ 的首项 a1,下底是第 n 项 an,高是项数 n,有利于我们的记忆.? [方法引导]? 如果已知等差数列的首项 a1,项数为 n,第 n 项为 an,则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅰ)来进行, 若已知首项 a1,项数为 n,公差 d,则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅱ)来进行.? 引导学生总结:这些公式中出现了几个量??5 个量 已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).? 当公差 d≠0 时,等差数列{an}的前 n 项和 Sn 可表示为 n 的不含常数项的二次函数,且这二次函数的 二次项系数的 2 倍就是公差.? [知识应用]? 【例 1】 (直接代公式)计算:? (1)1+2+3+…+n; ? (2)1+3+5+…+(2n-1);?
1

(3) 2+4+6+…+2n;? (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.? 解(1)1+2+3+…+n=
n ( n ? 1) 2



(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n(n+1).?

n (1 ? n ? 1) 2

=n2;

(3)2+4+6+…+2n=

n(2n ? 2) 2

(4)原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.? 或 原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.? 【例 2】 (课本第 49 页例 1)? 分析: 由题意我发现了等差数列的模型,这个等差数列的首项是 500,记为 a1,公差为 50,记为 d, 而从 2001 年到 2010 年应为十年,所以这个等差数列的项数为 10.再用公式就可以算出来了.? (按课本解答示范格式)? 【例 3】 (课本第 50 页例 2)已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1 220,由此可以 确定求其前 n 项和的公式吗?? 分析:由已知条件,我们已知了这个等差数列中的 S10 与 S20,于是可从中获得两个关于 a1 和 d 的关系 式,组成方程组便可从中求得.? ( 解答见课本第 50 页)? 师 通过上面例题 3 我们发现了在以上两个公式中, 5 个变量.已知三个变量, 有 可利用构造方程或方程 组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.? [合作探究]?阅读课本第 50 页的例 3,阅读后我们来互相进行交流.? 由 Sn 的定义可知,当 n=1 时,S1=a1;当 n≥2 时,an=Sn-S n-1,? 请同学们再来探究一下课本第 51 页的探究问题.? 师 如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0,且是关于 n 的二次型函数,则这个数列一定是等差数 列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.? ? 课堂练习 等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54??-10n+ 课堂小结 1、本节课我们学习了等差数列的前 n 项和公式 S n ?
n ( a1 ? a n ) 2 n ( n ? 1) 2

× 4=54.?n1=9,n2=-3(舍去).?
n ( n ? 1) d 2

或 S n ? na 1 ?

.?

2、思想方法有: ①、“倒序相加法”.?②“知三求二”的方程思想,即已知其中的三个变量,可利用构 造方程或方程组求另外两个变量.? 3、如果一个数列的前 n 项和公式中的常数项为 0,且是关于 n 的二次型函数,则这个数列一定是等差 数列,否则这个数列就不是等差数列.? ? 布置作业 课本第 52 页习题 2.3 A 组第 2、3 题.? ? 板书设计 等差数列的前 n 项和(一) 公式:? S n ?
n ( a1 ? a n ) 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) d 2

推导过程



2



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