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2015解步步高大一轮讲义(理)10.2


§ 10.2

排列与组合

1.排列 (1)排列的定义:从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)排列数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 Am n 表示.
m (3)排列数公式:An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1).

(4)全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全排列,An (n- n=n· n ! 1)· (n-2)· ?· 2· 1=n!.排列数公式写成阶乘的形式为 Am ,这里规定 0!=1. n= ?n-m?! 2.组合 (1)组合的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合. (2)组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 Cm n 表示. m n ! n ?n-1??n-2???n-m+1? A n (3)组合数的计算公式:Cm = ,由于 0! = 1, n = m= Am m!?n-m?! m!
0 所以 Cn =1. n (4)组合数的性质:①Cm n =Cn
-m

m m 1 __;②Cm __. n+1=Cn __+Cn


1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (4)(n+1)!-n!=n· n!.
m 1 (5)An =nAm n-1 .


( × ( × ( √ ( √ ( √ ( √

) ) ) ) ) )

k 1 (6)kCk n=nCn-1.


2.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友

1 本,则不同的赠送方法共有 A.4 种 答案 B B.10 种 C.18 种 D.20 种

(

)

A4 5 解析 方法一 不同的赠送方法有 2 3=10(种). A2A3 方法二 从 2 本同样的画册,3 本同样的集邮册中取出 4 本有两种取法:第一种:从 2 本 画册中取出 1 本,将 3 本集邮册全部取出;第二种:将 2 本画册全部取出,从 3 本集邮册 中取出 2 本.由于画册是相同的,集邮册也是相同的,因此第一种取法中只需从 4 位朋友
1 中选出 1 人赠送画册,其余的赠送集邮册,有 C4 =4(种)赠送方法;第二种取法中只需从

4 位朋友中选取 2 人赠送画册,其余的赠送集邮册,有 C2 4=6(种)赠送方法.因此共有 4 +6=10(种)赠送方法. 3.(2012· 大纲全国)将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每 列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 A.12 种 答案 A 解析 先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有 A3 3种不同的排法. 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 A1 2种不同的排法,第二列第二、三行的字母 只有 1 种排法. 因此共有 A3 A1 1=12(种)不同的排列方法. 3· 2· 4.用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A.8 答案 C 解析 分两步: (1)先排个位有 A1 2种排法.
3 3 (2)再排前三位有 A4 种排法,故共有 A1 2A4=48 种排法.

( C.24 种 D.36 种

)

B.18 种

(

)

B.24

C.48

D.120

5. 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务, 如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案有________种. 答案 14
3 解析 ①有 1 名女生:C1 2C4=8. 2 ②有 2 名女生:C2 2C4=6.

∴不同的选派方案有 8+6=14(种).

题型一 排列问题 例1 有 4 名男生、5 名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?

(1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间. 思维启迪 这是一个排列问题,一般情况下,我们会从受到限制的特殊元素开始考虑,有 时也从特殊的位臵讨论起.对于相邻问题,常用“捆绑法”;对于不相邻问题,常用“插 空法”(特殊元素后考虑);对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除 法”(特殊元素先考虑). 解 (1)方法一 (元素分析法)

先排甲有 6 种,其余有 A8 8种,
8 故共有 6· A8 =241 920(种)排法.

方法二 (位置分析法)
6 3 6 中间和两端有 A3 A6=336×720 8种排法,包括甲在内的其余 6 人有 A6种排法,故共有 A8·

=241 920(种)排法. 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A9 9种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间 6 9 及两端的排法总数是 A9× =241 920(种). 9 方法四 (间接法)
9 8 A9 -3· A8 8=6A8=241 920(种).

(2)先排甲、乙,再排其余 7 人, 共有 A2 A7 2· 7=10 080(种)排法. (3)(插空法)
5 4 5 先排 4 名男生有 A4 A5=2 880(种) 4种方法,再将 5 名女生插空,有 A5种方法,故共有 A4·

排法. 思维升华 本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位 臵分析法(优先考虑特殊位臵)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解 题思路. 用 0,1,3,5,7 五个数字,可以组成多少个没有重复数字且 5 不在十位位置上的五 位数? 解 本题可分两类:

第一类:0 在十位位置上,这时,5 不在十位位置上,所以五位数的个数为 A4 4=24; 第二类:0 不在十位位置上,这时,由于 5 不能排在十位位置上,所以,十位位置上只能 排 1,3,7 之一,这一步有 A1 3=3 种方法.又由于 0 不能排在万位位置上,所以万位位置上 只能排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一, 这一步有方法 A1 十 3=3(种). 位、万位上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 A3 3=6(种).根据分

步乘法计数原理,第二类中所求五位数的个数为 A1 A1 A3 3· 3· 3=54. 由分类加法计数原理,符合条件的五位数共有 24+54=78(个). 题型二 组合问题 例2 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选

取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? 思维启迪 可以从特殊元素出发,考虑直接选取或使用间接法. 解 (1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种有 C2 34=561(种),

∴某一种假货必须在内的不同取法有 561 种.
3 2 3 (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C3 34种或者 C35-C34=C34=5 984(种).

∴某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.
2 (3)从 20 种真货中选取 1 件,从 15 种假货中选取 2 件有 C1 20C15=2 100(种).

∴恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种.
2 3 1 2 3 (4)选取 2 件假货有 C1 20C15种,选取 3 件假货有 C15种,共有选取方式 C20C15+C15=2 100

+455=2 555(种). ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. (5)选取 3 件的总数有 C3 35,因此共有选取方式
3 C3 35-C15=6 545-455=6 090(种).

∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种. 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另 外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视 “至少 ” 与 “最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用 直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门, 求:(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种? (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种? 解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法

1 1 种数共有 C2 4C2C2=24(种). 2 (2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C2 4C4,又甲乙两人所选的两门课 2 2 2 程都相同的选法种数为 C4 种,因此满足条件的不同选法种数为 C2 4C4-C4=30(种).

题型三 排列与组合的综合应用问题 例3 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法? 思维启迪 把不放球的盒子先拿走,再放球到余下的盒子中并且不空. 解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4

个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组, 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球, 其余 2 个球放在另外 2 个盒子内, 由分步乘法计数
2 1 2 原理,共有 C1 4C4C3×A2=144(种).

(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也 即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放 球”是同一件事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C2 4种方法.
3 1 2 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 C4 C1A2种方法;第 2 2 C2 C2 4C2 2 4C2 2 2 3 1 2 二类有序均匀分组有 2 · A 种方法.故共有 C4(C4C1A2+ 2 · A )=84(种). A2 2 A2 2

思维升华 排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组,再对 取出的元素或分好的组进行排列. 其中分组时, 要注意“平均分组”与“不平均分组”的 差异及分类的标准. (1)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有 A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 ( )

(2)(2013· 重庆)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗 小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________.(用数字作 答) 答案 解析 (1)B (2)590 C2 4 (1)先放 1、 2 的卡片有 C1 再将 3、 4、 5、 6 的卡片平均分成两组再放置, 有 2· A2 3种, A2 2

2 种,故共有 C1 C4 =18 种. 3· 1 3 2 2 3 1 (2)分三类:①选 1 名骨科医生,则有 C1 3(C4C5+C4C5+C4C5)=360(种). 1 2 2 1 ②选 2 名骨科医生,则有 C2 3(C4C5+C4C5)=210(种); 1 1 ③选 3 名骨科医生,则有 C3 3C4C5=20(种).

∴骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 360+210+20=590.

排列、组合问题计算重、漏致误

典例:(5 分)有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法有________种. 易错分析 易犯错误如下:先从一等品中取 1 个,有 C1 16种取法;再从余下的 19 个零件
1 2 中任取 2 个,有 C2 19种不同取法,共有 C16×C19=2 736 种不同取法.上述做法使两次取

的一等品有了先后顺序,导致取法重复. 规范解答 解析 方法一 将“至少有 1 个是一等品的不同取法”分三类: “恰有 1 个一等品”, “恰
1 2 1 3 有 2 个一等品”,“恰有 3 个一等品”,由分类加法计数原理有 C16 C4+C2 16C4+C16=1

136(种).
3 方法二 考虑其对立事件“3 个都是二等品”,用间接法:C3 20-C4=1 136(种).

答案 1 136 温馨提醒 (1)排列、组合问题由于其思想方法独特,计算量庞大,对结果的检验困难,

所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则,如特殊元素、位置优先原则、先取后排 原则、先分组后分配原则、正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解题方向.同时 解答组合问题时必须心思细腻,考虑周全,这样才能做到不重不漏,正确解题. (2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解,多采用分类求解或转化为它 的对立事件求解.

方法与技巧 1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑: (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题先选后排;(4)相 邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处 理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件. 失误与防范

1.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准 应统一,避免出现重复或遗漏. 2.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义. 3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意 顺序,避免计数的重复或遗漏.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.(2012· 课标全国)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实 践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A.12 种 答案 A 解析 利用分步乘法计数原理和组合数公式求解. 分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C1 2=2(种)选派方法;
2 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C4 =6(种)选派方法.

(

)

B.10 种

C.9 种

D.8 种

由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6=12(种). 2.10 名同学合影,站成了前排 3 人,后排 7 人.现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排, 其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为
5 A.C2 7A5 2 B.C2 7A2 2 C.C2 7A5 3 D.C2 7A5

(

)

答案 C 解析 从后排抽 2 人的方法种数是 C2 前排的排列方法种数是 A2 7; 5.由分步乘法计数原理知
2 不同调整方法种数是 C2 7A5.

3.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不 能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( A.36 种 答案 B 解析 分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间 4 个节目无限制条件, 有 A4 4种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的 3 个节目中选 1 个节目排
3 1 3 在第一位有 C1 3种排法,其他 3 个节目有 A3种排法,故有 C3A3种排法.依分类加法计数原 1 3 理,知共有 A4 4+C3A3=42(种)编排方案.

)

B.42 种

C.48 种

D.54 种

4.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有

(

)

A.11 种 答案 C

B.20 种

C.21 种

D.12 种

1 2 3 解析 当第一组开关有一个接通时,电路接通有 C1 2(C3+C3+C3)=14(种)方式; 2 1 3 当第一组开关有两个接通时,电路接通有 C2 (C3+C2 3+C3)=7(种)方式.

所以共有 14+7=21(种)方式,故选 C. 5.(2012· 山东)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多 1 张, 不同取法的种数为( A.232 答案 C 解析 利用分类加法计数原理和组合的概念求解.
1 2 分两类:第一类,含有 1 张红色卡片,共有不同的取法 C4 C12=264(种); 3 第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法 C3 12-3C4=220-12=208(种).

)

B.252

C.472

D.484

由分类加法计数原理知不同的取法有 264+208=472(种). 二、填空题 6.A、B、C、D、E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A、B 可以不相邻),那么 不同的排法共有________种. 答案 60 解析 可先排 C、D、E 三人,共 A3 5种排法,剩余 A、B 两人只有一种排法,由分步乘法 计数原理知满足条件的排法共有 A3 5=60(种). 7.(2013· 北京)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给 同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 答案 96 解析 将 5 张参观券分成 4 堆, 有 2 个连号有 4 种分法, 每种分法再分给 4 人, 各有 A4 4种 分法,∴不同的分法种数共有 4A4 4=96. 8.用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的 四位数的个数为________. 答案 8
2 1 2 解析 先把两奇数捆绑在一起有 A2 C2· A2=8. 2种方法,再用插空法共有个数 A2·

9.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须 排在一起,而丙、丁两种不能排在一起,不同的排法共有________种. 答案 24 解析 甲、 乙排在一起, 用捆绑法, 丙、 丁不排在一起, 用插空法, 不同的排法共有 2A2 A2 2· 3

=24(种). 三、解答题 10.某医院有内科医生 12 名,外科医生 8 名,现选派 5 名参加赈灾医疗队,其中: (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法? (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法? 解 (1)只需从其他 18 人中选 3 人即可,共有 C3 18=816(种);

(2)只需从其他 18 人中选 5 人即可,共有 C5 18=8 568(种); (3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,
1 4 共有 C2 C18+C3 18=6 936(种);

(4)方法一 (直接法): 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类: 一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,
1 2 3 3 2 4 1 所以共有 C12 C4 8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656(种).

方法二 (间接法):
5 5 由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得 C20 -(C5 12+C8)=14

656(种). B 组 专项能力提升 1.(2012· 北京)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其 中奇数的个数为 A.24 答案 B 解析 当选 0 时,先从 1,3,5 中选 2 个数字有 C2 3种方法,然后从选中的 2 个数字中选 1 个
2 1 排在末位有 C1 2种方法,剩余 1 个数字排在首位,共有 C3C2=6(种)方法;

( B.18 C.12 D.6

)

当选 2 时,先从 1,3,5 中选 2 个数字有 C2 3种方法,然后从选中的 2 个数字中选 1 个排在末
1 1 2 位有 C2 种方法,其余 2 个数字全排列,共有 C2 3C2A2=12(种)方法.

依分类加法计数原理知共有 6+12=18(个)奇数. 2. 把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在右图中的 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上,其中 3 盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方 法有 A.2 680 种 B.4 320 种 C.4 920 种 ( )

D.5 140 种 答案 B
4 解析 先将 7 盆花全排列, 共有 A7 其中 3 盆兰花排在一条直线上的排法有 5A3 7种排法, 3A4 3 4 (种),故所求摆放方法有 A7 7-5A3A4=4 320(种).

3.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一列,要求同一品 种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有(
5 A.A4 4A5 1 4 5 C.C3 A4A5 4 3 B.A3 3A4A5 4 5 D.A2 2A4A5

)

答案 D 解析 先把 3 种品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,故只能 放在中间,又油画与国画有 A2 2种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的
4 5 方法有 A2 2A4A5种.

4.(2013· 浙江)将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排,且 A、B 均在 C 的同侧,则不同 的排法共有________种(用数字作答). 答案 480 解析 分类讨论:A、B 都在 C 的左侧,且按 C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字 母这 4 类计算,再考虑右侧情况.
3 1 3 2 4 5 所以共有 2(A2 A3 +C3 A3· A2+C2 2· 3A4+A5)=480(种).

5.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴省运会的四个不同场 馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答). 答案 1 080 解析 先分组再分配,共有
1 2 C1 6C5C4 4 · A4=1 080(种)分配方案. 2A2 2

6.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬 手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传 递方法共有________种(用数字作答). 答案 96 解析 甲传第一棒,乙传最后一棒,共有 A4 4种方法. 乙传第一棒,甲传最后一棒,共有 A4 4种方法.
1 4 丙传第一棒,共有 C2 · A4种方法. 4 1 4 由分类加法计数原理得,共有 A4 A4=96(种)方法. 4+A4+C2·

7.有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片,从这 8 种卡片中取出 4 张卡片排成一行,如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同 的排法共有________种(用数字作答). 答案 432

解析 取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10,共有三种情况:1144,2233,1234. 所取卡片是 1144 的共有 A4 4种排法. 所取卡片是 2233 的共有 A4 4种排法. 所取卡片是 1234,则其中卡片颜色可为无红色,1 张红色,2 张红色,3 张红色,全是红
1 4 2 4 3 4 4 4 色,共有排法 A4 4+C4A4+C4A4+C4A4+A4=16A4(种),

∴共有排法 18A4 4=18×4×3×2×1=432(种).


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