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三元一次不等式(组)与简单空间线性规划问题



三元一次不等式(组)与简单的空间线性规划问题 摘要:高中数学必修 5 中有一节讲的是二元一次不等式(组)和平 面区域的关系以及应用,利用这一节知识极大方便了在二元线性约 束条件下求目标函数最值问题,由此我们就想三元一次不等式(组) 对应的区域是什么样子呢?三元目标函数最值又怎么求呢?本文就 是研究三元一次不等式(组)与简单的空间线性规划问题。 关键字:三元一次不等式,空间区域,线性规划 一、三元一次不等式(组)与空间区域 《普通高中课程标准实验教科书(数学必修 5)》——“3.3 二元一 次不等式(组)与简单的线性规划问题”主要讲的是二元一次不等式 (组)和平面区域的关系以及应用。 二元一次不等式与平面区域的关系是:对于直线 ax+by+c=0 同一侧 的所有点,把它的坐标(x,y)代入 ax+by+c,所得的符号都相同,因此 只需在直线 ax+by+c=0 的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点, 由 ax0+by0+c 的符号就可以断定 ax+by+c>0 表示的是直线 ax+by+c=0 哪一侧的平面区域。 那么三元一次不等式表示什么呢?我们猜测: 平面 ax+by+cz+d=0(a2+b2+c2≠0)同一侧的所有点,把它的坐标 (x,y,z)代入 ax+by+cz+d,所得的符号都相同,因此只需在平面 ax+by+cz+d 的同一侧取某个特殊点 (x0,y0,z0)作为测试点,由 ax0+by0+cz0+d 的符号就可以断定 ax+by+cz+d>=0 表示的是平面 ax+by+cz+d=0 哪一侧的空间区域。 我们不妨证明一下 (1)若 c=0,则 ax+by+d=0 表示垂直于平面 xoy 的平面,空间任意一 点(x0,y0,z0)代入 ax+by+d 所得符号与 z0 无关,只与(x0,y0)有关, 由二元一次不等式与平面区域的关系可知,则平面 ax+by+d=0 与 (x0,y0,z0)同侧的符号与 ax0+by0+d 相同,异侧的符号与之相反。 猜测成立 (2)若 c≠0,平面方程可化为 z=ax+by+c,很明显,在平面 z=ax+by+c 上方的任意一点(x0,y0,z0)都满足 z0>ax0+by0+c,下方的任意一点 坐标都满足 z0 综合(1)(2)可知,猜测是成立的 结合口诀加强记忆:同侧同号,异侧异号,平面定界,特殊点定域 例 1、画出不等式 x+4y+z<4 表示的平面区域。 解析:先作出边界 x+4y+z=4,因为这个平面上的点都不满足 x+4y+z<4,所以表示平面的图形边线画成虚线。 取原点(0,0),代入 x+4y+z。因为 0+4×0+0=0<4, 所以原点(0,0)在 x+4y+z<4 表示的空间区域内,不等式 x+4y+z<4 表示的区域如图平面 abc 的原点所在一侧。 例 2、用平面区域表示以下不等式组的解集 分析:由于所求平面区域的点的坐标要同时满足四个不等式,因此 三元一次不等式组表示的空间区域是各个不等式表示的空间区域 的交集,即各个不等式表示的空间区域的公共部分。 解:为了增强立体感,画了一个棱长为 1 的正方体,如图 不等式 x≤1 表示平面 x=1 靠里空间;不等式 y≤1 表示平面 y=1 靠 左空间;不等式 z≤1 表示平面 z=1 靠下空间;x+y+z-2≥0 表示平面 x+y+z-2=0 上方空间,x+2y+2z-4≤0 表示平面 x+2y+2z-4=0 下方空 间。 取空间区域重叠的部分,图中阴影部分三棱锥内部就表示原不等 式组的解集。 二、简单的空间线性规划


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