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12.2011年全国高中数学联赛浙江赛区预赛



21 0 2年第 3期 

3  5

2 1 年全 国高中数学联赛浙江赛 区预赛  0  1
中图 分 类 号 : 4 47   G 2 .9 文 献 标识 码 :A   文 章 编 号 :10 6 1 (0 2 0 0 3 0 5— 4 6 2 1 )3— 0 5—0  4

【 说明】 本试卷分为 A卷和

B卷: 由本试卷的2 题组成 , l A卷 2 即 0道选择题 , 7道填空题 ,  
3道 解答题 和 2道 附加题 ; B卷 由本 试卷 的前 2 0题组 成 , l 选择 题 , 填 空题 和 3道 解  即 O道 7道
答 题.  




选 择题 ( 每小 题 5分 , 5 共 0分 )   则 

1 已知  ∈ .  


v  / i
( 一2i   B) s 0 n ( 2 o   D) cs0

可化 简为 (  
( 2i A) s   n

) .  
正视图 

目 
侧视图 
图 I  

( 一 cs0 C) 2 o  

( 圆和正方形)  

2 若复数( 2 ) 1 i 的模 为 4 则实  . n+   ( + ) i ,
数 8的值 为 (   )  

则该立体体积为(  

) .  

( ) ( )√ ( ) 2 ( ) 2 A 2 B22 c ± D ± 
3 设 A、 . B为两个 互不 相 同的集合.   命题 P  ∈ AnB; :    

( 45 A +  )   7
( 4詈 c +  )

(4擎 B+  )
(4 D+ ) 

命题 q :  ∈A或  ∈B  . 则P g   是 的( ) 条件.  
( 充分 非必 要  B) () D 非充 分且非必要  ( 充 分且必 要  A) ( 必要非 充分  C)

7 某 程序 框 图如 图 2 . .  

4 过椭 圆  +Y .  =1的右 焦 点  作 倾  

斜角为 4 。 5 的弦A . IBI   B 则 A 为(

) .  

(学 ( ( ( A B c 。 ) ) ) ) 竽 竽 竽 
5 函数  .
f l一5~ 
  ,

图 2  

≥ 0,  

){  5  

<  0 . ’
) .  

现将输出( ,)   Y 值依次记为:  
(1Y) (2y) … ,  ,  ,   ,1 ,  ,2 , ( Y ) …  若程序运行中输出一个数组是( , l)   一0,   则数 组 中的  =(   ) .  
( 6  ( )2 ( l  ( 8 A) 4 B 3   C) 6 D)  8 在 平面 区域 { , ) l I ,Y ≤1  . ( Y I ≤1 I I }  

则该 函数 为 (  

() A 单调增加 函数 、 奇函数  () B 单调递减函数 、 偶函数 
( 单调增 加 函数 、 函数  c) 偶

() D 单调递减 函数 、 奇函数 
万方数据

上恒 有 0 一   ≤2 则动 点 J 0 6 所形 成平  2 2 C . P ,) (

3  6

中 等 数 学 

面 区域的 面积为 (   ( 4 A)  ( 8 B)  9 已知 函数  .

) .   ( )6 C l  ( )2 D 3 

则  +     y+

— — .  

三 、 题( 解答 每小题 l 7分 , 5 共 1分 )  

)i 詈一 =(一)   s2 m n
在0 】有 个 点则 的 值 围   【詈上 两 零 .m 取 范 为 ,
(   ) .  

1. a . Y:( 2 l I a2  8 设 ≤2 求  一 ) 在[ , ]   上 的最大值 和最 小值.   1 . 定两个 数列 { ) {  满 足  9给   、y}
o Y0= 1,    

恙 ( ,=   )  )  y尚嘉( .  
B 1】 )    l
证 明 : 于任意 的 自然 数 n 都 存在 自然  对 , 数  , 使得 Y :    2. 0 已知椭 圆  + =1过 其左 焦 点 F    , 。

(  1 A ) )  

(  ? c ) )  
的解 为 (   ) .  

((’ D丢1 ) ]  

l .已知 a∈[ 11 . 0 一 ,]则 
+f 4 x+ 2 0 a一 ) 4— a>   (  > A) 3或 <2 ( ) 2或  <I   B 戈>   (  > C) 3或  <1 ( 1< 3   D)  <   二、 填空题 ( 每小题 7分 , 4 共 9分 )  

作一条直线与椭圆交于A B两点, ( ,) 、 D a0 为  点  . 右侧 一 点 , 联结 A B D、 D分 别 与 椭 圆 左  准线 交 于点  、 若 以 MN 为 直径 的圆恰 好    过 点 F , a的值 . ,求  
四、 附加题 ( 每小 题 2 5分 , 5 共 0分 )   2. 1 在锐角 / A C中 , A= , 在 其  kB     设
内部 同时满 足 P A≤P 8和  ≤P C的点 P的 

1 函   ) 2n  。  的 小 1 数 . =s 詈一 c i o 最   s
正 周期 为一
‘ 

 

全体形成 的区域 G的面积为△ A C面积的  B

l. 知 等 差 数 列 {  前 l 项 的 和  2已 口) 5
1. 3 向量 

S5 0 贝 口 +a +a5   1=3 . Ⅱ 1 8 1=

÷. 证明: B △A C为等边三角形.  
2 . a bC∈ R 且  + + c= . 2设 、、  ,   √ 3  
证明:  
a +b   b+C   C+a   3  

口=( , n0 , 1 s   ) b=( O , ) 0∈ R) i CS   ( .  

则 l—    bI a 的取值范围为 

.  

+ 而  

+  

≥ ,    

1. 4 直三 棱柱 A C- 。 C , B A B, 。底面 △ A C B 

并指 明等 号成立 的条件.  

是正 三角形 , E分 别 为 B   C   含 端 点 ) P、 B 、C(   上 的动点 , 为 边 B D C的 中点 , 肋 _ P . 且 l E  _ 则直 线 A 朋 的夹角 为一 P、 l. 5 设 、 Y为实数 . 则 
( +2 一   y )=
, 眦

参 考 答 案 
— —

 
 



1.   D.

因为  ∈  

Nt   : 2,

l. 6 马路上有编号 为 12 … ,  l   , , 2 1的 0 20 1  l只路灯. 为节约用电, 要求关 闭其 中的   30只灯 , 0 但不能同时关闭相邻两只 , 也不能  关闭两端的路灯. 则满足条件 的关灯方法共  有— — 种 ( 组合数 符号 表示 ) 用 .  
1. xy 为整 数 , 7 设 ,、 且 
= =

= 
2c s0  o  .

一v   / i

IO    S0一sn 0J— I O  C i       S 0+sn 0 C i   

2.   C.

由题意得 
?  
3.B.  

+4 =4  

n = ±2.  

+ + 3  +,   = . y  = , )+’ 3 ’ 3  
万方数据

21 0 2年第 3 期 
4.C.  

3  7

故 a +a +a5 3 a + d 6 l 8 l= ( 1 7 )= .  

易 知 , 圆的右 焦点 为 ( ,)则  椭 10 .
f :   一1    y= .

1. 13 . 3 [ ,]  

将 上式代 入椭 圆方 程得 
3  2—4  =0   l:0,  
4  
2 = 

1一   口 b: l
:  


面  
. 

 

 ̄ B  而 II A=
5.   A.
6 .A.  

: . 华 

1 9 . 4. O。  

因平 面 A C上 平 面 B CB ,DJ C, B C . 。A  -B  
所 以 ,D上平 面 B CBt故 A l 雎 . A C 。 . D- -  

该几何体是一个圆柱与一个长方体的组 

又P  上 肋 ,E上平 面 A D, P P 则 
P E上 P 即夹 角为 9 。 A, O.  
1 4. 5.  

成 中 叠 一 分詈.以 几 体 , 重 了 部 () , 何   其 所该
的体 积为 

由 5  4   O  x + y =lx
4  =l x一5     y O x ≥0
=》0≤  ≤ 2  = .

22l 一 =+   ××   号4  。
7.   B.

贝 4 x Y )=lx一 0 ( +   O  
=2 5一(  ) 5一  ≤2 5—3  
。+ Y ≤ 4  
.  

8.   A.

平面 区域 { ,)I ≤1 ll } 四  ( Y I   ,y ≤1 的  
个边 界点 ( , 1 ,一1 1 , 1 一1 , 1 1  一1 一 ) ( ,) ( , ) ( , ) 满足 a 2 y , x一 b ≤2 即有 
a+2 ≤2, b a一2 ≤ 2, b  


1. 1 6 C3 0



7o. 1  

问题 等价 于在 17  路 灯 中插 入 30  1 1只 0  只 暗灯. 以 , 有 c 种 关灯方 法 . 所 共    
1. 7 3或 5 . 7  

口一2b≤ 2.一a+2b≤ 2  .

由此 计算 动点 P( ,) 形 成平 面 区域  a6 所
的面积 为 4 .  
9.   C.

将 = 一 Y 3  — 代人  +     = , y+ 3 得 
= ( y 9+ 3  + )一   .  

问 等 于 数(= (-) 题 价 函  )s2 詈与 戈 ix   n
直 ym 【詈上 两 交 . 线 =在0 】有 个 点 ,   所 ,的 值 围 【,  以m 取 范 为 1)  1 .
1 C. 0.  

因为 xy . 都是整数 , 所以,  

嚣 

譬 
前 两个 方程组 无解.  
由后 两 个方程 组解 得 
Y Z= 1;     Y 4,   z= 一5  .

将不 等式 的左端 看成 口的一 次 函数 , 即 
a )=( 2 口+( 一  + )  一 )   4 4.   由I 一1   一 x+ 0, 厂 )= ( 5 6>  

所以, + + =       3或 5. 7  
三 、8 当 ≤0时 , 一( l. Y=  一1 +1  ) ; 当  > 0时 , :( )  一1 一1 , ) .   由此 知 一 = . 0  当 1  ≤2时 ,  口 一 a  ≤ ,i   2 ; , =

- 1   一3 2>   厂 ): ( x+ 0
<1 或  >3 .  
二 、 .  . 11 4  

1 6. 2.  

由 S5 3   a +7 2 1= 0j  l d= .  

当 1 √ ≤口 时 , i 一 2 <1 ,   , :一 ;   1  

万方数据

3  8

中 等 数 学 

当 n<】一 2 ,  =一口 2 . √时 Y  + a  

Y Y  34

一  

?  

1 . 已知得  9由
1+一2 ~ 




( a+ 5  l  3 2 )YY

XH  





l  

Y4 3  Y

’  


?一

 
= 一

+:? 一 = , ( )一2 2+  
l  
n  ’  



26  5k

(a+ 5  3 2)

——— —————— 0————— 一

26 5 
 

1 2k ( z ) 口一 2 一 9 6+ 5 9 a— 1(   )    
( k ) 1a 4 0 =   1+   ( 6  一 0 ) 0

又 由已知得 
?=  

0=士 ( 5 负值 舍去 ) .   四 、1 过△ A C的外 心 0作 O 2. B E上 A   B 于点 E, F上 A O C于点 F, M 上 B O C于点  。   则 区域 G为四边形 A O . E F 
又 S o   8+S o   c=2   E S o+2   0  S ,


Y (  /   、l,  + Y1  ̄   Y -



l ,    

,十 1  


( )   ?   + …
‘ 

2四形 o ’ ^ , S边^, s 8  E 号 △ c

l  

则 △ =     由 已知  B C=10 , O 2 。则 

所 以 , J =  一1即可. 取 n 2  

O ÷R R为△A C M: ( B 外接圆半径) .  
 :一 5 2 i
,  

2. 0 易知  ( 30 , 一 ,)   l : =k x+ ) A y ( 3. 8  



作 A lB D_ C于点 D. _ 则 
AD ≤AD +OM =30M  

设 a x ,1 , x ,2 . ( I) ) B( 2Y ) ,  
r  ( 3 , y:  + ) 

j . 聃≤ × 0 曰 = S ㈣. s   ÷ 3 M?c 3△  
当且 仅 当 A、 M 三 点 共 线 , 0、 即△ A C B  为等边三 角形 时 , 上式 等号 成立.  

由 = b杀一  
f6 2k)  102 + 2k 一 O :   1 + 52x + 5kx 252 d0 Q
10 2 5 k 
= 一  

2. 柯 等 2由 西不 式∑ ≥  
铲  
i l =  

n 

(  
i: l  

、 l-●,
2  

一 6 
一  
一  



得 

yy = 2  + )x + )  262 。 k(。 3 (2 3 =一 5k 2
. 

Ⅱ+b  
+ 

b+c  
+  

C+r 上  

设 ( )( )  一 '  .   Ⅳ 一  
由 M、 D三 点共线 得  A、
( a+ 5 Y 3 2 )l  

≥ 



+廊

+  

)  

6+ ( 2 口+b ) +c 

式①右边的分子 


y ,  




。  

2 n+b )+ ( n+b,c ( +c 2  / +b+  

舞  .  





+而



、  

≥2n 6 c+ (+ n+ +/ + +/6 (+ +) 2b √c a 、c c  ̄ ) I I 0 


又 =  ) ( ,.   ( ’ 一    一 莉=  )
由 已知得 

3  +b )+( + + ) ( +c        
3 口+b+ + ) ( c 3.  



商 l j而 . :  确 莉 0
万方数据

其等号成立条件是 Ⅱ b c 1 = : :.   ( 贾厚 玉 提供 )  

2011年全国高中数学联赛浙江赛区预赛
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 贾厚玉 不详 中等数学 High-School Mathematics 2012(3)

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